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Andi12356
Anmeldungsdatum: 13.10.2016
Beiträge: 64
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 Andi12356 Verfasst am: 24. Okt 2016 08:28 Titel: Galileo-Transformation |
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Kann mir jmd bei der Aufgabe helfen. Ich weis nicht wie ich da genau vorgehen muss?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 24. Okt 2016 09:26 Titel: |
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Gegeben ist eine Transformation
 \to (x^\prime,t^\prime) = T\,(x,t))
Damit eine Gruppe G vorliegt, muss die Transformation folgende Eigenschaften erfüllen:
Für zwei Elemente ist eine "Multiplikation" definiert.
Es existiert ein eindeutiges neutrales Element.
Zu jedem Element existiert ein eindeutiges inverses Element.
Für die "Multiplikation" gilt die Assoziativität.
In Formeln
 \circ T_3 = T_1 \circ (T_2 \circ T_3) \in \mathcal{G})
Du musst nun die in der Angabe definierte Transformation mehrfach ausführen und die o.g. Eigenschaften zeigen.
Bsp.:
 = T_2 \, (D_1 x + w_1 t + k_1,\beta_1 t + \lambda_1) = T_2 \, (x^\prime, t^\prime) = (D_2 x^\prime + w_2 t^\prime + k_2, \lambda_2 t^\prime + \beta_2))
Nun setzt du für (x', t') ein:
 = T_2 \, (x^\prime, t^\prime) = (D_2 [D_1 x + w_1 t + k_1] + w_2 [\beta_1 t + \lambda_1] + k_2, \lambda_2 [\beta_1 t + \lambda_1] + \beta_2))
In der Form musst du die Aufgaben angehen.
Für die Konstruktion des inversen Elementes musst du z.B. fordern, dass für gegebene T_1
 = (x,t,) )
gilt, daraus Gleichungen für T_2 ableiten und die Koeffizienten berechnen.
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Andi12356
Anmeldungsdatum: 13.10.2016
Beiträge: 64
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| Andi12356 Verfasst am: 24. Okt 2016 10:29 Titel: |
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Danke für die Antwort.
Zuerst hast du ja gezeigt dass die Verkettung gezeigt. Ich verstehe nicht im 2. Schritt wie du genau einsetzt, wo du schreibst: Nun setzt du für (x',t') ein?
Wäre das neutrale Element nicht die Einheitsmatrix?
Wie genau soll ich deinen letzten Schritt ausrechnen mit der Inversen?
Ich habe es wohl noch nicht verstanden 
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 24. Okt 2016 10:52 Titel: |
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| Andi12356 hat Folgendes geschrieben: | | Zuerst hast du ja gezeigt dass die Verkettung [existiert]. Ich verstehe nicht im 2. Schritt wie du genau einsetzt, wo du schreibst: Nun setzt du für (x',t') ein? |
Ich wende zuerst T_1 auf (x,t) an; das Ergebnis ist das (x',t'), und das entspricht letztlich der Angabe in deiner Aufgabe, lediglich mit dem Index _1.
Nun wende ich T_2 auf dieses (x',t') an; d.h. ich muss das x' und t', das ich mittels T_1 erhalten habe, einsetzen.
Die Gleichung
wird zu
 = (x,t,))
Zunächst must du zeigen, dass sich die linke Seite der Gleichung wieder in der ursprünglichen Form mit geeigneten D_3, w_3 usw. darstellen lässt. Dies beweist, dass die erste Eigenschaft erfüllt ist.
Dann musst du die Gleichung für D_2, w_2 usw. lösen, um die Invertierbarkeit, d.h. die Existenz eines inversen Elementes zu zeigen.
| Andi12356 hat Folgendes geschrieben: | | Wäre das neutrale Element nicht die Einheitsmatrix? |
Leider nein, weil die Darstellung nicht "Matrix T * Vektor (x,t)" lautet. Du hast z.B. noch den Vektor v sowie additive Konstanten. Wenn du lediglich auf die Rotation D schaust, dann hast du natürlich recht, das neutrale Element ist die Einheitsmatrix. Aber bzgl. der Translation ist das neutral Element der Nullvektor.
