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Sirius
Anmeldungsdatum: 22.11.2008
Beiträge: 119
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 Sirius Verfasst am: 25. Aug 2014 19:17 Titel: Gibbs'sche Fundamentalgleichung |
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In der englischen Wiki (http://en.wikipedia.org/wiki/Entropy_production) wird aus den beiden Bilanzgleichungen
die Fundamentalgleichung für homogene Systeme hergeleitet (ganz unten im Artikel):
 \mathrm{d}n=:T\mathrm{d}S - p\mathrm{d}V + \mu\mathrm{d}n)
Die Herleitung ist mir an sich klar, nur wurden in der Bilanzgleichung für die innere Energie die mit den Massenströmen transportierte kinetische und potentielle Energie vernachlässigt, die ja ebenso zur Erhöhung/Verminderung der inneren Energie des Systems beitragen. Daher frage ich mich, warum man diese beiden Terme einfach weglassen darf? Würde ich sie explizit berücksichtigen, bekäme ich in der Fundamentalgleichung noch einen Zusatzterm (c: Strömungsgeschwindigkeit, g: Erdbeschl., z: Höhe Eintritt über Erdoden, M_m: molare Masse):
\mathrm{d}n)
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Sirius
Anmeldungsdatum: 22.11.2008
Beiträge: 119
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| Sirius Verfasst am: 02. Sep 2014 19:44 Titel: |
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Hat jemand eine Idee? Leider konnte ich es mir bis jetzt nicht erklären. Ich kann höchstens vermuten, dass der Zusatzterm in der Regel vernachlässigbar ist. Es würde mich allerdings wundern, wenn die Fundamentalgleichung eine solche Näherung beinhalten würde.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 02. Sep 2014 20:45 Titel: |
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Ich habe den Artikel jetzt nicht im Detail gelesen, aber aus Deiner Beschreibung würde ich mal folgendes vermuten: In einem homogenen System ist der einzig mögliche Massenstrom eine makroskopische Bewegung des gesamten Systems. Transformiert man ins Ruhesystem, strömt auch nichts mehr. Also kann man diesen Beitrag zur inneren Energie getrost ignorieren.
Ob du die Gravitationskraft da jetzt noch hinzuschreibst, ist wohl Geschmackssache. So gesehen müßte dich ja auch stören, daß da kein Term für die em. Wechselwirkung  steht. Sowas schreibt man halt dazu, wenn es relevant wird. Ein gravitativer Term mit konstantem g wird wohl kaum irgendwo eine Rolle spielen.
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Sirius
Anmeldungsdatum: 22.11.2008
Beiträge: 119
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| Sirius Verfasst am: 04. Sep 2014 17:00 Titel: |
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Was meinst du mit der Trafo ins Ruhesystem? Betrachtet wird ein homogenes System, das im Raum ruht und in das Masse einströmt. Damit das System homogen bleibt, muss die Masse quasistatisch einströmen, also praktisch infinitesimal langsam.
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Sowas schreibt man halt dazu, wenn es relevant wird. Ein gravitativer Term mit konstantem g wird wohl kaum irgendwo eine Rolle spielen. |
Woran erkenne ich, ob es relevant oder vernachlässigbar ist? Wie kommst du darauf, dass der gravitative Term keine Rolle spielen wird?
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 04. Sep 2014 21:23 Titel: |
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| Sirius hat Folgendes geschrieben: | Was meinst du mit der Trafo ins Ruhesystem? Betrachtet wird ein homogenes System, das im Raum ruht und in das Masse einströmt. Damit das System homogen bleibt, muss die Masse quasistatisch einströmen, also praktisch infinitesimal langsam.
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Verstehe ich nicht. Entscheidend ist doch nur, wovon c abhängt. Wenn es weder vom Ort (wegen der Homogenität) noch von Zustandsgrößen abhängt (wovon ich ausgegangen bin), dann scheint mir so ein kinetischer Beitrag vollkommen irrelevant zu sein.
