Brechungsgesetz durch Fermatsches Prinzip

Flashbob · Anmeldungsdatum: 14.08.2016 Beiträge: 23

Guten Abend,

ich habe mich mal an der Herleitung des Snelliusschen Brechungsgesetzes mittels dem Prinzip von Fermat versucht.

Im Prinzip steht es ja bereits hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Fermatsches_Prinzip#Herleitung_des_Brechungsgesetzes

Ich richte mich mal nach der dort geposteten Skizze.
Mein Ansatz für das Aufstellen der zu minimierenden Zeitfunktion t(x) ist wie folgt:

Durch etwas Trigonometrie folgt

und ebenso folgt für die beiden Ausbreitungsgeschwindigkeiten in Medium 1 und Medium 2 dann

Eingesetzt in t(x) kommt man dann auf

Die notwendige Bedingung für Extrempunkte führt dann zu

Daraus folgt dann jedoch

, was so herum ja eben nicht dem oben erwähnten Brechungsgesetz entspricht.

Wo ist mein Denkfehler ?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Bei der Suche nach dem Extrempunkt t'(x) = 0 wird quasi die Entrittsstelle x bewegt. Dadurch ändern sich aber sofort alpha und beta, die kannst Du bei der Ableitung nicht als Konstanten behandeln.

Flashbob · Anmeldungsdatum: 14.08.2016 Beiträge: 23

Ah ok, danke.
Das heißt es muss hier damit zwangsweise vorher noch der Weg über Pythagoras wie bei Wiki gegangen werden, oder ?

Auf derselben Seite direkt darunter ist ebenso das Reflexionsgesetz hergeleitet.
Dort klappt es jedoch ohne Pythagoras mit der Herleitung des Reflexionsgesetzes, obwohl die Winkel ja auch dort von der Position des Punktes P abhängen.
Ist das Zufall oder wie ist das zu erklären ?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Erstmal gut, daß Du nach eigenen Lösungen sucht!

Aber hier bleibt wohl nur der prinzipielle Weg der Musterlösung. Übrigens auch bei der Reflexion: Wie kommt das Licht vom festen A1 zum festen A2: Man läßt P (oder x) probeweise "rutschen" (mit Pythagoras) und sucht den schnellsten Weg.