Deswegen ist das neutral Elememt zunächst mal dadurch definiert, dass (x'',t'') = (x,t) gilt. Daraus folgen dann Bedingungen für D, w, ...
Wenn dir die Aufgabe in der vollen Allgemeinheit zu komplizuert erscheint, dann kannst du dich ja auf eine Untergruppe kontentrieren (wobei du zeigen must, dass es sich um eine Untergruppe handelt). Eine Untergruppe ist sicher die der Rotationen, dargestellt mittels D, alle anderen Transformationen (Translationen, ...) entsprechen dem neutralen Element. Eine andere Untergruppe ist die der Translationen, wobei dann alle anderen Transformationen (Rotationen, ...) dem neutralen Element entsprechen.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Andi12356
Anmeldungsdatum: 13.10.2016
Beiträge: 64
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| Andi12356 Verfasst am: 24. Okt 2016 11:08 Titel: |
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Ok wow 
Kannst du mir vielleicht zeigen genau, wie ich die 1. Eigenschaft beweisen kann?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 24. Okt 2016 13:43 Titel: |
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Du musst zeigen, dass D, w, k und lambda existieren, so dass die Darstellung
 = (D_2 [D_1 x + w_1 t + k_1] + w_2 [\beta_1 t + \lambda_1] + k_2, \lambda_2 [\beta_1 t + \lambda_1] + \beta_2) )
funktioniert.
Du solltest dazu die folgenden Gleichungen nach x, t und Konstanten sortieren:
Du musst D, w, k und lambda also die Lösung nicht explizit konstruieren. Es reicht aus, zu zeigen, dass D, w, k und lambda existieren.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Andi12356
Anmeldungsdatum: 13.10.2016
Beiträge: 64
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| Andi12356 Verfasst am: 24. Okt 2016 21:57 Titel: |
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Danke schonmal. Ich verstehe nicht genau wie ich das Zeigen muss?
Muss ich einen Koefizientenvergleich durchführen?
Tut mir leid, dass ich so auf dem Schlauch stehe
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 24. Okt 2016 23:45 Titel: |
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Ja.
Exemplarisch:
Also:
(wenn ich mich nicht verrechnet habe)
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Andi12356
Anmeldungsdatum: 13.10.2016
Beiträge: 64
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| Andi12356 Verfasst am: 25. Okt 2016 01:07 Titel: |
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Aso danke. Aber was habe ich jetzt egtl genau gezeigt?
Der Sinn ist mir nicht klar?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 25. Okt 2016 06:52 Titel: |
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| Andi12356 hat Folgendes geschrieben: | | Aso danke. Aber was habe ich jetzt egtl genau gezeigt? |
Du hast leider noch gar nichts gezeigt.
Bei der Verknüpfung handelt es sich nicht um eine gewöhnliche Matrix-Multiplikation, daher muss man die Gruppeneigenschaften explizit beweisen.
Die erste Eigenschaft besagt, dass für zwei Elemente T_1 und T_2 diese Verknüpfung wieder auf ein Gruppenelement T führt. D.h. T muss mittels D, w, ... in der angegebenen Form darstellbar sein (und D, w, ... müssen eindeutig sein, dürfen nicht von x und t abhängen etc.). Zu beweisen ist also die Existenz und Eindeutigkeit von T in der angegebenen Form. Das habe ich bewiesen, in dem in T bzw. D, w, ... explizit berechnet habe.
Bsp. inverses Element: du musst wiederum eine derartige Gleichung aufstellen (ist oben bereits erfolgt); du musst D_2, w_2, ... für T_2 so bestimmen, das sie auf das inverse zum gegeben T_1 führen.
Jetzt bist du dran.
