Laborexperiment - Welche Standardabweichung?

arthurspooner · Gast

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zum richtigen Umgang mit statistischen Hilfsmitteln bei der Auswertung von im Allgemeinen allen naturwissenschaftlichen Experimenten/Versuchen. Nehmen wir an, ich führe ein Experiment (Exp. 1) 3x durch und erhalte dabei jeweils einen Messwert.
Anschließend ändere ich 1 Parameter an dem Experiment und führe dieses neue Experiment (Exp. 2) wieder 3x durch und erhalte entsprechend jeweils einen weiteren Messwert.

Nun möchte ich untersuchen, ob der veränderte Parameter einen Einfluss auf den Messwert hat. Dabei soll hier davon ausgegangen werden, dass "entlang der Messstrecke" keine Unsicherheiten vorhanden sind (ideale Messgeräte / Messverfahren). Mit anderen Worten: Die Frage hier dreht sich NICHT um "klassische Fehlerrechnung".

Also bilde ich aus den Messdaten der beiden Experimente jeweils einen arithmetischen Mittelwert und die dazugehörige Standardabweichung. Mir ist klar, dass die Standardabweichung mir zunächst mal ein schätzendes Maß für die Streuung innerhalb meiner jeweiligen Messreihe liefert. Auch ist mir klar, dass ich Aussagen in Bezug auf Erwartungsbereiche (z.B. "Mittelwert +/- drei Standardabweichungen lassen erwarten, dass ca. 99,7 % der Werte in diesem Bereich liegen) nur machen kann, wenn die betrachtete Messgröße eine normalverteile Variable ist.

Was mir jedoch nicht klar ist und ich bislang durch intensive Recherchearbeit auch nicht 100 % sicher abklären konnte, ist die Frage, ob bei einer solchen Konstellation (naturwissenschaftliches Experiment wie oben beschrieben) bei der Ermittlung der Standardabweichung die Formel für eine Stichprobe (Nennerglied enthält n-1) ODER eine Vollerhebung (Nennerglied enthält nur n) angewandt werden muss. Oft liest man in diesem Kontext statistische Begriffe wie "Grundgesamtheit" und deren Definition, die es mir aber schwer fällt, auf ein Experiment zu übertragen.

Da auch in Papers / Büchern gegensätzliche Aussagen fallen, bin ich bislang auf dem Stand, dass man das wohl verschiedenartig auslegen kann:

1. Überlegung: Ich kann ein Experiment theoretisch beliebig oft (=unendlich) durchführen. Demnach ist es, wenn ich mich auf eine bestimmte Anzahl beschränke (z.B. ich führe ein Experiment 3x durch) und nicht die Grundgesamtheit (=Unendlich oft durchgeführtes Experiment) betrachte, immer nur eine Stichprobe. Ich kenne den "wahren (Mittel)Wert" meiner Messgröße nicht. Für die Standardabweichung muss ich demnach die Formel mit (n-1) verwenden.

2. Überlegung: Ich betrachte die Anzahl an durchgeführten Experimenten als meine Grundgesamtheit (z.B. im Beispiel ist die Grundgesamtheit also 3 Experimente). Mehr Experimente wurden nicht durchgeführt, daher sind mir alle Daten bekannt. Ich kenne daher auch den "wahren (Mittel)Wert" meiner Messgröße und verwende daher für die Standardabweichung die Formel mit (n).

Kennt sich jemand wirklich aus und kann mir hierzu weiterhelfen? Besten Dank!

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8584

Das ist eine in ihrer vollen Gesamtheit durchaus nicht triviale Frage.

Ganz kurze Antwort:
Es ist egal was Du machst.

Kurze Antwort:
Wenn Du den Mittelwert aus Deinen Daten bestimmst nimmst Du "n-1", wenn Du den Mittelwert von woanders (z.B. einem anderen Experiment oder der Theorie) schon kennst, dann nimmst du "n".

Etwas längere Antwort:
Was willst Du machen? Du willst eine Möglichkeit haben, abzuschätzen wie die Messwerte verteilt sind. Funktionen die sowas tun nennt man in der Mathematik wenig überraschend "Schätzfunktion" oder "Schätzer". Diese sind nicht eindeutig und man kann verschiedene Schätzer mit verschiedenen Eigenschaften definieren und genau das ist hier der Fall bei (n-1) vs. n. Insbesondere kann man daran interessiert sein, dass der Schätzer erwartungstreu ist, d.h. sein Erwartungswert entspricht dem "wahren"(aber unbekannten) Wert. Mit (n-1) ist der Schätzer erwartungstreu, wenn die Größe normalverteilt ist, mit n nicht.

Viel längere Antwort:
Hab ich keine Lust zu schreiben Augenzwinkern

Darum hier ein paar weiterführende Links:
http://en.wikipedia.org/wiki/Bias_of_an_estimator
http://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungstreue
http://en.wikipedia.org/wiki/Unbiased_estimation_of_standard_deviation