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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18188
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 TomS Verfasst am: 25. Sep 2014 23:01 Titel: Lie-Algebren und Dynkin-Diagramme |
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Ich habe einige Fragen zur Klassifikation von Lie-Algebren mittels Dynkin-Diagrammen.
Zur Erinnerung: man zerlegt die Menge der Generatoren in die Menge diagonaler Generatoren (Anzahl entspricht Rang der Algebra) sowie die Menge der Leiteroperatoren. Erstere bilden die sogenannte Cartan-Subalgebra. Man kann darauf ein Skalarprodukt definieren. Die Skalarprodukte je zweier Elemente werden im Dynkin-Diagramm dargestellt.
Angeblich klassifiziert ein Diagramm die Lie-Algebra vollständig, d.h. man kann aus dem Diagramm alle Generatoren (modulo Kleinkram) konstruieren. Erste Frage: wie funktioniert das??
Betrachtet man nicht-zulässige Dynkin-Diagramme, dann muss ja bei der Konstruktion etwas schief gehen. Zweite Frage: was??
Betrachtet man die exzeptionellen Lie-Algebren E(6) bis E(8), so fällt auf, dass die Reihe hier endet. Betrachtet man die Determinante von E(9) usw., so stellt man fest, dass diese Null bzw. negativ wird. Dritte Frage: was bedeutet das, bzw. was genau geht da schief??
Nun sind die E(9), E(10) angeblich unendlich-dimensional. Letzte Frage: was bedeutet das bzgl. der Konstruktion der o.g. Generatoren??
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 27. Sep 2014 09:56, insgesamt einmal bearbeitet |
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Hallodry
Gast
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18188
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| TomS Verfasst am: 26. Sep 2014 07:20 Titel: |
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Danke!
Hab den Link geändert.
Warum meldest du dich nicht an?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18188
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| TomS Verfasst am: 27. Sep 2014 10:00 Titel: Re: Lie-Algebren und Dynkin-Diagramme |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | man kann aus dem Diagramm alle Generatoren (modulo Kleinkram) konstruieren. Erste Frage: wie funktioniert das?? |
OK, verstehe ich ansatzweise.
Ich denke, ich muss das für su(3) mal explizit durchrechnen. Die anderen Fragen sind mir leider noch völlig unklar.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Hallodry
Gast
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| Hallodry Verfasst am: 04. Okt 2014 01:46 Titel: |
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https:/en.wikipedia.org/wiki/En_%28Lie_algebra%29#Infinite-dimensional_Lie_algebras
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18188
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| TomS Verfasst am: 04. Okt 2014 11:21 Titel: |
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Tja, weiterhin großes Fragezeichen.
Im Falle der Kac-Moody-Algebren kann ich die Kommutatorrelationen der Generatoren als gegeben (aber abstrakt) akzeptieren. Aber ich verstehe weder die Konstruktion der Cartan-Matrix, noch die Rekonstruktion der Algebra aus der Cartan-Matrix.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 04. Okt 2014 12:08 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Tja, weiterhin großes Fragezeichen.
Im Falle der Kac-Moody-Algebren kann ich die Kommutatorrelationen der Generatoren als gegeben (aber abstrakt) akzeptieren. Aber ich verstehe weder die Konstruktion der Cartan-Matrix, noch die Rekonstruktion der Algebra aus der Cartan-Matrix. |
Meinst du die Rekonstruktion der Matrix aus dem Dynkin-Diagram? Da zählt man wohl einfach die Kanten zwischen den beiden Knoten:  . (Ausnahme sind die Diagonalelemente, die immer 2 sind.) Das liefert dann die relative Lage (Winkel, relative Länge) der einfachen Wurzeln.
So wie ich es bis jetzt verstanden habe, arbeitest du dann im wesentlichen in der adjungierten Darstellung, d.h. du rekonstruierst letztendlich die Strukturkonstanten der Algebra. Das liefert dir ja dann alle Kommutatorrelationen, womit die Algebra dann (abstrakt sozusagen) definiert ist.
