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Schüler
Anmeldungsdatum: 05.05.2006
Beiträge: 175
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 Schüler Verfasst am: 14. Mai 2006 22:47 Titel: Schrödingergleichung |
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Hallo
ich habe versucht die schrödingergleichung zu verstehen und habe da noch ein paar probleme.
Wenn ich z.B die Gesamtenenergie eines elektrons in einem wasserstoffatom berechnen möchte muss ich dann das Coloumbpotential in die Schrödingergleichung einsetzen oder wie?
falls das bis dahin richtig sein sollte habe ich eine inhomogene DGL 2.Ordnung, wenn ich die nach Psi aufllöse habe ich dann die wellenfunktion des elektrons? Aber dann muss ich noch bedingungen dafür haben, da schließlich die allgemeine lösung der DGL unbekannte konstante enthält die noch bestimmt werden müssen.
ich freue mich für jede antwort |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5789
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 14. Mai 2006 23:10 Titel: |
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Naja, man nimmt dann ein System von Funktionen, die alle Lösung der DGL sind. Diese Funktionen setzen sich normalerweise aus einem Radialteil und den  Kugelflächen Funktionen zusammen. Die Funktionen haben dann 3 Parameter (n, l und m) wobei n halt die "Schale" angibt (das selbe n wir auch im Bohr'schen Atommodell), l und m den Drehimpuls beschreibt. Mit diesen drei Quantenzahlen kannst Du also jeden möglichen Zustand des Elektrons in einem Coulomb-Potential beschreiben, bzw. die Funktionen, die Du damit raus bekommst, sind alle möglichen Lösungen der entsprechenden DGL.
Ist das so halbwegs zu verstehen? 
Gruß
Marco |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 14. Mai 2006 23:23 Titel: |
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Richtig, da setzt du das Coulombpotential ein.
Und um den Rechenweg, den man in den Büchern und Quantenmechanik-Vorlesungen antrifft, ganz knapp zu skizzieren:
Rechnen tut man das ganze in Kugelkoordinaten, und mit einer Separation der Variablen kommst du dann auf einen Radialanteil und einen winkelabhängigen Teil. Und für den winkelabhängigen Teil erhältst du als Lösung die Kugelflächenfunktionen. |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 15. Mai 2006 07:14 Titel: |
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Die Kugelflächenfunktionen sind speziell definierte Funktionen, welche genau eine spezielle Klasse von Differentialgleichungen in Kugelkoordinaten lösen. Mit Kugelkoordinaten tritt man sich meistens auch die Y(l,m) ein. Leider sind sie ein wenig schwieriger zu handhaben als sin- oder cos, sodass man sich in der Schule meistens auf die Lösung der Schrödingergleichung für ein Kastenpotential beschränkt.
Der Radialanteil des Wasserstoffatoms ist übrigens ein Laguere-polynon n-ter Ordnung (n=Hauptquantenzahl).
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe)
Zuletzt bearbeitet von schnudl am 16. Mai 2006 06:47, insgesamt einmal bearbeitet |
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goa
Anmeldungsdatum: 09.05.2006
Beiträge: 75
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| goa Verfasst am: 15. Mai 2006 13:33 Titel: |
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An Schüler: Weisst du was man in der Mathematik als Eigenwert bzw. Eigenvektor/-funktion bezeichnet?
Nachdem du das Coulombpotential in die Schrödingergleichung eingesetzt hast bekommst du wie du richtig erwähnt hast eine inhomogene DGL 2.Ordnung, wobei E ein Parameter ist. Diese kannst du jetzt aber nicht einfach nach Psi auflösen. Was man machen kann ist zu untersuchen für welche Werte von E diese DGL eine Lösung hat. Die entsprechenden Lösungen nennt man dann Eigenfunktionen und die Werte für E Eigenenergien.
