Lie Gruppen

PhysikGnom · Gast

Hallo Physiklinge, ich lerne grade etwas über Lie Gruppe und Lie Algebra um die Eichtheorie über Prinzipalbündel zu verstehen, aber ich habe ein paar konzeptuelle Problem, ich fange einfach mal an

Seien

und

Elemente der Lie Gruppe

, die Linkstranslation

von

durch

ist definiert durch :

welches eine Abbildung induziert

. Sei

ein Vektorfeld der Lie Gruppe

.

ist ein links invariantes vektorfeld wenn

. Ein Vektor

definiert ein links invariantes Vektorfeld

durch

durch:

,

Der Autor des Buches gibt nun ein Beispiel von einem links-invarianten Vektorfeld von

:
Seien

und

Elemente von

wo

das Einselement ist. Die linkstranslation ist:

Nun bei dem Vektorfeld

wo

die Einträge von

sind. Das linksinvariante Vektorfeld generiert von

ist:

Hier ist

die übliche Matrizenmultiplikation.

Was bedeutet es wenn man einen Tangentialvektor an dem Einselement einer Lie Gruppe hat? Was bedeutet das anschaulich? Vielleicht hilft diese Aufgabe ein wenig dabei:
Sei

eine Kurve in

. Berechne den Tangentialvektor an

.
Und warum wird überhaupt ein linksinvariantes Vektorfeld induziert? Und was ist überhaupt ein links-invariantes Vektorfeld anschaulich? Und was bedeutet es wenn ein Vektor (

)mehrere Indizes hat?
Kann mir jemand das Beispiel erklären?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8584

1. Das Summenzeichen ohne Summationsindex, macht die Formeln noch schwerer lesbar als ohnehin schon...

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18188

Vektoren, die mittels Ableitungen am Eins-Element einer Liegruppe definiert werden, bilden die zugehörige Lie-Algebra. Umgekehrt kann die Komponente der Liegruppe, die das Eins-Element enthält, durch die Exponentialfunktion der Liealgebra definiert werden.

Die Vektoren sind Elemente einer Algebra, also ist neben der Addition sowie der Multiplikation mit einer komplexen Zahl noch die Multiplikation innerhalb der Algebra definiert. Diese Vektoren können demnach keine n-Tupel aus komplexen Zahlen sein.

Wenn die Gruppenelemente als Matrizen dargestellt werden (was nicht zwingend so sein muss), dann sind natürlich die Elemente der Liealgebra und insbs. die Basisvektoren ebenfalls Matrizen.

Im Falle der SU(2) ist die zugehörige Liealgebra die su(2), die gerade durch die drei Spinmatrizen (Paulimatrizen * 1/2) aufgespannt wird. Die Spinmatrizen bilden eine Basis, d.h. jedes Element der Algebra kann durch eine geeignete Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden.

Wir haben

d.h. die Umgebung des Einselementes g=1 der SU(2) entspricht der Umgebung des Nullelementes X=0 der su(2). Die Generatoren t folgen dann durch Differentation nach den Parametern x in der Umgebung von x=0.

In meiner Konvention sind die Generatoren hermitesch. Mathematiker schreiben das "i" manchmal nicht explizit, dann sind die Generatoren anti-hermitesch.

Physikalisch sind die t's die Spinoperatoren. Die Gruppenelemente g sind Drehungen im Spinraum, d.h. Drehungen der Spinvektoren (= der Zustände, hier nicht geschrieben) bzw. Drehungen der Basis t. Die Drehwinkel entsprechen den Parametern x.

PhysikGnom · Gast

Hallo, danke für die Antworten.

Also ich kennen natürlich die Tangentialräume usw. Wenn man eine Riemann Mannigfaltigkeit hat kann man sich diese ja oft einfach im R^3 vorstellen mit dazugehörigem Tangentialraum. Aber wie sieht das bei Lie Gruppen aus? Wenn ich an Gruppen denke hab ich meistens endliche Permutationsgruppen im Kopf und da macht es irgendwie keinen Sinn von einem Tangentialvektor am Einselement oder Tangentialraum zu reden.
Aber ich will es kurz zusammenfassen:

Eine Lie Gruppe hat einen Tangentialraum (der ein Vektorraum ist) (wie jede Mannigfaltigkeit).
Der Tangentialraum ist der Raum der Lie Algebra der Gruppe.
Wenn ich zwei linksinvariante Vektorfelder im Tangentialraum definiere kann ich eine Lie Klammer konstruieren die eine Lie Algebra definiert. Und wenn ich diese Vektorfelder linksmultipliziere mit einem Gruppenelement dann kann ich die Vektorfelder von einem in dem anderen Tangentialraum verschieben? Ist das dann schon Paralleltransport durch einen Zusammenhang? Und wieso braucht man das Einselement um einen Tangentialvektor auf der Mannigfaltigkeit zu verschieben? Hat das was mit koset Multiplikation zu tun? Und wie geht das mit der Linearkombination von Vektorfeldern um eine Lie Klammer darzustellen?
Könnte vielleicht jemand die Aufgabe die ich oben geschrieben habe erklären, bzw. kurz anschaulich ausrechnen, oder sagen was man da machen muss. (Die Werbebanner sind übrigens sehr lustig "Trust in German Sicherheit).

