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Nachricht |
ohneplan123
Gast
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 ohneplan123 Verfasst am: 22. Nov 2014 00:15 Titel: Felder kugelsymmetrischer Ladungsverteilungen |
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Aufgabe:
a) Berechnen Sie das elektrische Feld im Inneren und Äußeren einer homogen geladenen Kugel mit Radius R und Gesamtladung Q.
b) Berechnen Sie Felder bzw. Potential für eine homogen geladene Kugelschale mit Außenradius R, Wandstärke d und Gesamtladung Q.
c) Berechnen Sie Felder bzw. Potential für eine metallische Kugel mit Radius R, welche die Gesamtladung Q trägt.
Meine Lösung:
a)
Auf Grund der Symmetrie folgt:
Damit gilt für das Feld erstmal allgemein:
Außen gilt: q=const= Q
Damit:
Innen gilt: q= Q(r)
Damit:
= \frac {r^3}{R^3} Q) (aus Definition Ladungsdichte)
Also gilt für das Elektrische Feld insgesamt:
b)
Symmetrie bleibt die gleiche, also kann die allgemeine Formel übernommen werden:
Außen gilt wieder: q=Q=const.
Damit:
Ganz innen gilt: q=0
Damit:
Innerhalb der Schale gilt: q=q(r)
Damit:
= \frac {r^3-(R-d)^3}{R^3-(R-d)^3} Q) (aus Definition Ladungsdichte
^3\right)}{\left(R^3-(R-d)^3\right)\pi r^2\epsilon_0 })
Also gilt für das Elektrische Feld insgesamt:
 \\ \frac{Q\left(r^3-(R-d)^3\right)}{\left(R^3-(R-d)^3\right)\pi r^2\epsilon_0 } \, \vec {e_r}& (R-d) \leq r \leq R \\ \frac{Q}{4\pi r^2\epsilon_0 } \, \vec {e_r}& r \geq R\end{cases}}})
c) Hier würde ich eigentlich nichts anderes erwarten als bei a). Muss man hier irgendwas anders machen als bei a? Einzige Idee wäre die elektrische Leitfähigkeit des Metal per epsilon einzubeziehen!??
Meine Fragen:
Sind die Lösungen von a) und b) erstmal soweit richtig? Potentiale erhalte ich ja dann einfach per Integration nach r, richtig?
Wie sieht es bei c aus, was ist dort anders als bei a)?
Vielen Dank im Voraus!  [/u] |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 22. Nov 2014 02:10 Titel: Re: Felder kugelsymmetrischer Ladungsverteilungen |
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zu c) Wo sitzen die freien Ladungen der (leitfähigen!) Metallkugel? |
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ohneplan123
Gast
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| ohneplan123 Verfasst am: 22. Nov 2014 12:14 Titel: Re: Felder kugelsymmetrischer Ladungsverteilungen |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | | zu c) Wo sitzen die freien Ladungen der (leitfähigen!) Metallkugel? |
Ah ok. Stimmt auf Grund der Leitfähigkeit entsprechend auf der Oberfläche der Kugel.
Heißt ich habe für r>=R das Feld einer Punktladung Q und für r<R verschwindet das Feld. Quasi vergleichbar mit der Kugelschale aus Aufgabe b) nur ohne Dicke d. Ladung verteilt sich also komplett auf die Kugeloberfläche. Stimmt das so?
Wie sieht es mit den Lösungen von a und b aus? |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 22. Nov 2014 14:15 Titel: |
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| ohneplan123 hat Folgendes geschrieben: | | Wie sieht es mit den Lösungen von a und b aus? |
Alles richtig. Allerdings fehlt jetzt noch de Bestimmung des Potentials in den unterschiedlichen Bereichen für b) und c) (in a) war das ja nicht verlangt). |
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ohneplan123
Gast
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| ohneplan123 Verfasst am: 24. Nov 2014 16:14 Titel: |
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Mir fällt gerade auf, dass ich den Faktor 4 im Nenner beim Feld der Kugelschale innerhalb der dicke D vergessen habe 
Zum Potential
=E_r\vec{e_r}=-\vec{\nabla} \phi )
Mit Nabla in Kugelkoordinaten folgt:
=E_r\vec{e_r}=-\frac{\partial}{\partial r} \phi \vec{e_r})
Und damit:
a)
außen: 
)
innen: 
)
Also insgesamt für das Potential zwischen festem Ort r0 und einem beliebigen Ort r:
& r_0 \leq r \leq R\\ \frac {Q}{4\pi \epsilon_0} \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{r_0}\right) & r\geq r_0 \geq R \end{cases}}})
b)
hier komme ich auf:
, b=const.\\ \frac {Q}{4\pi \epsilon_0 \left(R^3-\left(R-d\right)^3\right)} \left(-\frac{1}{2}\left(r^2-r_0 ^2\right) + (R-d)^3\left(\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r}\right)\right)& (R-d)\leq r_0 \leq r \leq R\\ \frac {Q}{4\pi \epsilon_0} \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{r_0}\right) & r\geq r_0 \geq R \end{cases}}})
c) wäre ja dann trivial.