Bei einer Messung der Energie sind jetzt die möglichen Messwerte für die Energie nur jene, für die es eine Lösung der entsprechenden Schrödingergleichung gibt. Im Falle des Coulompotentials kann man diese Lösungen analytisch berechnen (für fast alle Probleme in der QM ist das nicht der Fall, schon ein Heliumatom mit 2 Elektronen ist unlösbar).
Anders gesagt: Die Lösung der Schrödingergleichung liefert dir die möglichen Ergebnisse bei einer Messung der Energie, sie kann aber nicht benutzt werden um zu wissen in welchem Zustand sich ein System im Moment gerade befindet.
Hm, ich hoffe das hilft , Goa
PS an alle anderen (Nur der Vollständigkeit halber):
Bis jetzt habt Ihr nur die gebundenen Zustände mit E<0 beschrieben. Es gibt aber noch Unendlich viele Lösungen mit E>0, die ungebundenen Zustände. Und diese beschreibt man meines Wissens nicht mehr mit den Quantenzahlen n,l,m. |
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Schüler
Anmeldungsdatum: 05.05.2006
Beiträge: 175
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| Schüler Verfasst am: 25. Mai 2006 20:13 Titel: |
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entschuldigt, dass ich erst jetzt antworte. in letzter zeit hatte ich keine zeit
ich möchte jetzt mal als 11.Klässler verstehen wie man die schrödingergleichung mit dem coulombpotential analytisch lösen kann
eigenwerte kenn ich von matritzen ich weiß aber trotzdem nicht, wie man das auf die schrödingergleichung anwenden soll
also ich habe folgende zeitunabhängige schrödingergleichung
(ich schreib es mit dem planckschenwirkungsquantum h, weil ich nicht weiß wie man die dirackonstante hquer in den formeleditor eingeben soll)
)\psi(r)=E_g*\psi(r)
<br />
)
wenn ich das richtig habe ist Eg die eigenenergie und Psi(r) die eigenfunktion. mit dem coulombpotential erhalte ich dann
\psi(r)=E_g*\psi(r))
ich wüsste jetzt nicht wie ich das auflösen sollte
dann hab ich noch eine frage zur herleitung. ich habe es ausgehend von
=A*sin(\frac{2\pi*x}{\lambda}-\frac{2\pi*t}{T})+B*cos(\frac{2\pi*x}{\lambda}-\frac{2\pi*t}{T}))
mittels mathematischer operatoren hergeleitet, aber wie weiß ich, dass die wellenfunktionen quantenmechanischer objekte immer obengenannte form haben
danke im vorraus |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5789
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 25. Mai 2006 20:44 Titel: |
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Hallo!
Ich finde es ja wirklich toll, dass Du Dich dafür interessierst und dass Du es heraus bekommen willst, aber ich glaube, dass das die mathematischen Kenntnisse selbst eines sehr sehr guten 11. Klässlers doch überschreitet.
Versuche doch erst einmal eindimensionale Problem zu lösen. Das mit dem Coulomb-Potential in drei Dimensionen ist in meinen QM Büchern aus der theoretischen Physik schon etliche Seiten lang.
Ist wirklich nicht böse gemeint. Bitte nicht falsch verstehen... Aber erste Voraussetzung wäre, dass Du Dich sehr gut mit komplexen Zahlen auskennst und dann ziemlich gute Kenntnisse in linearer Algebra hättest. Was meinst Du, willst Du das wirklich versuchen?
Gruß
Marco |
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Schüler
Anmeldungsdatum: 05.05.2006
Beiträge: 175
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| Schüler Verfasst am: 25. Mai 2006 21:05 Titel: |
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keine angst. ich versteh dich nicht falsch. ich dachte mir schon, dass es mathematisch anspruchsvoll ist. nur mein ich, dass ich mathematisch sehr viel weiter bin als die schule. ob es mir trotzdem noch äußerst schwierig fällt kann ich nicht sagen. am besten liste ich mal auf, welche mathematischen gebiete ich bereits beherrsche
-lösen von DGL höherer ordnung.