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8584

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18188

PhysikGnom · Gast

Ah achso funktioniert das. Danke jh8979. Und wie würde jetzt das linksinvariante Vektorfeld aussehen??

scka · Gast

An Permutationsgruppen soll man hier natürlich nicht denken. Die sind diskret, Liegruppen sind aber immer kontinuierlich.

Alldieweil stimmt die Behauptung
"Diese Vektoren können demnach keine n-Tupel aus komplexen Zahlen sein "
so nicht, ein einfaches Gegenbeispiel ist bereits das Kreuzprodukt.

Die Lie-Klammer ist auf Wikipedia recht ausführlch erklärt.

PhysikGnom · Gast

Oh, Danke Tom, also wie würde im falle der gelöst Aufgaben von jh8979, das linksinvariante Vektorfeld aussehen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18188

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8584

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18188

irgendwas war mit n=7

PhysikGnom · Gast

Ein zu einem Bivektor dualen Vektor gibt's nur in n=3 und n=7 soweit ich weiß. (knowledge dropping)

scka · Gast

Ein Produkt im Vektorraum wird über Strukturkonstanten eingeführt:

wikipedia: Strukturkonstante

Wenn n dabei nur bestimmte Werte annehmen darf, würde das erwähnt werden, glaube ich.

Ich schreibe dort also für jeden Vektor aus V seine Linearfaktoren bzgl der xi in eine Spalte und bin fertig.

scka · Gast

Kleiner Nachtrag:

Für R^3 mit Kreuzprodukt sind die Strukturkonstanten gegeben durch den epsilontensor.

Führt man das oben beschriebene damit aus, landet man bei der bekannten Formel mit den gekreuzten Linien zwischen den Spaltenvektoren.

Das ist halt das gebräuchlichste Produkt in einem Vektorraum, was aber nicht heisst dass es "natürlicher" oder naheliegender als andere Produkte in Vektorräumen wäre.

PhysikGnom · Gast

In der geometrischen Algebra wo man das geometrische Produkt benutzt

für Vektoren

und

kann man das Kreuzprodukt auch über den Pseudoskalar definieren als

für

ist

, z.B.

Ok aber zurück zur Eichtheorie. Also allgemein bekommt man ja den Zusammenhang von einer 1-form

die durch

gegeben ist, wobei

gegeben ist, und die Basis

,

erfüllt (wo kommt diese Lie Algebra her?). Nun kann man ja den Tangentialraum der Prinzipalbündel (die ja eine Lie Gruppe ist) zerlegen in:

Nun steht im Text das

die Basis ist, ist das jetzt aber die Basis von komplett

oder nur vom horizontalen Unterraum

? Weil später steht :

and

being the basis vectors for

and

respectively. grübelnd

Und warum muss die Kondition

gelten für

wenn

ist um

zu bestimmen? grübelnd

PhysikGnom · Gast

Es heisst natürlich

PhysikGnom · Anmeldungsdatum: 04.11.2014 Beiträge: 77

Hallo, kann wenigstens jemand zum zweiten Teil meiner Frage was sagen? Prost

scka · Gast

Zum 2ten Teil Deiner Frage:

Soweit ich mich erinnere, sind das die 2 äquivalenten Möglichkeiten, einen Zusammenhang festzulegen.

Entweder wird für jeden Punkt im Prinzipalbündel der Horizontale Unterraum sozusagen von Hand festgelegt über die Koeffizienten C (das was im Text steht muss die Basis von H(P) sein).

Oder man hat eine 1Form omega auf P, dann ist ein Vektor aus T(P) dann horizontal, wenn er eingesetzt in omega 0 gibt.