Mir ist auch nicht klar wie du von außen irgendwas einströmen lassen willst, ohne daß innen etwas strömt. Und wenn innen was strömt, dann strömt es überall mit der gleichen Geschwindigkeit c. Und wenn alle Teilsysteme von etwas mit derselben Geschwindigkeit c strömen, dann ruht es nicht im Raum, sondern bewegt sich mit c.
So oder so ändert sich doch durch c die Energie nur um eine Konstante oder nicht?
| Sirius hat Folgendes geschrieben: | Woran erkenne ich, ob es relevant oder vernachlässigbar ist?
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Normalerweise indem du seine Größe mit den restlichen Beiträgen zur Energie vergleichst. Das hängt natürlich vom konkreten System ab.
| Sirius hat Folgendes geschrieben: |
Wie kommst du darauf, dass der gravitative Term keine Rolle spielen wird? |
Inzwischen ist mir eingefallen, daß man bei der Herleitung der barometrischen Höhenformel so einen Term berücksichtigt. Als ich überlegt hatte, wo Gravitation relevant sein könnte, war mir als Beispiel nur die Thermodynamik von astrophysikalischen Objekten eingefallen. Da ist aber g natürlich nicht konstant. Deswegen meine Bemerkung.
Wenn ich mir jetzt aber z.B. den Zustand von ein paar Mol irgendwelcher idealer Gase bei Raumtemperatur ausrechnen will, ist die potentielle Energie wohl eher vernachlässigbar.
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Sirius
Anmeldungsdatum: 22.11.2008
Beiträge: 119
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| Sirius Verfasst am: 05. Sep 2014 13:57 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Mir ist auch nicht klar wie du von außen irgendwas einströmen lassen willst, ohne daß innen etwas strömt. Und wenn innen was strömt, dann strömt es überall mit der gleichen Geschwindigkeit c. Und wenn alle Teilsysteme von etwas mit derselben Geschwindigkeit c strömen, dann ruht es nicht im Raum, sondern bewegt sich mit c. |
Angenommen du hast ein homogenes System, das aus einem ruhenden Kasten mit Gas besteht. Nun gibt es eine kleine Öffnung, durch die Gas derselben Sorte in den Kasten einströmt. Wie würdest du dann erklären, dass man die Zustandsänderung des Systems durchaus im Rahmen der Gleichgewichtsthermodynamik behandeln kann, obwohl diese ja stets homogene Systeme voraussetzt?
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | So oder so ändert sich doch durch c die Energie nur um eine Konstante oder nicht? |
Das ist richtig und zwar nach obiger Formel um
Das erklärt für mich aber nicht, warum dieser Beitrag zu dU gegenüber den Termen TdS, pdV und µdN vernachlässigbar ist
Mittlerweile glaube ich jedenfalls, eine Erklärung gefunden zu haben.
Im obigen Beispiel mit dem ruhenden Kasten, muss das Gas also so einströmen, dass das System jederzeit homogen ist, d.h. alle intensiven Zustandsgrößen des Systems zu jedem Zeitpunkt räumlich homogen sind. Da hierzu insbesondere auch die Teilchendichte und die Massendichte gehören, muss das Gas so einströmen, dass auch diese beiden Größen nie eine (relevante) räumliche Abhängigkeit aufweisen. Das geht nur dann, wenn Teilchenstrom und Massenstrom sehr klein sind, d.h. die Strömungsgeschwindigkeit c nahezu verschwindet und damit der Beitrag der kinetischen Energie erst recht.
Der Term
fliegt bei einem homogenen System raus, weil in einem solchen die von extern stammenden Potentialfelder ebenso räumlich homogen sein müssen, d.h. das Potential im System überall denselben Wert aufweisen muss. Da jedes Potential nur bis auf eine Kontante bestimmt ist, kann man diese getrost so wählen, dass das Potential im System gerade Null ist.
