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syphracos
Anmeldungsdatum: 26.01.2016
Beiträge: 10
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 syphracos Verfasst am: 27. Mai 2016 02:17 Titel: Mathe-Frage |
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Meine Frage:
Hallo an alle!!
Ich weiß dass das hier ein Physikerforum ist, aber trzotzdem brauchen wir alle Mathe ;)
Ich hätte eine Frage zur einer diff.Gleichung.
Es geht: (1+x^2)^(3/2)y'' = 1
Also: (1+x^2)Hoch 3/2 * y'' = 1.
Könnte mir vielleicht jemand damit helfen?
Danke voraus!
LG
Benjamin
Meine Ideen:
Ich habe im Wolfram nachgeschaut und er sagt, es handle sich um eine Euler-Cauchy diff.Gleichung 2. Ordnung. Aber trotzdem versteh ich nicht, wie genau und wie man es berechnet! |
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yukterez
Anmeldungsdatum: 20.09.2014
Beiträge: 96
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| yukterez Verfasst am: 27. Mai 2016 04:11 Titel: |
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| syphracos hat Folgendes geschrieben: | | Es geht: (1+x^2)^(3/2)y'' = 1 |
=\frac{t^2}{2 \left(x^2+1\right)^{3/2}}+t v_0+y_0)
 = \frac{t}{\left(x^2+1\right)^{3/2}}+v_0)
| syphracos hat Folgendes geschrieben: | | Ich habe im Wolfram nachgeschaut und er sagt, es handle sich um eine Euler-Cauchy diff.Gleichung 2. Ordnung. Aber trotzdem versteh ich nicht, wie genau und wie man es berechnet! |
Mit Wolfram so:
| Code: | a[t_] = DSolve[{(1 + x^2)^(3/2) y''[t] == 1, y'[0] == v0, y[0] == y0}, y[t], t][[1]][[1]]
b[t_] = FullSimplify[a[t][[2]]];
Y[t_] = b[t];
"y[t]" -> Y[t]
"y'[t]" -> Y'[t] |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 27. Mai 2016 08:00 Titel: |
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@yukterez: sorry, aber das ist doch Unsinn.
Hier liegt eine DGL in x vor, nicht in t.
^{3/2}\,\frac{d^2y}{dx^2} = 1 )
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 27. Mai 2016 08:07, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 27. Mai 2016 09:34 Titel: Re: Mathe-Frage |
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| syphracos hat Folgendes geschrieben: | | Ich habe im Wolfram nachgeschaut und er sagt, es handle sich um eine Euler-Cauchy diff.Gleichung 2. Ordnung. |
Das sehe ich nicht so. Eine Euler-Cauchy DGL wäre homogen. Die vorliegende DGL ist inhomogen und wird m.W.n. einfach als Euler DGL bezeichnet. Die übliche Notation für verschwindende Terme nullter und erster Ordnung lautet
)
Deine DGL kann sehr einfach auf diese Form gebracht werden.
Die allgemeine Lösung folgt aus der allgemeinen Lösung der homogenen DGL für S(x) = 0 plus einer speziellen Lösung der inhomogenes DGL für gegebenes S(x).
Die Lösung der homogenen Gleichung sollte kein Problem darstellen.
Die Lösung der inhomogenen Gleichung folgt m.E. mittels Variation der Konstanten http://www.math.tugraz.at/~ganster/lv_analysis_2/20_variation_der_konstanten_wronsky.pdf |
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syphracos
Anmeldungsdatum: 26.01.2016
Beiträge: 10
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| syphracos Verfasst am: 27. Mai 2016 10:23 Titel: |
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TomS: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2Bx%5E2)%5E(3%2F2)+y%27%27+%3D+1
So weit ich sehe, steht da doch Euler-Cauchy. Nur das der Term in den Klammern auf der rechten Seite ist.
Kannst du mir bitte helfen auf diese Form, die du geschrieben hast, zu kommen? Weil nur da hab ich ein bischen Probleme. Sonst weiß ich, wie ich es für den Homogenen und inhomogenen Teil berechnen muss.
P.S. der Link den du gestellt hast ist mir bekannt. Ich bin auf der Uni Graz und hatte den Prof. Ganster  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 27. Mai 2016 10:42 Titel: |
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Die Bezeichnungen in der Literatur sind evtl. etwas inkonsistent
http://mathworld.wolfram.com/EulerDifferentialEquation.html
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cauchy–Euler_equation
Du musst die DGL nicht auf die von mir genannte Form mit dem Faktor x^2 bringen um das Lösungsverfahren anzuwenden. Es ist lediglich so, dass die o.g. DGL-Typen üblicherweise in dieser Form notiert sind. Wenn du diese Form haben möchtest, dann musst du einfach deine DGL mit
^{-3/2})
multiplizieren.
M.E. kannst du die DGL
 = f(x))
mittels der homogenen Lösungen
 = a)
 = bx)
sowie der Methode in dem verlinkten Skript unmittelbar lösen. |
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yukterez
Anmeldungsdatum: 20.09.2014
Beiträge: 96
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| yukterez Verfasst am: 27. Mai 2016 18:28 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Hier liegt eine DGL in x vor, nicht in t. |
Echt? Ich dachte mit  sei  , also ) gemeint, aber wenn es ) ist lag da wohl ein Missverständnis vor, dann lautet die Lösung natürlich
 = v_0\cdot x+\sqrt{x^2+1}+y_0-1)
 = v_0+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})
mit  als initial condition für ) und  für ) |
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