Stimmt das so? Wäre über Rückmeldung dankbar. |
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ohneplan123
Gast
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| ohneplan123 Verfasst am: 24. Nov 2014 17:34 Titel: |
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Ich kann ja theoretisch per Ableitung prüfen, ob meine Ergebnisse passen. Muss ja dann wieder auf das Feld (mit umgekehrtem Vorzeichen) kommen.
Soweit ich das sehe, passt das also
Hätte trotzdem gern eine Rückmeldung von jemandem, der Plan hat, ob es so passt. Vorallem auch der Ansatz. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 24. Nov 2014 18:39 Titel: |
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| ohneplan123 hat Folgendes geschrieben: | | Soweit ich das sehe, passt das also |
Ich fürchte, das passt nicht. Abgesehen davon, dass in der von Dir vorgelegten Aufgabenstellung das Potential in Aufgabenteil a) gar nicht bestimmt werden sollte, lässt sich aber gearde an Deiner Lösung für a) ablesen, dass das nicht stimmen kann. Du hast als Bezugspotential das Potential Null an einer beliebigen Stelle r0 definiert. Wenn r0>R und das Potential an einer Stelle r<R bestimmt werden soll, dann musst Du über zwei verschiedene Feldbereiche (außen und innen) integrieren. Das hast Du, soweit ich das sehe, nicht gemacht. Wenn man, wie üblich, das Potential im Unendlichen zu Null definiert, kommt nach Deiner Lösung ein unendliches Potential im Inneren der Kugel heraus. Das kann nicht stimmen. |
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Ohneplan123
Gast
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| Ohneplan123 Verfasst am: 24. Nov 2014 18:52 Titel: |
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Auch bei a) ist das Potential verlangt, hatte ich vergessen mit hinzuschreiben.
Ich verstehe nicht, wie du das meinst, dass ich das Potential 0 an eine belibige Stelle r0 gelegt haben. Wie muss der Berechnungsansatz richtig aussehen? Ich nehme mir doch eine beliebige Stelle, welche ich festlege (hier r0 genannt) und integriere dann bis zu einer beliebigen Stelle r, oder etwa nicht?
Stimmt das Potential Gänge ja auch von einer Stelle innen zu einer Stelle außen zu bestimmen. Das heißt ich hab 3 Fälle? r0 und r draußen, r0 und r drinnen. oder r0 drinnen und r draußen.
Irgendwie seh ich nicht ganz durch. Wäre über Ansatzhilfe dankbar. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 24. Nov 2014 19:28 Titel: |
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Ich würde als allererstes mal das Potential im Unendlichen zu Null definieren. An einer anderen Stelle r0 kannst Du das später immer noch andres definieren. Aber mit dem Nullpotential im Unendlichen ist das, was Dich hier möglicherweise verwirrt, einfacher zu durchschauen. |
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ohneplan123
Gast
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| ohneplan123 Verfasst am: 26. Nov 2014 13:34 Titel: |
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also so?:
für a)
Ist das richtig so? |
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ohneplan123
Gast
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| ohneplan123 Verfasst am: 28. Dez 2014 19:18 Titel: |
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Hallo, hab das jetzt nochmal gerechnet für die a) und bitte darum, dass mal jemand drüberschaut ob es richtig ist!
innen (r <=R):
 = - \int^r _{\infty}E_r dr= \int^{\infty} _r E_r dr =\int^R _r E_r dr + \int^{\infty} _R E_r dr)
 = \left[\frac{Qr^2}{8\pi\epsilon_0 R^3}\right]^R_r + \left[-\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r}\right]^R_r)
 = \frac{Q}{8\pi\epsilon_0 R^3}\left(3R^2 - r^2\right))
außen (r>=R):
 = - \int^r _{\infty}E_r dr= \int^{\infty} _r E_r dr )
 = \left[-\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r}\right]^{\infty}_r)
 = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r})
--------------------------------------------------------------
 = \begin{cases} \frac{Q}{8\pi\epsilon_0 R^3}\left(3R^2 - r^2\right)& r\leq R \\ \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r} & r\geq R \end{cases}}})
Korrekt so? |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 29. Dez 2014 00:49 Titel: |
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| ohneplan123 hat Folgendes geschrieben: | | Korrekt so? |
Ja. |
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ohneplan123
Gast
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| ohneplan123 Verfasst am: 29. Dez 2014 11:11 Titel: |
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Super
Kannst du mir noch meine Ergebnisse für die b) und c) bestätigen?
b)
=\begin{cases}\frac{3Q}{8\pi \epsilon_0 \left(R^3-(R-d)^3\right)}\left(R^2-(R-d)^2\right)& r\leq R-d \\ \frac{Q}{8\pi \epsilon_0 \left(R^3-(R-d)^3\right)}\left(3R^2-\frac{r^3+2(R-d)^3}{r}\right) & R-d \leq r\leq R \\ \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r} & r\geq R \end{cases})
c)
=\begin{cases}\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R}& r< R \\ \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r}& r\geq R \end{cases})
Stimmt das auch? |
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