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 196
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| Telefonmann Verfasst am: 05. Sep 2014 15:17 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Als ich überlegt hatte, wo Gravitation relevant sein könnte, war mir als Beispiel nur die Thermodynamik von astrophysikalischen Objekten eingefallen. |
Ein Gebirgsbach sollte sich eigentlich auch alle 419 Höhenmeter bergab etwa um 1°C erwärmen: h = c_p / g.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 05. Sep 2014 18:45 Titel: |
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| Sirius hat Folgendes geschrieben: |
Angenommen du hast ein homogenes System, das aus einem ruhenden Kasten mit Gas besteht. Nun gibt es eine kleine Öffnung, durch die Gas derselben Sorte in den Kasten einströmt. Wie würdest du dann erklären, dass man die Zustandsänderung des Systems durchaus im Rahmen der Gleichgewichtsthermodynamik behandeln kann, obwohl diese ja stets homogene Systeme voraussetzt?
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Im Rahmen der Gleichgewichtsthermodynamik ist das einfach eine Änderung der mittleren Teilchenzahl und deren Auswirkungen beschreibe ich mit Hilfe eines (homogenen) chemischen Potentials, nicht mit einer Strömungsgeschwindigkeit oder molaren kinetischen Energie. Ich kann also tatsächlich annehmen, daß die Einstromgeschwindigkeit praktisch überall null ist. Somit ist auch die hineintransportierte kinetische Energie null und das System ist homogen. Wieso siehst du da ein Erklärungsproblem?
| Sirius hat Folgendes geschrieben: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | So oder so ändert sich doch durch c die Energie nur um eine Konstante oder nicht? |
Das ist richtig und zwar nach obiger Formel um
Das erklärt für mich aber nicht, warum dieser Beitrag zu dU gegenüber den Termen TdS, pdV und µdN vernachlässigbar ist
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Den kannst du von mir aus mit in die Definition von  aufnehmen  . Oder, da c ortsunabhängig ist und nicht von Zustandsgrößen abhängt, kannst du ihn durch einmaligen Wechsel des Inertialsystems ganz loswerden. Das wird relativ offensichtlich, wenn du dir den Ausdruck für die Gesamtenergie (ohne Gravitation) anschaust
 ,
wobei  die Gesamtmasse des Systems ist. Der letzte Term ist genau der Beitrag zur Gesamtenergie, der durch die Schwerpunktsbewegung des Gesamtsystems entsteht. Den zählt man praktisch per Definition nicht zur inneren Energie, sondern man nimmt den Teil von E, der nach Transformation ins Schwerpunktsystem übrig bleibt, also  .
| Sirius hat Folgendes geschrieben: |
Mittlerweile glaube ich jedenfalls, eine Erklärung gefunden zu haben.
Im obigen Beispiel mit dem ruhenden Kasten, muss das Gas also so einströmen, dass das System jederzeit homogen ist, d.h. alle intensiven Zustandsgrößen des Systems zu jedem Zeitpunkt räumlich homogen sind. Da hierzu insbesondere auch die Teilchendichte und die Massendichte gehören, muss das Gas so einströmen, dass auch diese beiden Größen nie eine (relevante) räumliche Abhängigkeit aufweisen. Das geht nur dann, wenn Teilchenstrom und Massenstrom sehr klein sind, d.h. die Strömungsgeschwindigkeit c nahezu verschwindet und damit der Beitrag der kinetischen Energie erst recht.
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Das stimmt nicht. Die Größe des Stroms spielt doch gar keine Rolle. Auch eine nichtverschwindende bzw. sehr große Strömungsgeschwindigkeit kann homogen sein. Die Ortsunabhängigkeit ist das entscheidende.
Das logische Problem in deinem Argument ist das "jederzeit" etc. Ein homogenes System muß keineswegs schon immer homogen gewesen sein. Aber selbst wenn es zu jedem Zeitpunkt homogen gewesen wäre, könnte es sehr gut möglich sein, daß einfach schon immer Masse reingeströmt ist (oder raus, oder beides). Es sagt keiner, daß dieser Prozeß mal irgendwann gestartet worden ist.
| Sirius hat Folgendes geschrieben: |
Der Term
fliegt bei einem homogenen System raus, weil in einem solchen die von extern stammenden Potentialfelder ebenso räumlich homogen sein müssen, d.h. das Potential im System überall denselben Wert aufweisen muss. Da jedes Potential nur bis auf eine Kontante bestimmt ist, kann man diese getrost so wählen, dass das Potential im System gerade Null ist. |
So wollte ich auch erst argumentieren, aber ich war mir nicht sicher, ob Eigenschaften externer Felder unbedingt in die Definition von Homogenität des Systems mit eingehen müssen. Klar, wenn sie eine Ortsabhängigkeit des Druckes o.ä. bewirken, sind sie verboten. Allerdings darf man es mit der Homogenität nicht übertreiben. Ein homogenes System hat strenggenommen nicht mal einen Rand. Trotzdem betrachtet man ohne weiteres endliche Volumenänderungen dV. Und ein definiertes Volumen V ist letztendlich auch nur ein extrem inhomogenes äußeres Feld.
