Carnot'scher Wirkungsgrad - Beweisführung

Phenton · Anmeldungsdatum: 12.02.2016 Beiträge: 13

Hallo,

Ich habe im Moment große Schwierigkeiten beim Nachvollziehen einer mir vorliegenden Beweisführung zum carnot'schem Wirkungsgrad. Es soll bewiesen werden, dass der carnot'sche Wikrungsgrad ηc immer größer oder gleich ist als der Wirkungsgrad ηx von jeder anderen Wärmekraftmaschine, arbeitend auf der gleichen Temperaturebene.

Dafür wird in dieser Beweisführzung versucht, einen Widerspruch zu finden im Fall der Annahme, dass ηx größer ist als der der cagnot'schen Wärmekraftmaschine.

Die Maschine X hat also den höheren Wirkungsgrad als Maschine C (-> siehe Abbildug links im Anhang). Das bedeutet dann, dass die Nutzarbeit Wx größer ist als Wc.

Nun soll die Maschnine C in ihrer Funktion umgekehrt werden, heißt als Wärmepumpe arbeiten (->Abbildung rechts, Anhang). Dabei wird die entstehende Wärme nun der Wärmekraftmaschine X zugeführt, welche daraus dann die Arbeit Wx generiert, sowie die anfallende Abwärme aus (1-ηx)*Q wieder ins kalte Reservoir abgibt, aus der die Wärmepumpe C anfangs ihre Energie gezogen hatte (von der entstehenden Energie Wx geht dabei die Energie Wc zum Betrieb von Wärmepumpe C ab).

Erstmals, ich verstehe hierbei den Widerspruch nicht, warum es sich hierbei dann überhaupt um ein Perpetuum Mobile 2. Art handeln würde, wie am Ende der Beweisführung steht. Denn so ist die Wärme die Maschine C aus dem kalten Reservoir entnimmt größer als jene die X wieder abgibt, ist die zugeführte Arbeit von C aber eben entsprechend kleiner als die abgegebene von X; was ist hier mein Überlegungsfehler, denn so scheint es für mich so als wäre Anfangsenergie gleich Endenergie, so wie es nach Energierhaltung sein muss. (Im Text steht: "Dieses System wäre ein Perpetuum mobile 2. Art, weil es nichts weiter tut, als ständig ein Reservoir abzukühlen und daraus Arbeit zu gewinnen" - Mein Verständnisproblem: Wenn die Wärme aus dem reservoir entnommen wird, und von Maschine X als Arbeit wieder abgegeben wird, wo dann das Problem?)

Ferner -angenommen es handelt sich hierbei jetzt doch um ein Perpetuum Mobile (bitte um Erklärung hierfür)- so erscheint mir dies immer noch kein Beweis dafür zu sein, dass es keine andere Wärmekraftmaschine (zwischen den zwei Temperaturen) geben kann, die eine höheren Wirkungsgrad hat als C. Meine Annahme hierzu: Was, wenn der Wirkungsgrad von X kleiner ist als der von C (so wie es ja nach Carnot sein muss), aber dann in der Annahme nicht C als Wärmepumpe ausgeführt wird, sondern X. Ist das dann nicht genau das gleiche, nur umgekehrt, würde dann nicht der gleiche (vermeindliche) Widerspruch entstehen?

Ich hoffe, dass ich mich verständlich ausgedrückt habe, und würde mich sehr über eine kleine Hilfestellung freuen, da ich hier jetzt echt nicht mehr weiter weiß, worin mein (oder meine) Überlegungsfehler liegt (/liegen).

thx2 · Gast

Was bei deinen Überlegungen fehlt ist der 2.Hauptsatz
Du musst die Entropieänderung der Anlage (2.Bild) berechnen

Beim 2.Bild sind allerdings 2 Dinge merkwürdig
1.Der Pfeil ganz rechts. Der müsste auf die Maschine C zeigen mit Wc
2.Der Pfeil links im 2.Bild. Hier sollte nur Wx stehen

Phenton · Anmeldungsdatum: 12.02.2016 Beiträge: 13

Okay, ich hab mich jetzt erneut an den Schreibtisch gesetzt und versucht es zu begreiffen. Aber selbst mit konkretem Zahlenbeispiel erkenne ich keinen Widerspruch; hier mein Beispiel:
Angenommen das kalte Reservoir hat eine Temperatur von 293K (Zimmertemp.), und das warme eine von 752 K (frei gewählt). Dafür ergibt sich dann ein carnot'scher Wirkungsgrad von 60,1037% (in etwa).
Ich bin bei der Maschine X (wo eta größer als 0,601037) dann einfach mal von einem Wirkungsgrad von 80% ausgegangen.

Gut soweit! Jetzt kehre ich dann die Laufrichtung von Maschine C um. Dies ergibt dann eine Leistungszahl von ε=1/η, also etwa 1,6638 (korrekt?).

Ich hab dann auch versucht die Entropie zu berrücksichtigen: In der Tabelle nachgeschaut habe ich für O2 (Gas in der Annahme) eine Standardentropie von 205 J/(K*mol). Gut, habe ich einfach mal für Q mit 205J * Temperaturdifferenz (gleich 459K) gewählt, also 94,095 kJ.

Bei einem Wirkungsgrad von 0,8 ergibt dies dann für Wx einen Wert von 75,276 KJ und für die Abwärme Q-|Wx| 18,819 kJ.

Bei der gegebenen Leistungszahl von C ergibt sich dann für Wc einen Wert von 57,433 kJ, und somit für die hierbei aufgenommene Wärmemenge Q-|Wc| 36,662 kJ.

Jetzt die Billanz:

c

x

c

x

Wo ist also hier der Widerspruch, wenn was als Wärme aufgenommen im Gesamtsystem als Arbeit abgegeben wird?; Energieerhaltung nicht missachtet!

