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Wurstfinger
Gast
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 Wurstfinger Verfasst am: 14. Aug 2015 13:23 Titel: D'Alembertsches Prinzip unabhängige Koordinaten |
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Meine Frage:
Hallo,
ich habe ein paar hoffentlich nicht zu dumme Verständnisfragen zum D'Almebertschen Prinzip und zwar.
Man geht von der Newtonschon Bewegungsgleichung mit Zwangskräften aus
 jetzt multipliziert man die Gleichung mit einer realen Verrückung mit  und bekommt jetzt dx_i = 0)
In meinem Skript steht dass die in der Gleichung unabhängig voneinander sind im Gegensatz zu den virtuellen Verrückungen welche abhängig voneinander sind.
1.)Warum sind Koordinaten der virtuellen Verrückungen  ) abhängig voneinander und die realen Verrückungen nicht?Ich kann doch wenn ich mir ein Teilchen auf einer Tischplatte vorstelle sowohl Koordinaten der virtuellen als auch die der realen Verrückungen beliebig variieren. Wie kann ich das anhand der Gleichungen festmachen dass das nicht so ist?
2.) Warum kann ich mit unabhängigen Koordinaten keine Lösung des mechanischen Problems darstellen?
Meine Ideen:
Ich habe da noch grundsätzliche Verständnisschwierigkeiten deshalb habe ich noch keine Idee wie ich dahinterkomme...
Vielen Dank für Hilfe im Voraus!!
Beste Grüße! |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 14. Aug 2015 15:56 Titel: Re: D'Alembertsches Prinzip unabhängige Koordinaten |
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Der Unterschied zwischen virtuellen und realen Verrückungen hat erstmal nichts mit der Frage zu tun ob ihre Komponenten abhängig oder unabhängig sind. Unabhängig sind sie, wenn sie die holonomen Zwangsbedingungen identisch erfüllen, sonst sind sie voneinander abhängig.
Zwischen virtuellen und realen Verrückungen existiert ohnehin nur dann ein Unterschied, wenn die Zwangsbedingungen zeitabhängig sind. Denn die Summe der virtuellen Arbeiten ist in jedem Falle null, während zeitabhängige Zwangskräfte sehr wohl reale Arbeit leisten können.
| Wurstfinger hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
ich habe ein paar hoffentlich nicht zu dumme Verständnisfragen zum D'Almebertschen Prinzip und zwar.
Man geht von der Newtonschon Bewegungsgleichung mit Zwangskräften aus
jetzt multipliziert man die Gleichung mit einer realen Verrückung mit und bekommt jetzt
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So stimmt das doch nicht. Das d'Alembertsche Prinzip besagt doch, daß die Summe der virtuellen Arbeit aller Zwanskräfte verschwindet, d.h.
\cdot \delta r_i = 0.)
Die Verrückungen sind hier virtuell, sonst wäre die Bedingung i.A. falsch.
| Zitat: |
In meinem Skript steht dass die in der Gleichung unabhängig voneinander sind im Gegensatz zu den virtuellen Verrückungen welche abhängig voneinander sind.
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Ich spekuliere mal, daß derjenige, dessen Gedanken im Skript stehen, nicht scharf zwischen den Konzepten "Differential generalisierter Koordinaten" und "reale Verrückung" unterscheidet. Das wäre ein Fehler. Vielleicht liegt es aber auch an deiner Interpretation des Skripts?
| Zitat: |
1.)Warum sind Koordinaten der virtuellen Verrückungen abhängig voneinander und die realen Verrückungen nicht?Ich kann doch wenn ich mir ein Teilchen auf einer Tischplatte vorstelle sowohl Koordinaten der virtuellen als auch die der realen Verrückungen beliebig variieren. Wie kann ich das anhand der Gleichungen festmachen dass das nicht so ist?
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Ja, das sehe ich eigentlich auch so. (s.o.)
| Zitat: |
2.) Warum kann ich mit unabhängigen Koordinaten keine Lösung des mechanischen Problems darstellen?
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Das kann man doch. Das ganze nennt sich in der Mechanik dann auch manchmal "Lagrange-Gleichungen 2. Art." |
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Wurstfinger
Gast
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| Wurstfinger Verfasst am: 14. Aug 2015 17:26 Titel: |
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Hallo,
Danke für die ausführliche Antwort.
