Käfer auf Kreisscheibe

SL@Sh · Anmeldungsdatum: 17.07.2015 Beiträge: 8

Hallo

Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Ein Käfer befindet sich auf dem Rand einer Scheibe (Radius R = 1 m), die sich mit einer Winkelgeschwindigkeit

dreht. Er läuft aus seiner Sicht mit einer konstanten Geschwindigkeit von

gerade auf den Mittelpunkt der Scheibe zu.

a) Bestimmen Sie die Zeit, die der Käfer vom Rand der Scheibe bis zum Mittelpunkt braucht. Um welchen Winkel hat sich die Scheibe in dieser Zeit gedreht?

Kann ich ich hier einfach die normale Weg/Zeit Formel nehmen, da der Käfer ja schon die Geschwindigkeit der Platte hat und nicht beschleunigt wird?

b) Bestimmen Sie die Bahnkurve des Käfers, so wie sie ein Beobachter von aussen sieht. Wie verändert sich die Bahnkurve für verschiedene

?

Hinweis: Verwenden Sie Polarkoordinaten mit

wobei

der Einheitsvektor in radialer Richtung und

der Einheitsvektor in tangentialer Richtung ist.

Und hier komm ich überhaupt nicht weiter. x kann ich ausdrücken als

und y als

.
Aber wie weiter? Ich habe mir überlegt, dass die tangential geschwindigkeit und die Geschwindigkeit des Käfers einen neuen Vektor ergibt, der die Versetzung des Käfers angibt, allerdings weiss ich nicht, wie ich das mathematisch hinbekommen soll, noch ob es der richtige Ansatz ist.

Ich wäre wirklich dankbar um geduldige Hilfe!

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5873

Guten Morgen

Zu a) Ja. Da sich der Käfer aus seiner Sicht mit v_0 auf den Mittelpunkt zubewegt, nimmt der Radius mit v_0 ab. Die Zeit ergibt sich also relativ einfach.

Zu b) Du kannst die Bahnkurve und den Geschwindigkeitsvektor schon ausdrücken durch x=r*cos ... , y= r*sin ..., aber das wären keine Polarkoordinaten, sondern kartesische Koordinaten ausgedrückt durch r, phi.
Der Ortsvektor ausgedrückt in Polarkoordinaten lautet (die von dir angegebene Gleichung ist so nicht ganz richtig):

Beim Geschwindigkeitsvektor, d.h. der zeitlichen Ableitung des Ortsvektors, ist nun zu beachten, dass die Ortsvektoren

und

zeitabhängig sind. Mit der Kettenregel ergibt sich:

.

(Der Einheitsvektor

dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit

.) Damit sollte es nun nicht mehr schwer sein, die Bahnkurve auszudrücken, da

und

bekannt sind.

PS: Eben erst gesehen, dass der Geschwindigkeitsvektor gar nicht verlangt ist. Die Polarkoordinaten der Bahnkurve wären dann einfach das Paar

.

SL@Sh · Anmeldungsdatum: 17.07.2015 Beiträge: 8

Hallo Myon

Vielen lieben Dank für die rasche Antwort. In Ordnung, der Geschwindigkeitsvektor wird nicht verlangt. Trotzdem vollständigkeitshalber, verstehe ich das richtig?:

?

abgeleitet ist ja

. richtig so weit? Was ist dann r abgeleitet?

Desweiteren, wenn ich die Bahnkurve des Käfers beschreiben möchte, ändert sich ja sein Radius mit seiner Geschwindigkeit? Wäre dann das folgende richtig?:

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5873

Ja, hier ist

. Wegen

gilt

.

Die Polarkoordinaten der Bahnkurve sind somit

(Den Winkel

solltest du jetzt noch selber angeben können smile

.

SL@Sh · Anmeldungsdatum: 17.07.2015 Beiträge: 8

Auch auf die Gefahr hin, mich komplett zu blamiere, dachte ich, ich hätte den Winkel in Abhängigkeit der Zeit schon angegeben.

Ist der Winokel abhängig von der Zeit, also:

?

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861