Partielle Integration dreidimensional

Henri · Anmeldungsdatum: 08.02.2014 Beiträge: 82

Abend,

Es geht darum, zu zeigen, dass aus der Kontinuitätsgleichung

folgt:

Ich stoße dabei auf ein Problem bzgl. partieller Integration. Meine Strategie war, ein vec{r} ranzumultiplizieren und dann partiell zu integrieren, sprich folgenden Ausdruck zu berechnen:

Im ersten Moment dachte ich an den Gaußschen Integralsatz, der ja fogende Formel liefert:

Aber hier habe ich ja kein Skalarfeld, sondern ein vec{r}. Wie kann ich also jetzt partiell integrieren?

Lg

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18192

Du bist mir dem Gaußschen Integralsatz schon auf dem richtigen Weg.

Du kannst mit seiner Hilfe das Volumenintegral über die Diverenz in ein Oberflächenintegral umwandeln; und dafür nimmst du entweder an, dass der Strom im Unendlichen genügend schnell abfällt, so dass dieses Oberflächenintegral verschwindet, oder du nimmst an, dass du über ein randloses Volumen (z.B. einen 3-Torus) integrierst, dessen Oberfläche selbst verschwindet.

MPBi · Anmeldungsdatum: 13.03.2015 Beiträge: 6

Ich würde es komponentenweise machen. Mit Einsteinscher Summenkonvention ergibt sich:

Bei (*) wurde ausgenutzt, dass die Stromdichte im Unendlichen (positiv und negativ) verschwinden soll, und zwar schneller als 1/x, damit sie integrabel bleibt.

Die Variante ist zwar etwas umständlich, aber ich bevorzuge sie, weil man genau sieht, wann, wo und wie die partielle Integration ins Spiel kommt und dass man sie auch anwenden darf, weil man das Problem auf ein eindimensionales Integral zurückführt.
Wenn man es dann einmal so gemacht hat, dann hat man es im Kopf und kann direkt ohne Umschweife "Partielle Integration" im R^3 machen.

Wenn du es kürzer haben willst, kannst du natürlich deine gepostete Gleichung mit einem Skalarfeld und der Divergenz eines Vektorfeldes im Integral, die aus dem Gaußschen Satz resultiert, einfach komponentenweise auf das betrachtete Integral anwenden Augenzwinkern

Der Gaußsche Satz ist schließlich auch hinreichend bewiesen Big Laugh

Aber dann kennst du jetzt wenigstens zwei Lösungswege Prost

@ TomS : Soweit ich weiß, darf man nicht über ein randloses Volumen integrieren. Der Gaußsche Satz gilt nur für Kompakta mit glattem Rand, also insbesondere mit Rand. (Und insbesondere sollte das Volumen selbst eine Teilmenge des R³ sein. Den 3-Torus kann man aber nicht in den R³ einbetten, oder doch?) Mag aber sein, dass es eine Verallgemeinerung gibt, die ich nicht kenne.
Naja, die sicherste Variante dürfte dann doch die im Unendlichen schneller als 1/r (zur Integrabilität) verschwindende Stromdichte sein. Den Durchmesser des Kompaktums gegen unendlich gehen zu lassen, dürfte unproblematisch sein.