Aber ich bin auch grad noch dabei mich ins Thema einzulesen und da gibt es bei mir noch einige lose Enden zu verknoten. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18188
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| TomS Verfasst am: 04. Okt 2014 12:17 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Meinst du die Rekonstruktion der Matrix aus dem Dynkin-Diagram? |
Nein, das ist trivial.
Ich meine die Rekonstruktion aller Generatoren der Algebra aus der Cartan-Matrix.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 04. Okt 2014 12:25 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | Da zählt man wohl einfach die Kanten zwischen den beiden Knoten: .
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P.S. Vergessen zu erwähnen: Das gilt scheinbar nur in eine Richtung. Wenn mehr als eine Kante existiert, muß man eine Richtung auszeichnen von der größeren zur kleineren Wurzel. Wie man daraus die andere Richtung konstruiert, weiß ich nicht, d.h. ich könnte mir vorstellen, daß man das irgendwie geometrisch aus Winkeln und Längen hinwurschteln kann, aber hab keine Ahnung wie das systematisch geht. Das ist so ein loses Ende. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 04. Okt 2014 12:34 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Meinst du die Rekonstruktion der Matrix aus dem Dynkin-Diagram? |
Nein, das ist trivial.
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Wie geht das denn genau? Ganz verstanden habe ich das nicht. Es sieht für mich nämlich so aus, als ob da teilweise Dynkin-Diagramme in Umlauf sind, die gar nicht alle Information dafür enthalten.
(Zusatz: z.B. glaube ich, daß man zumindest für ein Teil der Wurzeln die Längen mit angeben muß.)
| Zitat: |
Ich meine die Rekonstruktion aller Generatoren der Algebra aus der Cartan-Matrix. |
Das Verfahren scheint mir hauptsächlich verwickelte Buchhaltung zu sein. Die groben Schritte, die ich meine bisher identifiziert zu haben:
1) Rekonstruktion aller Wurzeln.
2) Dann konstruierst du die jeweiligen Auf- und Absteigeoperatoren der zu allen Wurzeln  gehörigen su(2)-Algebra und wendest die nacheinander auf alle einfachen Wurzeln (und die aus der Anwendung resultierenden Wurzeln) an.
3) Die Cartan-Matrix sagt dir dabei wie weit du gehen kannst bis der entsprechende Aufsteigeoperator den Zustand vernichtet, m.a.W. wie groß die Multiplizität des Zustands von dem du ausgegangen bist in der ) ist.
4) Da du in der adjungierten Darstellung arbeitest, liefert dir die Anwendung der Aufsteigeoperatoren alle möglichen Kommutatorrelationen
etc., was letztendlich die Algebra definiert. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 04. Okt 2014 17:18 Titel: |
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Also, ich denke, wenn ich in einem Dynkin-Diagramm einfach nur die Menge der Knoten und die dazugehörigen Kanten habe, ist die Cartan-Matrix  noch nicht eindeutig bestimmt. Was ich dann erhalte, ist, sofern ich das jetzt richtig verstehe, folgendes (gleichzeitig eine Korrektur zu dem, was ich oben geschrieben habe):
Wenn ich die Elemente komplett festlegen will, brauche ich noch die relativen Längen der Wurzeln  (oder irgendeine äquivalente Information), denn es gilt, z.B.
Stimmt das soweit? |
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Hallodry
Gast
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Hallodry
Gast
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| Hallodry Verfasst am: 05. Okt 2014 02:22 Titel: |
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Wenn nicht dann reichts aber auch jetzt, ob man ein Konzept versteht oder nicht hängt davon ab ob man gut Googlen kann. Zur Not würde ich auch mal bei physics/math exchange nachfragen. |
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Hallodry
Gast
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18188
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| TomS Verfasst am: 05. Okt 2014 10:38 Titel: Re: Lie-Algebren und Dynkin-Diagramme |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Erste Frage: wie funktioniert das?? |
OK, sollte klar sein, danke
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Betrachtet man nicht-zulässige Dynkin-Diagramme, z.B. E(9), dann muss ja bei der Konstruktion etwas schief gehen. Zweite Frage: was?? |
Das verstehe ich immer noch nicht.