Ganz bestimmt bin ich sowas von auf dem Holzweg, und stehen meine Berechnungen vor allem in keimem Zusammenhang mit der Tatsache, dass ηc der cornot'sche Wirkungsgrad ist, dieses Ergebniss würde ich für alle Werte von ηc und ηx erhalten, von 0,0001 bis 0,9999.

Mir fällt auch auf, so wie ich hier die Entropie für meine Berrechnungen vermeindlich verwendet habe, hat diese gar keine Aussagekraft. In wiefern würde sich die Entropie verhalten, wenn ηx ηc übersteigt? Würde ΔS dann negativ und somit das ganze unmöglich? Heißt das, dass bei zweimal dem gleichem Wirkungsgrad der Maschinen die Entropiedifferenz gleich Null wäre? Und wie verhällt es sich bei zweimal dem gleichen, aber beliebig anderem (geringeren) Wert, dann größer als Null?

Auch wenn ich nicht ganz den Durchblick hierbei habe, ich denke, ich könnte jetzt auf der richtigen Spur sein; Schilderungen oben richtig? (Unbeachtet der sinnlosen (wenn auch richtigen (richtig?)) Berrechnungen.)

Noch was: Inwiefern ist die Aussage aus der Beweisführung "Dieses System wäre ein Perpetuum mobile 2. Art, weil es nichts weiter tut, als ständig ein Reservoir abzukühlen und daraus Arbeit zu gewinnen" als korrekt anzusehen. Meiner Ansicht nach ist die Begründng dieses Satzes nicht vollständig definiert, und somit der Satz wie er da steht falsch. Denn ansich wäre es doch noch lange kein Perpetuum Mobile, wenn Wärme aus einem Reservoir gezogen wird und zu Arbeit umgewandelt wird (zumindest nicht ohne einschränkende Bedingungen). Ein P.m. wäre es nur (ohne weitere Bedingungen), wenn Arbeit generiert sowie Wärme ins Reservoir abgegeben würde. Korrekt?[/list]

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

Nur kurz, da es schon etwas spät ist: Die Kombination aus hypothetischer "Wundermaschine" X und Carnot-Maschine C verstösst nicht gegen den 1. Hauptsatz der Thermodynamik, aber gegen den zweiten. Der Satz "Dieses System wäre ein Perpetuum mobile 2. Art, weil es nichts weiter tut, als ständig ein Reservoir abzukühlen und daraus Arbeit zu gewinnen" trifft zu.

Nach dem 2. Hauptsatz kann eine reversibel arbeitende Maschine nur den Anteil (T_1-T_2)/T_1 der Wärme in Arbeit umwandeln, der Rest geht als Wärme "verloren", da sie an ein Reservoir bei der kühleren Temperatur T_2 abgegeben wird (genau dies passiert bei der Kombination der Maschinen X und C nicht). Dieser 2. Hauptsatz folgt nicht aus dem Energieerhaltungssatz, sondern ist vor allem eine Erfahrungstatsache und folgt unter bestimmten Annahmen auch aus der statistischen Physik.

Phenton · Anmeldungsdatum: 12.02.2016 Beiträge: 13

Okay, das ist wahr, in dem Fall hier würde die Doppel-Maschine im Gesamten mit Null-Verlusten arbeiten.

Und doch, so denke ich, würde doch exakt das gleiche Ergebniss bei herauskommen, wenn Maschine X die carnot'sche wäre und C einen geringeren Wirkungsgrad hätte (z.B. 40%), nur dass dann die Werte geringer wären. Was wäre hier der Unterschied, oder anders gefragt, warum ist in meinem Beispiel exakt 60% die Grenze (könnte also eine Kombination 40%-60% existieren, aber 60%-80% nicht!) ? Ist es einzig die die Entropiedifferenz die im zweiten Falle negativ würde, und es daher so nicht ablaufen könnte? Denn irgendwie muss sich das ganze doch rechnerisch Belegen lassen, und kann sicherlich nicht ausschließlich auf Erfahrungen beruhen, oder?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

Eine Carnot-Maschine kann den Anteil (T1-T2)/T1 von Wärme aus dem wärmeren Reservoir in Arbeit umwandeln. Arbeitet eine Carnot-Maschine als Wärmepumpe, benötigt sie die Arbeit W, um die Wärmemenge Q=W*T1/(T1-T2) ins wärmere Reservoir zu "pumpen".

Hat man nun in der kombinierten Maschine eine Wärmepumpe, die schlechter ist als eine Carnot-Maschine, benötigt sie mehr Arbeit für die gleiche Wärmemenge, und eine Carnot-Maschine links reicht nicht, um diese Arbeit zu produzieren. Somit funktioniert das Ding nicht und es ergibt sich auch kein Widerspruch.

Phenton · Anmeldungsdatum: 12.02.2016 Beiträge: 13

Okay; Annahme: Wirkungsgrad Maschine C: 0,6 (cargnot'scher Wirkungsgrad in meinem Beispiel); Wirkungsgrad Maschine X: 0,4.

Um Wärmemenge Q zu generieren muss X 0,4*Q an Arbeit aufbringen (richtig?). Entsprechend werden 0,6*Q an Wärme aus dem Reservoir entzogen. Die Maschine C nimmt sich 1 Q, und generiert daraus eine Arbeit von W=0,6*Q und eine Wärme von 0,4*Q, die sie wieder ans Reservoir abgibt.

Was ist falsch an obiger Überlegung, denn wäre 0,6*Q (die von C generiert werden) doch mehr als Ausreichend um X mit 0,4*Q zu betreiben?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

Phenton · Anmeldungsdatum: 12.02.2016 Beiträge: 13