Ansonsten magst du vielleicht das Gravitationsfeld so wegdiskutieren können. Aber was ist z.B. mit einem homogen magnetisierten Medium in einem homogenen B-Feld. Warum stört dich eigentlich nicht, daß dies in der Fundamentalgleichung fehlt?
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Sirius
Anmeldungsdatum: 22.11.2008
Beiträge: 119
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| Sirius Verfasst am: 06. Sep 2014 17:22 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Im Rahmen der Gleichgewichtsthermodynamik ist das einfach eine Änderung der mittleren Teilchenzahl und deren Auswirkungen beschreibe ich mit Hilfe eines (homogenen) chemischen Potentials, nicht mit einer Strömungsgeschwindigkeit oder molaren kinetischen Energie. Ich kann also tatsächlich annehmen, daß die Einstromgeschwindigkeit praktisch überall null ist. Somit ist auch die hineintransportierte kinetische Energie null und das System ist homogen. Wieso siehst du da ein Erklärungsproblem? |
Ich seh da kein Problem, da ich es ja ebenso mit einer verschwindenden Strömungsgeschwindigkeit erklärt habe. Aber deine ursprüngliche Aussage
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Mir ist auch nicht klar wie du von außen irgendwas einströmen lassen willst, ohne daß innen etwas strömt. Und wenn innen was strömt, dann strömt es überall mit der gleichen Geschwindigkeit c. Und wenn alle Teilsysteme von etwas mit derselben Geschwindigkeit c strömen, dann ruht es nicht im Raum, sondern bewegt sich mit c. |
hat diesen Prozess ja ausgeschlossen. Denn im Umkehrschluss lautet das, dass wenn ein System im Raum ruht, innen nicht alles überall mit der gleichen Geschwindigkeit strömt. Es strömt also innen gar nichts, sodass von außen auch nichts einströmen kann. Darauf hast du mich gefragt, wie also etwas einströmen soll ohne dass innen etwas strömt und hast es in deinem letzten Post mit der verschwindenden Strömungsgeschwindigkeit selbst erklärt. 
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Die Größe des Stroms spielt doch gar keine Rolle. Auch eine nichtverschwindende bzw. sehr große Strömungsgeschwindigkeit kann homogen sein. |
Im Beispiel mit dem Kasten und der kleinen Öffnung stimmt das meiner Meinung nach aber nicht. Im Allgemeinen musst du die Strömungsgeschwindigkeit also nahezu verschwinden lassen.
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Ansonsten magst du vielleicht das Gravitationsfeld so wegdiskutieren können. Aber was ist z.B. mit einem homogen magnetisierten Medium in einem homogenen B-Feld. Warum stört dich eigentlich nicht, daß dies in der Fundamentalgleichung fehlt? |
In der allgemeinen Form steht das meine ich sogar drin, da gilt:
Hierbei sind die Z_i extensive und die F_i intensive Zustandsgrößen. Bei einem homogenen Magnetfeld also z.B.:
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 06. Sep 2014 20:34 Titel: |
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| Sirius hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Im Rahmen der Gleichgewichtsthermodynamik ist das einfach eine Änderung der mittleren Teilchenzahl und deren Auswirkungen beschreibe ich mit Hilfe eines (homogenen) chemischen Potentials, nicht mit einer Strömungsgeschwindigkeit oder molaren kinetischen Energie. Ich kann also tatsächlich annehmen, daß die Einstromgeschwindigkeit praktisch überall null ist. Somit ist auch die hineintransportierte kinetische Energie null und das System ist homogen. Wieso siehst du da ein Erklärungsproblem? |
Ich seh da kein Problem, da ich es ja ebenso mit einer verschwindenden Strömungsgeschwindigkeit erklärt habe.