Muss ich dazu den ganzen Kram für E(9) durcharbeiten?
Intuitiv würde ich sagen, dass der Algorithmus nicht terminiert. Stimmt das?
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Hallodry
Gast
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Hallodry
Gast
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| Hallodry Verfasst am: 05. Okt 2014 14:59 Titel: |
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lol, ist die Frage etwa von dir?? |
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Hallodry
Gast
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| Hallodry Verfasst am: 05. Okt 2014 19:12 Titel: |
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Also nicht lol wegen der Frage, sondern weil ich durch zufall darauf gestoßen bin. Wenn nicht, dann sowieso egal.  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18188
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| TomS Verfasst am: 05. Okt 2014 20:53 Titel: |
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Doch, die Frage war tatsächlich von mir.
Das Thema kommt von Zeit zu Zeit wieder hoch. Ich bin jetzt das erste mal - Dank deiner Links - soweit, dass ich die Rekonstruktion einigermaßen verstehe. Das ist zugegebenermaßen ziemlich lästig, weil man ja mindestens mit Rang = 2 also z.B. su(3) arbeiten muss, bis überhaupt etwas interessantes passiert.
Ich denke, ich werde mir ein Computerprogramm schreiben, das ich mit Cartan-Matrizen füttern kann, um die Ergebnisse schnell zu produzieren und zu verifizieren.
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Hallodry
Gast
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| Hallodry Verfasst am: 05. Okt 2014 21:09 Titel: |
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Ahso, na gut. Dann viel spaß  |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 06. Okt 2014 21:04 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | Da zählt man wohl einfach die Kanten zwischen den beiden Knoten: .
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P.S. Vergessen zu erwähnen: Das gilt scheinbar nur in eine Richtung. Wenn mehr als eine Kante existiert, muß man eine Richtung auszeichnen von der größeren zur kleineren Wurzel. Wie man daraus die andere Richtung konstruiert, weiß ich nicht,
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
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Inzwischen ist bei mir auch der Groschen gefallen. Da ich da tatsächlich eine Weile den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen habe, ist es vielleicht nützlich für jemanden, der ebenfalls neu in dem Thema ist, wenn ich kurz meine Erleuchtung preisgebe :-). Also, beide Bedingungen oben sind niemals widersprüchlich. Bei n Kanten zwischen den beiden Knoten i und k ist die eine Wurzel immer  -mal so lang wie die andere, d.h. es ist  , falls  und dann ist automatisch  . Andere Möglichkeiten gibt es nicht, wie sofort daraus folgt, daß die Einträge in der Cartan-Matrix ganzzahlig sind. Das heißt es reicht auch immer anzugeben welche der beiden Wurzeln größer ist -- also effektiv eine Richtung auf der Kante auszuzeichnen --, um die Cartan-Matrix eindeutig zu bestimmen. Und aus demselben Grund fällt bei n=1 die Angabe dieser Richtung weg. Dummerweise ist in dem Buch, was ich benutze (Georgi, Lie Algebras in Particle Physics) diese Information in keinem Diagramm explizit angegeben, was etwas verwirrend ist. (Ansonsten ist das Buch aber übrigens ganz gut.)
Damit ist die Konstruktion prinzipiell jetzt ziemlich einfach, wenn auch sehr fehlerträchtig. Allerdings, wie TomS schon gesagt hat, erst ab Rang 2 interessant, und ab Rang größer 3 wird es wahrscheinlich gleich wieder ziemlich unübersichtlich. Also ein Programm ist dafür eine gute Idee. Trotzdem ist es für die paar Rang-3-Algebren ganz spaßig das mal mit Bleistift und Papier durchzurechnen, was ich gestern auf einer langen Bahnfahrt für C_3 (O---O=<=O) und für B_3 (O---O=>=O) mal versucht habe. Hat das von euch jemand mal gemacht oder für eine andere Algebra? |
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