PhysikGnom · Anmeldungsdatum: 04.11.2014 Beiträge: 77

Hallo scka, also ich hab das so verstanden das der

und

nicht orthogonal sein müssen z.B. wie bei

wo

den Vektorraum

für ein fixes

aufspannt (für

wäre die Basen orthogonal). Stimmt das?

scka · Gast

Ja, so kann man sichs vorstellen.
Trotzdem muss man dabei mit dem Wort „orthogonal“ aufpassen weil man in einem Prinzipalbündel i.A. kein Skalarprodukt oder Metrik hat. Ein Zusammenhang gibt einem die Möglichkeit, ohne ein solches festzulegen was in P „orthogonal zu V(P)“ bedeuten soll.

PhysikGnom · Anmeldungsdatum: 04.11.2014 Beiträge: 77

Ok danke. Ich will die Herleitung vom Eichpotential verstehen und da fehlen noch ein paar Bausteine.
Also man braucht ja eine Zusammenhangs-eins-form

Und die muss erfüllen :

I

(

ist das fundamental Vektorfeld)
Was wohl bedeutet das ich als Input in die eins-form das fundamental Vektorfeld habe und der output die Lie Algebra die isomorph zum Tangentialraum des Prinzipalbündels der Lie Grupp ist herausbekomme.

II

Was in worten bedeutet das die rechtstranslation der eins-form im kotangentialraum durch das Element

der Lie Gruppe gleich der adjungierten Abbildung von dem inversen Element an

sein muss.

Was bedeutet jetzt Ad

? Ich kenne die normale adjungiert Abbildung Ad

durch

.
Aber wie sieht dann Ad

aus?

Hier ein Beispiel für

:

Was bedeutet jetzt der letzte Term? Und wie teilt diese eins-form den Tangentialraum in horizontal und vertikal??
Später jetzt man dann den

.

LG

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18188

Ich denke bei "Ad" handelt es sich um die adjungierte Darstellung der Gruppe. In diesem Fall ist der Vektorraum, auf dem die Darstellung der Gruppe operiert, identisch mit der Algebra.

Üblicherweise hat man ja eine Darstellung der Form

wobei v z.b. ein Vektor im R^n oder ein Spinor ist.

Im Falle der adjungieren Darstellung ist jedoch

wobei X ein Element der Algebra selbst ist.

Anmerkung: Man erhält aus dem Kommutator der Generatoren

die Strukturkonstanten f. Diese definieren selbst die Generatoren in der adjungierten Darstellung, d.h.

Anmerkung 2: da dies ein Physikforum ist, sei die Anmerkung erlaubt, dass der Feldstärketensor F einer Eichtheorie in einem Faserbündel über der adjungierten Darstellung der Liealgebra "lebt", während die Materiefelder üblicherweise Spinoren in der Fundamentaldarstellung sind.

PhysikGnom · Anmeldungsdatum: 04.11.2014 Beiträge: 77

Hallo, ja ok, aber was bedeutet die adjungierte Darstellung?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18188

Was meinst du mit "bedeutet"?

Eine Gruppe ist ja zunächst eine abstrakte Menge von Objekten, zwischen denen eine Beziehung * mit bestimmten Eigenschaften besteht. Jetzt kann man dies auch konkret darstellen. Man realisiert also die Gruppenelemente (z.B.) als Matrizen, die auf einen Vektorraum wirken. Diese Darstellung ist aber nicht eindeutig, d.h. man kann verschiedene Darstellungen der selben Gruppe finden.

Im Falle der SU(2) kann man diese Darstellungen speziell mit j = 0, 1/2, 1, 3/2, ... durchnummerieren (j entspricht physikalisch einem Drehimpuls oder Spin). Der Vektorraum hat dabei die Dimension 2j+1.

Im Falle von Liegruppen sind zwei Darstellungen ausgezeichnet: die Fundamentaldarstellung ist die "treue" Darstellung mit der kleinstmöglichen Dimension des Vektorraumes. Die adjungierte Darstellung ist die Darstellung, in der der Vektorraum gerade durch die Liealgebra selbst gegeben ist.

Das "bedeutet" aber mathematisch zunächst noch gar nichts.

PhysikGnom · Anmeldungsdatum: 04.11.2014 Beiträge: 77

Hoi, ja aber im Eichpotential hab ich ja so einen Ausdruck wie

, (wobei die

dann die "Eichfreiheit" ist? oder was bedeutet z.B.

? Oder ist das einfcah nur die adjungierte Darstellung der Lie Algebra wertigen eins-form?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18188

PhysikGnom · Anmeldungsdatum: 04.11.2014 Beiträge: 77

Hallo, falls das noch jemanden interessiert ich hab ein pdf gefunden in dem das ganze ganz nett visualisiert wird.
http://personal.maths.surrey.ac.uk/st/T.Bridges/GEOMETRIC-PHASE/Connections_intro.pdf