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Jetzt ist ein bißchen was durcheinander gekommen denke ich. Deine Frage war, warum c=0 sein muß. Deine Antwort war, wegen der Homogenität. Mein Einwand war, jedes konstante c ist homogen, sowohl c ungleich 0, als auch c=0. Deshalb ist es aber für mich kein Problem c=0 anzunehmen. Allerdings folgt c=0 auch nicht aus der Homogenität des Systems. Es folgt gewissermaßen aus der Definition von "innerer Energie". Darüber bist du m.E. jetzt zu schnell hinweggegangen.
| Sirius hat Folgendes geschrieben: |
Aber deine ursprüngliche Aussage
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Mir ist auch nicht klar wie du von außen irgendwas einströmen lassen willst, ohne daß innen etwas strömt. Und wenn innen was strömt, dann strömt es überall mit der gleichen Geschwindigkeit c. Und wenn alle Teilsysteme von etwas mit derselben Geschwindigkeit c strömen, dann ruht es nicht im Raum, sondern bewegt sich mit c. |
hat diesen Prozess ja ausgeschlossen.
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Diese Aussage schließt nach deinem Vertsändnis eine quasistatische Änderung der mittleren Teilchenzahl aus? Sowas wird in der Gleichgewichtsthermodynamik lediglich nicht durch einen Teilchenstrom beschrieben. Das ist alles.
| Sirius hat Folgendes geschrieben: |
Denn im Umkehrschluss lautet das, dass wenn ein System im Raum ruht, innen nicht alles überall mit der gleichen Geschwindigkeit strömt.
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Nein. Es heißt, die einzige homogene Strömung in einem ruhenden System ist die mit c=0. (Das ist praktisch eine Tautologie.) Folglich lassen sich gewisse Änderungen der Teilchenzahl nur näherungsweise beschreiben. Letzteres gilt unter den restlichen Voraussetzungen übrigens auch bei nicht ruhenden Systemen. Denn wenn du ein gleichmäßig strömendes System (mit endlichem Volumen) hast, kannst du nur Teilchen über den Rand hineintransportieren, die eine etwas andere Geschwindigkeit haben als der Rest des Systems. Das ganze Problem quasistatischer Änderungen von N hat eigentlich gar nichts mit c zu tun.
| Sirius hat Folgendes geschrieben: |
Es strömt also innen gar nichts, sodass von außen auch nichts einströmen kann. Darauf hast du mich gefragt, wie also etwas einströmen soll ohne dass innen etwas strömt und hast es in deinem letzten Post mit der verschwindenden Strömungsgeschwindigkeit selbst erklärt.
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Ich habe nichts mit einer verschwindenden Stromgeschwindigkeit erklärt. Ich habe lediglich festgestellt, daß 1.) in einem homogenen System stets angenommen werden kann, das nirgendwo eine Strömung existiert, d.h.  , und 2.) Änderungen der Teilchenzahl des Systems als idealisierte Prozesse verstanden werden können, die diese Bedingung nicht verletzen.
Nochmal zur Klärung: Von einem Strom spreche ich, wenn irgendwo ein (nichtverschwindendes) Geschwindigkeitsfeld existiert. In einem homogenen System muß so ein Feld konstant sein. Das bedeutet einfach das System führt eine Schwerpunktsbewegung aus (oder ruht, wenn c=0). Mit einer Änderung der Teilchenzahl hat das erstmal gar nichts zu tun.
| Sirius hat Folgendes geschrieben: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Die Größe des Stroms spielt doch gar keine Rolle. Auch eine nichtverschwindende bzw. sehr große Strömungsgeschwindigkeit kann homogen sein. |
Im Beispiel mit dem Kasten und der kleinen Öffnung stimmt das meiner Meinung nach aber nicht. Im Allgemeinen musst du die Strömungsgeschwindigkeit also nahezu verschwinden lassen.