Es steht exakt folgendes in meinem Skript:
Man geht von der Newtonschen Bewegungsgleichung aus  und erhält nach Multiplikation mit diese Gleichung und dann steht "Diese Gleichung soll für beliebige x_i gelten insbesondere für  dann folgt wieder die Newtonsche Bewegungsgleichung"
Die weiteren Überlegungen Betreffen dann die virtuellen Verrückungen und kommt dann auf \delta x_i ) das ist mir soweit klar.Nicht klar wirds ab hier:
Da die virtuellen Verrückungen mit den Zwangsbedingungen verträglich sein müssen, sind die  nicht mehr unabhängig voneinander.Warum sind sie es nicht? Und wo liegt das Problem wenn sie es sind?Heißt das dass  ist.Das ist auch der Grund weshalb man generalisierte Koordinaten einführt.
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Ich zitiere jetzt Nolting S. 15 8. Aufl " Die virtuellen Verrüchungen sind wegen der Zwangsbedingungen nicht unabhängig voneinander die Gleichung [latex] \sum (F_i-m_i \ddot x_i)\delta x_i ) ist deshalb noch nicht geeignet verwertbare Bewegungsgleichungen abzuleiten"
Mein Problem ich erkenne keine explizite Abängigkeit der virtuellen Verrückungen voneinander.
Das D'Alembertsche Prinzip hab ich soweit verstanden die weiteren Überlegungen sind mir nicht mehr so klar.(siehe oben)
Ich danke im Voraus für Hilfe und hoffe meine Unklarheiten etwas präziser formuliert zu haben.
P.S. Bei Frage 2.) war ein Fehler es sollte heißen abhängige Koordinaten |
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Wurstfinger
Gast
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| Wurstfinger Verfasst am: 14. Aug 2015 17:28 Titel: |
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Hallo,
Danke für die ausführliche Antwort.
Es steht exakt folgendes in meinem Skript:
Man geht von der Newtonschen Bewegungsgleichung aus und erhält nach Multiplikation mit diese Gleichung und dann steht "Diese Gleichung soll für beliebige x_i gelten insbesondere für dann folgt wieder die Newtonsche Bewegungsgleichung"
Die weiteren Überlegungen Betreffen dann die virtuellen Verrückungen und kommt dann auf das ist mir soweit klar.Nicht klar wirds ab hier:
Da die virtuellen Verrückungen mit den Zwangsbedingungen verträglich sein müssen, sind die nicht mehr unabhängig voneinander.Warum sind sie es nicht? Und wo liegt das Problem wenn sie es sind?Heißt das dass ) ist.Das ist auch der Grund weshalb man generalisierte Koordinaten einführt.
Ich zitiere jetzt Nolting S. 15 8. Aufl " Die virtuellen Verrüchungen sind wegen der Zwangsbedingungen nicht unabhängig voneinander die Gleichung ist deshalb noch nicht geeignet verwertbare Bewegungsgleichungen abzuleiten"
Mein Problem ich erkenne keine explizite Abängigkeit der virtuellen Verrückungen voneinander.
Das D'Alembertsche Prinzip hab ich soweit verstanden die weiteren Überlegungen sind mir nicht mehr so klar.(siehe oben)
Ich danke im Voraus für Hilfe und hoffe meine Unklarheiten etwas präziser formuliert zu haben.
P.S. Bei Frage 2.) war ein Fehler es sollte heißen abhängige Koordinaten |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 15. Aug 2015 10:14 Titel: |
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| Zitat: |
Die weiteren Überlegungen Betreffen dann die virtuellen Verrückungen und kommt dann auf das ist mir soweit klar.Nicht klar wirds ab hier:
Da die virtuellen Verrückungen mit den Zwangsbedingungen verträglich sein müssen, sind die nicht mehr unabhängig voneinander.Warum sind sie es nicht?
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Genau deshalb, weil sie den Zwangsbedingungen  = 0) genügen müssen. Daraus folgt dann
}{\partial x_i}\delta x_i =0.)
Wenn die Zwangsbedingungen korrekt gestellt sind, verschwinden nicht alle Ableitungen und diese Gleichung liefert eine Bedingung in Form einer linearen Gleichung an die .
| Zitat: |
Und wo liegt das Problem wenn sie es sind? Heißt das dass ist.Das ist auch der Grund weshalb man generalisierte Koordinaten einführt.
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Ein Problem gibt es nur, wenn du Koordinaten, die Zwangsbedingungen unterliegen, als unabhängig betrachtest.
| Zitat: |
Ich zitiere jetzt Nolting S. 15 8. Aufl " Die virtuellen Verrüchungen sind wegen der Zwangsbedingungen nicht unabhängig voneinander die Gleichung ist deshalb noch nicht geeignet verwertbare Bewegungsgleichungen abzuleiten"
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Das ist m.E. nicht sehr gut formuliert. Virtuelle Verrückugen sind tangential zum momentanen Konfigurationsraum. Ob sie unabhängig sind oder nicht, hängt davon ab, wie du den Konfigurationraum beschreibst: Implizit über die Nebenbedingungen =0) oder explizit über eine Parametrisierung ) mit unabhängigen generalisierten Koordinaten.