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Andi12356
Anmeldungsdatum: 13.10.2016
Beiträge: 64
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| Andi12356 Verfasst am: 25. Okt 2016 09:55 Titel: |
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Danke tomS. Ich tue mich wirklich schwer bei der Aufgabe. Kannst du vielleicht zeigen wie man die 1. Eigenschaft beweist und was am Ende genau rauskommen muss. Dann verstehe ich hoffentlich das Prinzip und kann die anderen Dinge beweisen. Wäre wirklich nett.
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Andi12356
Anmeldungsdatum: 13.10.2016
Beiträge: 64
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| Andi12356 Verfasst am: 25. Okt 2016 21:09 Titel: |
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Das neutrale Element wäre doch die Matrix mit Eintrag (Einheitsmatrix, Nullvektor, Nullvektor, 0)
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Andi12356
Anmeldungsdatum: 13.10.2016
Beiträge: 64
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| Andi12356 Verfasst am: 25. Okt 2016 21:20 Titel: |
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Also für t und lamda gilt doch dann:
t= lambda_2 * beta_1
lamda= lamda_2 * lambda_1 + lambda_1 * beta_1 ist das so richtig??
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 25. Okt 2016 21:25 Titel: |
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Zum Neutralelement der Gruppe: dieses muss doch auch die Form (G, g) haben. Welches (G, g) bildet jedes (x, t) auf (x, t) ab?
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Andi12356
Anmeldungsdatum: 13.10.2016
Beiträge: 64
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| Andi12356 Verfasst am: 25. Okt 2016 21:34 Titel: |
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also G muss dann (Einheitsmatrix, Nullvektor, Nullvektor, Nullvektor)
g (Nullvektor,0) so?
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 25. Okt 2016 22:13 Titel: |
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Entschuldige, ich habe einen totalen Müll geschrieben. Für das Neutralelement e muss natürlich gelten
für alle T der Gruppe.
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Andi12356
Anmeldungsdatum: 13.10.2016
Beiträge: 64
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| Andi12356 Verfasst am: 25. Okt 2016 22:17 Titel: |
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Wie schreibt man das am besten formal hin?
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Andi12356
Anmeldungsdatum: 13.10.2016
Beiträge: 64
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| Andi12356 Verfasst am: 25. Okt 2016 22:33 Titel: |
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Ich meine die Darstellung des neutralen Elements E=....?
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 25. Okt 2016 22:33 Titel: |
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Ich würds einfach so schreiben:
-Neutralelement: Für
) mit , g=0) gilt:
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Andi12356
Anmeldungsdatum: 13.10.2016
Beiträge: 64
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| Andi12356 Verfasst am: 25. Okt 2016 22:38 Titel: |
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Danke  ...Jetzt fehlt nur noch die Inverse. Da tue ich mich schwer. D, omega und k sind ja bestimmt. Das lambda von mir ist hoffentlich richtig? Die erste Komponente der Inversen wäre für mich D^T ...weiter komme ich nicht leider. Kannsr du mir helfen?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 25. Okt 2016 22:39 Titel: |
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Halt; du hast noch nichts bewiesen!
Du musst das genauso machen wie oben: Der Index _1 entspreche einem beliebgen Element T; der Index _2 entspreche dem neutralen Element. Dann schreibst du die gesamte Formel wieder hin und forderst, dass sie dem Ergebnis entspricht, wie wenn du _2 nicht angewandt hättest.
Also du schreibst
)
mittels D_1, w_1, ... und D_2 uns w_2 aus (s.o.).
Dann schreibst du
)
ebenfalls mittels D_1, w_1 aus.
