Konforme Abbildung - Möbiustransformation

Amplitude · Anmeldungsdatum: 16.12.2014 Beiträge: 29

Moin,

mir ist zwar klar wie die Möbiustransformation funktioniert, jedoch habe ich ein paar Verständnisprobleme. Vor allem quäle ich mich damit zu verstehen, was denn nun eine Konforme Abbildung sein soll und wozu denn die Möbiustransformation gut ein soll. Bitte betrachtet das ganze nicht sooo mathematisch.

Meine Idee:

Konforme Abbildung:

Eine Konforme Abbildung ist eine holomorphe Funktion. Veranschaulicht handelt es sich um ein orthogonales Kurvennetz (z.b. Radialfeld oder homogenes Feld). Betrachtet man das etwas aus naturwissenschaftlicher sicht kommt man zum Ergebnis das die (Äquipotential)-linien immer Senkrecht zu den Feldlinien stehen (90° das ist äquivalent zum Begriff der Winkeltreue). Mit konformen Abbildungen kann man nun z.B. Felder beschreiben.

Möbiustransformation:

Sie ist gegeben als Funktion f(z):=(az+b)/(cd+d) und ist eine Konforme Abbildung, wobei z € Komplexe Zahlen (C). So eine Funktion nennt man Möbiustransformierte. Nun kann man bestimmte Bereiche eines Koordinatensystems die man zuvor abgrenzt hat durch 3 oder 6 Randpunkte (Orientierung beachten!) die Möbiustransformierte berechnen. Der in der Ausgangsebene (z-Ebene) Bereich ink. deren Randpunkte werden nun in einer anderen Ebene (sogenannte w-Ebene) anders dargestelt. Aus einem Bereich, der zuvor durch einen Kreis begrenzt war, wird nun ein Bereich, der durch eine Gerade abgegrenzt wird.

So eine Transformation behält die ursprünglichen Originaleigenschaften und gibt außerdem eventuell ,,neue Einblicke".

In der Praxis nutzt man die Möbiustransformation z.B. in der Signalverarbeitung, die hier angewendete Transformation heißt Bilineare Transformation. Mit ihr kann man zwischen dem s-Bereich (Laplacebereich) und z-Bereich (z-Transformationierter Bereich) hin- und her wechseln.

Bitte korrigiert mich bzw. klärt mich auf. Es ist doch etwas relativ komplex, dennoch denke ich, dass ich das meiste schon verstanden habe (größtenteils). Ich würde mich sehr freuen wenn mich jemand bestätigen bzw. korrigieren kann.

Mit freundlichen Gruß

Amplitude Thumbs up!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18110

Konforme Abbildungen und holomorphe Funktionen (beide definiert in der komplexen Zahlenebene) sind im Wesentlichen identisch. Erstere betonen den geometrischen Charakter, d.h. insbs. die Winkeltreue. Letzte betonen den analytischen Charakter, d.h. die Cauchy-Riemannsche DGL

einer Funktion f in der komplexen Zahlenebene; oder den Cauchyschen Integralsatz

Genauso sind nun Möbiustransformationen und bijektive holomorphe Funktionen im Wesentlichen identisch. Aufgrund der Bijektivität bilden die Möbiustransformationen sogar eine Gruppe.

In der Physik kenne ich eine wesentliche Anwendung, nämlich die Verwandschaft mit Lorentztransformationen. Dazu assoziiert man einen Vierervektor mit einer komplexen 2*2-Matrix

Offensichtlich ist

Da die Determinante invariant unter SL(2,C) Transformationen ist, kann man letztere mit der Lorentzgruppe in Zusammenhang bringen; genauer:

Man hat

und daher identifiziert man

wobei ~ für einen Gruppenisomorphismus steht.

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sehe gerade, dass bis zur Möbiustransformation ein Argument fehlt, nämlich dass diese gerade PSL(2,C) bilden ...