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So kannst du doch nicht argumentieren. Homogen bedeutet "überall gleich", nicht "überall null". Daß du mit einer "kleinen Öffnung" in einem ruhenden Kasten keine Randbedingungen realisieren kannst, die ein homogenes Geschwindigkeitsfeld, außer c=0, im Inneren erzeugen können, ist hier doch überhaupt nicht relevant. Daraus folgt schon gar nicht, daß c in jedem homogenen System null sein muß.
Das ganze hat einfach gar nichts mit "kleinen Öffnungen" in "Kästen" zu tun. Die Gleichung, über die wir reden ist doch viel allgemeiner. Und auch in diesen allgemeineren Anwendungsfällen kannst du c=0 annehmen (im Ruhesystem).
| Sirius hat Folgendes geschrieben: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Ansonsten magst du vielleicht das Gravitationsfeld so wegdiskutieren können. Aber was ist z.B. mit einem homogen magnetisierten Medium in einem homogenen B-Feld. Warum stört dich eigentlich nicht, daß dies in der Fundamentalgleichung fehlt? |
In der allgemeinen Form steht das meine ich sogar drin [...]
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Ok, ich hatte nicht genau hingeschaut. Es war mir nur aufgefallen, daß solche Terme in der Gleichung am Ende des wiki-Artikels auch nicht vorkommen.
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Sirius
Anmeldungsdatum: 22.11.2008
Beiträge: 119
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| Sirius Verfasst am: 08. Sep 2014 11:57 Titel: |
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Im Prinzip geht es ja in erster Linie um die Frage, wann ich ein reales System hinreichend genau mit der Gleichgewichtsthermodynamik beschreiben darf. Da mich hier in erster Linie offene Systeme interessieren, hab ich einen ruhenden Kasten angenommen, in den durch eine Öffnung Gas einströmt, weil es einfach ein naheliegendes praktisches Beispiel ist. Wenn ich diesen Prozess mit der GG-Thermodynamik beschreiben will, bin ich weiterhin der Meinung, dass ich nur sinnvolle Ergebnisse erhalte, wenn das Gas mit c gegen null einströmt. Wenn das unklar rüber kam, sorry dafür.
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Nein. Es heißt, die einzige homogene Strömung in einem ruhenden System ist die mit c=0. (Das ist praktisch eine Tautologie.) Folglich lassen sich gewisse Änderungen der Teilchenzahl nur näherungsweise beschreiben. Letzteres gilt unter den restlichen Voraussetzungen übrigens auch bei nicht ruhenden Systemen. Denn wenn du ein gleichmäßig strömendes System (mit endlichem Volumen) hast, kannst du nur Teilchen über den Rand hineintransportieren, die eine etwas andere Geschwindigkeit haben als der Rest des Systems. |
Ja, da stimme ich dir vollkommen zu. Das ist auch der Grund, warum ich in meinem konkreten Beispiel zur Aussage c gegen null komme. Denn nur wenn das Gas mit c gegen null einströmt, ist die effektive Strömung im Inneren weiterhin null. Alles andere würde die Homogenität des Systems verletzen und die Beschreibung mit der GG-Thermodynamik ungenau bzw. sinnlos werden lassen. Natürlich ist das immer eine Idealvorstellung.
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Homogen bedeutet "überall gleich", nicht "überall null". [...] Daraus folgt schon gar nicht, daß c in jedem homogenen System null sein muß. |
Seh ich genauso. Dass c im Allgemeinen gegen null gehen muss, war Quatsch. Gegenbeispiel ist ein homogen durchströmtes System, bei dem c völlig egal ist.
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Das ganze hat einfach gar nichts mit "kleinen Öffnungen" in "Kästen" zu tun. Die Gleichung, über die wir reden ist doch viel allgemeiner. Und auch in diesen allgemeineren Anwendungsfällen kannst du c=0 annehmen (im Ruhesystem). |
Das ist mir klar. Wie gesagt, wollte ich mir das ganze zuerst an einem einfachen praktischen Beispiel überlegen, um danach auf allgemeine Fälle zu abstrahieren.