- komplexe zahlen (eigentlich alles mit komplexen zahlen, also ich weiß nicht nur dass i²=-1 ist, sondern ich weiß auch was z.B arcsin(2) in komplexen zahlen ist.)
-ich denke schon dass ich lineare algebra gut kann
-integrale kann ich eigentlich sämtliche lösen, sowie mit taylorreihen lösbare integrale. auch natürlich mehrfach integrale in R^n
-vektoralgebra und vektoranalysis
-matritzen
- satz von fubine, stokescher satz etc. sind mir auch begriffe
braucht man sonst noch was dafür? also dafür dass wir in der schule grad erst ableitungen machen denk ich ist das schon was
also ich möchte es zumindest mal versuchen zu verstehen, ob ich es jetzt verstehen würde oder nicht kann ich nicht sagen.
du sagtest man braucht komplexe zahlen dafür. ich kenne mich eigentlich mit komplexen zahlen ziemlich gut aus, lediglich mit komplexen integralen hatte ich noch nicht sehr viel zu tun gehabt.
ich denke dass ich hie und da ein paar defizite haben werde, da ich mir das alles selbst aneignen musste, aber versuchen kann mans ja
und ich bin wirklich froh, dass es so ein forum gibt
es wäre nett wenn du es mir zeigen würdest |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5789
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 26. Mai 2006 00:36 Titel: |
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Hallo Schüler!
Also, für die 11. Klasse ist das wirklich beachtlich! 
Allerdings weiß ich trotzdem nicht, wo ich anfangen soll. Normalerweise macht man erstmal eindimensionale Problem, wie ein Kastenpotential, harmonisches Potential, Stufenpotential (eindimensionaler Tunneleffekt), etc...
Bei 3 Dimensionen kommt nämlich noch der Drehimpuls dazu und da sollte man eigentlich vorher mal etwas mit der Schrödingergleichung im eindimensionalen rumgerechnet haben.
Also, die Schrödingergleichung mit Coulomb-Potential ist:
\psi = E\psi)
Du mußt jetzt Funktionen ) finden, die diese Eigenwertgleichung erfüllen.
Um diese DGL zu lösen muß man ne Menge wissen. Erstmal kann man das hier schreiben:
 = \frac{u_l(r)}{r}Y_{lm}(\varphi, \vartheta))
wobei die Ylm die Kugelflächenfunktionen sind. Dass man das so auftrennen kann, ist nicht so einfach zu erklären. In den Kugelflächenfunktionen steckt aber schon ein Großteil der Lösung drin. Man kann sie für alle Zentralpotential-Probleme verwenden.
Der Witz bei diesen Funktionen ist, dass es Eigenfunktionen zu den Drehimpulsoperatoren l² und lz sind. Aber dazu müßte man erstmal das mit dem Drehimpuls einführen etc...
Auf jeden Fall kann man damit dann eine Radialgleichung aufstellen:
}{r^2}+\frac{2m_eZe^2}{\hbar^2r}+\frac{2m_eE}{\hbar^2}\right)u_l(r) = 0)
Wobei l die Drehimpulsquantenzahl ist (also eine ganze, positive Zahl).
Und jetzt braucht man noch eine Lösung für die Radialfunktion. Das ist aber nur noch ein eindimensionales Problem und deshalb einigermaßen lösbar.
Ich denke, das reicht erstmal für den Anfang.