Und zuletzt forderst du Gleichheit, also
 = T_1 \, (x,t))
für beliebige (x,t), formuliert mittels D, w, ... und löst für D, w, ... auf
Wenn dies gilt, d.h. wenn dies für beliebige (x,t) sowie beliebige T_1 eindeutig lösbar ist, dann ist e offensichtlich das neutrale Element; der Weg funktioniert wie oben mittels Koeffizientenvergleich (du musst das grundsätzlich zweimal zeigen, einmal für T*e und einmal für e*T)
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 25. Okt 2016 22:43, insgesamt einmal bearbeitet |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 25. Okt 2016 22:40 Titel: |
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| Andi12356 hat Folgendes geschrieben: | | Danke ...Jetzt fehlt nur noch die Inverse. Da tue ich mich schwer. D, omega und k sind ja bestimmt. Das lambda von mir ist hoffentlich richtig? Die erste Komponente der Inversen wäre für mich D^T ...weiter komme ich nicht leider. Kannsr du mir helfen? |
Ganz ehrlich: Mach auch mal was alleine!!!!
Du läßt hier andere Deine Arbeite machen!!!!
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 25. Okt 2016 22:40 Titel: |
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Das ist einfach nur dreist von Dir!!!
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Andi12356
Anmeldungsdatum: 13.10.2016
Beiträge: 64
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| Andi12356 Verfasst am: 25. Okt 2016 22:48 Titel: |
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Es tut mir leid. Ich versuche es aber steige einfach nicht dahinter. Ich würde doch gerne das selber rechnen wenn ich wüsste wie...
Für das Inverse Element habe ich die Darstellungen von D, omega, k und lambda. Die muss ich doch dann einfach umdrehen?
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 25. Okt 2016 22:49 Titel: |
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| Andi12356 hat Folgendes geschrieben: | Es tut mir leid. Ich versuche es aber steige einfach nicht dahinter. Ich würde doch gerne das selber rechnen wenn ich wüsste wie...
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Sorry... das glaub ich Dir nicht ... Du bist einfach faul!!
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Andi12356
Anmeldungsdatum: 13.10.2016
Beiträge: 64
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| Andi12356 Verfasst am: 26. Okt 2016 21:45 Titel: |
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Ich muss aus dieser Gleichung mein lambda darstellen.
Wenn ich ausmultipliziere erhalte ich 
ist dann mein  als allgemeine Darstellung. Warum brauche ich das t nicht?
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 26. Okt 2016 21:49 Titel: |
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| Andi12356 hat Folgendes geschrieben: |
ist dann mein als allgemeine Darstellung. Warum brauche ich das t nicht? |
Der t-abhaengige Teil liefert Dir einen anderen Teil der Antwort (den Tom in seiner einen Antwort oben unerwähnt ließ).
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Andi12356
Anmeldungsdatum: 13.10.2016
Beiträge: 64
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| Andi12356 Verfasst am: 26. Okt 2016 21:54 Titel: |
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wofür brauche ich denn den?
Steht das beta eigentlich für die Determinante und das lamda für die Zeitverschiebung?
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 26. Okt 2016 21:58 Titel: |
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Nur damit Du jetzt nicht stundenlang vor dem Bildschirm auf meine Antwort wartest:
Es gibt wenige Sachen die ich mehr hasse als ein Problem zu mikro-managen und eine Rechnung in jedem winzigen Schritt begleiten zu müssen. Rechne selber mal mehr als nur den kleinsten möglichen Schritt und denk darüber nach was Du da tust. Anders lernst Du es nicht. Glaub mir. u.U gehören auch längere Rechnungen, die sich im Nichts verlaufen, dazu ...
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Andi12356
Anmeldungsdatum: 13.10.2016
Beiträge: 64
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| Andi12356 Verfasst am: 26. Okt 2016 22:00 Titel: |
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Kannst du mir nur bitte sagen, was ich mit dem t machen soll
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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Andi12356
Anmeldungsdatum: 13.10.2016
Beiträge: 64
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| Andi12356 Verfasst am: 26. Okt 2016 22:06 Titel: |
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Für den Gruppenbeweis brauche ich das t doch nicht:
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Andi12356
Anmeldungsdatum: 13.10.2016
Beiträge: 64
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| Andi12356 Verfasst am: 27. Okt 2016 01:01 Titel: |
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also für das inverse Element habe ich folgendes:
(D^(-1), D^(-1)(-w beta), D^(-1)(-k-w * lambda), -beta/ lambda)
ist das richtig?
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