Die erste Variante liefert eine implizite Ebenengleichung
mit abhängigen . Die zweite liefert die Parameterform einer Ebene
mit unabhängigen 
Und Nolting zum Trotz ist es selbstverständlich möglich mit der ersten Variante "verwertbare" Bewegungsgleichungen zu erhalten. Man muß nur die Zwangskräfte berücksichtigen. Das ganze nennt sich Lagrange-Formalismus 1. Art und ist im wesentlichen eine Anwendung der Methode der Lagrange-Multiplikatoren.
Das Ergebnis sind dann Bewegungsgleichung der Form
wobei der letzte Term (bzw. eine Summe solcher Terme) die Wirkung der Zwangskraft beschreibt. Wenn man sich nicht ausdrücklich für die Größe der Zwangskräfte interessiert, gibt es nur nicht unbedingt einen Grund das so zu machen. |
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Wurstfinger
Gast
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| Wurstfinger Verfasst am: 15. Aug 2015 12:49 Titel: |
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Hallo,
Danke für die Anwort!
Ich hoffe ich überstrapaziere jetzt nicht deine Geduld aber 100%ig ist mir noch nicht alles klar.Ich bin leider noch Anfänger
Ich will mir das mal an einem Beispiel klar machen:
EIn teilchen bewegt sich innerhalb einer Kugelschale
die Zwangbedingung ist )
Jetzt vergleiche ich mal 
}{\partial x_i}\delta x_i = 0 ; 2x\delta x + 2y\delta y + 2z \delta z = 0 )
Variiere ich jetzt z.B.  das heißt ) dann haben sich die Koordinaten des Normalvektors auf die Kugeloberfläche notwendigerweise geändert..Diese (zeitliche) Änderung beschreiben meine lambdas in Lagrange I.
Wenn ich jetzt spezielle Koordinaten wähle z.B. Kugelkoordinaten sind meine  nicht mehr voneinander abhängig.Deshalb ist das Teilchen am Tisch unglücklich gewählt da die Zwangsbedingung für kartesische Koordinaten bereits erfüllt sind.
Wenn ich jetzt aber eine reale Verrückung betrachte habe ich doch das selbe Problem nämlich dass meine  voneinander abhängen oder?
Danke nochmal für die Hilfe bis hierher!
Beste Grüße! |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 15. Aug 2015 16:24 Titel: |
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| Wurstfinger hat Folgendes geschrieben: | EIn teilchen bewegt sich innerhalb einer Kugelschale
die Zwangbedingung ist
Jetzt vergleiche ich mal
Variiere ich jetzt z.B. das heißt dann haben sich die Koordinaten des Normalvektors auf die Kugeloberfläche notwendigerweise geändert..Diese (zeitliche) Änderung beschreiben meine lambdas in Lagrange I.
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Nein, die Variation passiert in der Ebene, also bei festem Normalenvektor ) . Nun kannst du also den Punkt ) variieren, aber nur so, daß das Resultat wieder senkrecht zu n steht. Du kannst also z.B. y und z frei wählen und dann muß die Variation in x die Bedingung
)
erfüllen. Deine explizite Formel für ) stimmt also nicht.
| Zitat: |
Wenn ich jetzt spezielle Koordinaten wähle z.B. Kugelkoordinaten sind meine nicht mehr voneinander abhängig.Deshalb ist das Teilchen am Tisch unglücklich gewählt da die Zwangsbedingung für kartesische Koordinaten bereits erfüllt sind.
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Nein, das Beispiel mit dem Tisch funktioniert genauso gut. Die Bewegung ist hier auf eine Ebene beschränkt, also gilt eine Randbedingung der Form  bzw. für die Variationen  . Am einfachsten ist natürlich die Wahl eines Koordinatensystems mit der Tischplatte in der x-y-Ebene (a=b=0), dann lautet die Bedingung an die virtuellen Verückungen einfach
| Zitat: |
Wenn ich jetzt aber eine reale Verrückung betrachte habe ich doch das selbe Problem nämlich dass meine voneinander abhängen oder?
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Ja. Bei zeitunabhängigen Randbedingungen führt das auf dieselbe Bedingung. Ansonsten muß man berücksichtigen, daß eine reale Verrückung Zeit braucht und sich in der Zeit die Randbedingungen geändert haben. Deswegen gilt dann
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Wurstfinger
Gast
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| Wurstfinger Verfasst am: 15. Aug 2015 17:23 Titel: |
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Vielen vielen Dank!
Jetzt ist mir alles klar geworden!
Beste Grüße
Wf |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 16. Aug 2015 08:20 Titel: |
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Das freut mich. Danke für die Rückmeldung. |
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