Koordinatendarstellung Darstellungstheorie

Vektorling · Gast

Moin

ich lerne grade quantenfeldtheorie und im Kapitel zu Darstellungen steht das man eine Koordinatendarstellung durch eine Matrizendarstellung bekommt durch diese Formel mit Indizes:

(p und q sind die Koordinaten und ihr konjugierter Impuls)

ist die Matrixdarstellung. Kann mir jemand ein Beispiel geben? Wie soll ich diese Formel verstehen? Etwa als

Also so ne Art inneres Produkt?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18188

Was sollen p,q und G sein?

Vektorling · Gast

hi, q und p sind die koordinaten und de konjungierte Impuls. G_i ist eine Matrixdarstellung.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18188

Ja und von was ist G die Matrixdarstellung?

Vektorling · Gast

Keine Ahnung, ich schätze von einer endlichdimensionalen Darstellung, es geht darum das man neue Darstellungen von alten bekommt.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18188

Also dann rate ich mal.

Nehmen wir eine Liealgebra, z.B. die U(3) = U(1)*SU(3) des 3-dim. harmonischen Oszillators mit ihren Generatoren - als quantenmechanische Operatoren.

Die T^a sind die Generatoren der SU(3) - als 3*3-Matrizen; vgl. die Pauli-Matrizen der SU(2).

Wir haben also zwei Klassen von Objekten, die die selbe Algebra erfüllen, nämlich einmal

sowie die T^a, die identische(!) Kommutatorrelationen aufweisen. Weil das so ist kann man die Q^a wie oben aus den T^a konstruieren (Beweis ist recht einfach).

Wir haben also die T-Darstellung auf einem 3-dim. komplexen Vektorraum, und wir haben die Q-Darstellung auf einem unendlich-dimensionalen Hilbertraum.

Nun kannst du die (unendlich vielen) Eigenzustände |nx,ny,nz> entsprechend der Casimiroperatoren der SU(3) klassifizieren. Du erhältst Multipletts, sowie Auf- und Absteiger innerhalb dieser Multipletts, ähnlich wie beim Drehimpuls.

Man kann zeigen, dass alle Q mit N und damit mit H vertauschen, d.h. alle Q^a entsprechen erhaltenen Ladungen (was sehr spaßig ist, da man damit das Spektrum von H vollständig bestimmen kann, ohne die DGLs zu lösen - rein mit Gruppentheorie).

Mich erinnert dein G-Dach an mein Q, und dein G_ij an mein (T^a)_mn.

Ist es sowas in der Art?

Vektorling · Gast

Ah ja stimmt, weil man die q und p auch als Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren sehen kann. Aber so klar ist mir das noch nicht was da abgeht. DANKE

Vektorling · Gast

Könntest du vielleicht noch ein Beispiel mit zahlen irgendwie geben?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18188

Z.B. stattdessen die SU(2) nehmen und die konkrete Matrixdarstellung für die Pauli-Matrizen verwenden?

Vektorling · Gast

Also was ich nicht verstehe, wenn T^{a} eine Matrix ist, wie kann dann Q^{a} eine Matrix sein?
Die Gleichung:

ist doch eine Gleichung der Form
<a|M|b> und das ergibt doch ein Skalar. Das macht keinen Sinn.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18188

Q ist ein Operator, also keine Matrix, sondern ein Skalar.

Allerdings nicht im Sinne deiner Gleichung, also kein Sandwichen zwischen Zuständen.

Was genau ergibt denn keinen Sinn?