Gruß
Marco |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 26. Mai 2006 10:48 Titel: |
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| Schüler hat Folgendes geschrieben: | | aber wie weiß ich, dass die wellenfunktionen quantenmechanischer objekte immer obengenannte form haben |
Die Wellenfunktion lässt sich bei vielen Problemen in eine Rehe von Eigenfunktionen entwickeln, wobei die Art der Eigenfunktionen von der Geometrie des Problems anhängt. Für einen rechteckigen Potentialtopf sind sind harmonische sin und cos Funktionen ab besten geeignet (und der Rechenaufwand ist relativ gering), während man für ein Zentralpotential besser die Kugelflächenfunktionen nimmt. Jedenfalls lässt sich der Winkelanteil dadurch wie beschrieben wegseparieren und es verbleibt eine Differentialgleichung für die Radialkomponente. Wie diese genau aussieht hängt wiederum vom Potential aus. So hat ein Coulombpotential ganz andere Radialfunktionen als zB ein starkes Kernpotential, weshalb die Kernphysik zwar gewisse Ähnlichkeiten mit der Atomphysik hat, jedoch auch definitive Unterschiede.
Nachdem man die Radialgleichung gelöst hat, würde man sehen, dass sich aus der Bedingung, dass die Radialfunktion für R gegen unendlich gegen Null gehhen muss, die Hauptquantenzahl N ergibt. Anders ausgedrückt, die u sind dann u(l,N), mit N=0, 1, 2, ...
Ich glaube mit Recht sagen zu können, dass nur wenige Physiker die Herleitung der Wellenfunktion des Wasserstoffs ad hoc aus der Tasche ziehen könnten, es sei denn, man hat damit täglich zu tun, oder man lernt gerade für die Quantenmechnik-Grundprüfung. Wie schon gesagt: man muss verdammt viele Detail dazu einfach wissen, und die Kugelflächenfunktionen sind in der Handhabung nicht trivial. |
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Schüler
Anmeldungsdatum: 05.05.2006
Beiträge: 175
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| Schüler Verfasst am: 26. Mai 2006 14:19 Titel: |
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erstmal danke für eure antworten
das hat mir sehr geholfen
kommt dann als lösung sowas raus wie
*Y_{l,m}(\phi,\theta) )
dabei sind dieser G Ausdruck die laguerre polynome n-ten grades
und
wobeu a_0 der bohrscheradius ist |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5789
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 26. Mai 2006 14:52 Titel: |
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Hallo!
Ja, das stimmt schon fast. Ich habe hier im Buch das hier stehen:
 = \sqrt{\frac{1}{a_0^3}}\frac{2}{n^2}\sqrt{\frac{\left(n-l-1\right) !}{\left(n+l\right) !}}\cdot \rho^l L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)\, e^{-\frac{\rho}{2}} Y_{lm}(\varphi, \vartheta))
Wobei ich jetzt für die Laguerre-Polynome ein L geschrieben habe aber sonst versucht habe, Deine Schreibweise zu übernehmen.
Allerdings kann es sein, dass Deine Gleichung auch stimmt. Ich kenne die Eigenschaften von den Laguerre-Polynomen nicht mehr so richtig, deshalb kann ich es im Moment nicht genau sagen.
Gruß
Marco
Zuletzt bearbeitet von as_string am 26. Mai 2006 16:09, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Schüler
Anmeldungsdatum: 05.05.2006
Beiträge: 175
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| Schüler Verfasst am: 26. Mai 2006 15:16 Titel: |
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ok danke schön
ich schau mir das später mal genauer an
was ist das denn für ein buch aus dem du das hast? |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5789
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 26. Mai 2006 16:08 Titel: |
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Hallo!
Ich habe jetzt die Formel direkt aus dem Buch von
Thorsten Fließbach: Quantenmechanik; 2. Auflage; Kapitel 28: "Wasserstoffatom"
auf den Seiten 216ff
Aber ich habe noch den Schwabl hier (QM I)und gerade auch noch im Rebhan "Theoretische Physik II" nach geschaut. Dort steht die Formel auf den Seiten 168 und 169 (1. Auflage)
Schwabl ist vom Springer Verlag und die beiden anderen vom Spektrum Verlag.
So weit ich sehe, ist die Herleitung im Rebhan ganz gut, wenn man das schnell und kurz haben will. Allerdings habe ich die jetzt nicht durch gelesen.
Gruß
Marco |
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