Zum Beitrag der potentiellen Energie hab ich noch mal nachgedacht: mein Fehler war, nicht zu berücksichtigen, dass sich die Fundamentalgleichung tatsächlich nur auf die innere Energie des Systems bezieht. Potentielle Energien in externen Feldern zählen definitionsgemäß nicht zur inneren Energie. Welche potentielle Energie Teilchen z.B. im Schwerefeld haben, ist also vollkommen egal; das liefert nur einen Beitrag zur Gesamtenergie.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 11. Sep 2014 09:27 Titel: |
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| Sirius hat Folgendes geschrieben: | Im Prinzip geht es ja in erster Linie um die Frage, wann ich ein reales System hinreichend genau mit der Gleichgewichtsthermodynamik beschreiben darf. Da mich hier in erster Linie offene Systeme interessieren, hab ich einen ruhenden Kasten angenommen, in den durch eine Öffnung Gas einströmt, weil es einfach ein naheliegendes praktisches Beispiel ist. Wenn ich diesen Prozess mit der GG-Thermodynamik beschreiben will, bin ich weiterhin der Meinung, dass ich nur sinnvolle Ergebnisse erhalte, wenn das Gas mit c gegen null einströmt. Wenn das unklar rüber kam, sorry dafür.
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Ich denke mir ist einfach dein Argument für c=0 noch unklar. Für mich ist das eine beinahe triviale Folgerung aus Homogenität + ruhendes System. Dann muß nämlich der Term, den du zur Fundamentalgleichung addiert hast, also
exakt verschwinden. Das ist dann keine Näherung mehr. Er taucht einfach niemals auf. Der Grund ist, daß ich ihn wegen der Homogenität des Systems einfach "integrieren" darf, womit ich dann einen endlichen und konstanten Beitrag
zur Gesamtenergie erhalte, der einfach eine Schwerpunktsbewegung des Systems beschreibt. Das ist ein Widerspruch zur Annahme, daß das System ruht, nicht dazu, daß es homogen ist.
| Sirius hat Folgendes geschrieben: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Nein. Es heißt, die einzige homogene Strömung in einem ruhenden System ist die mit c=0. (Das ist praktisch eine Tautologie.) Folglich lassen sich gewisse Änderungen der Teilchenzahl nur näherungsweise beschreiben. Letzteres gilt unter den restlichen Voraussetzungen übrigens auch bei nicht ruhenden Systemen. Denn wenn du ein gleichmäßig strömendes System (mit endlichem Volumen) hast, kannst du nur Teilchen über den Rand hineintransportieren, die eine etwas andere Geschwindigkeit haben als der Rest des Systems. |
Ja, da stimme ich dir vollkommen zu. Das ist auch der Grund, warum ich in meinem konkreten Beispiel zur Aussage c gegen null komme. Denn nur wenn das Gas mit c gegen null einströmt, ist die effektive Strömung im Inneren weiterhin null. Alles andere würde die Homogenität des Systems verletzen und die Beschreibung mit der GG-Thermodynamik ungenau bzw. sinnlos werden lassen. Natürlich ist das immer eine Idealvorstellung.
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Die Homogenität verbietet nur große lokale Änderungen von c, aber die kommen in dem Term  , den du loswerden willst doch gar nicht vor. Da steht nur c, und das ist genauso ortsunabhängig wie T, p und . Wenn die Homogenität allein c=0 erfordern würde, warum erfordert sie dann nicht auch  ?
| Sirius hat Folgendes geschrieben: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Homogen bedeutet "überall gleich", nicht "überall null". [...] Daraus folgt schon gar nicht, daß c in jedem homogenen System null sein muß. |
Seh ich genauso. Dass c im Allgemeinen gegen null gehen muss, war Quatsch. Gegenbeispiel ist ein homogen durchströmtes System, bei dem c völlig egal ist.
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Hm, jetzt hört es sich so an, als wären wir uns doch einig.
| Sirius hat Folgendes geschrieben: |
Zum Beitrag der potentiellen Energie hab ich noch mal nachgedacht: mein Fehler war, nicht zu berücksichtigen, dass sich die Fundamentalgleichung tatsächlich nur auf die innere Energie des Systems bezieht. Potentielle Energien in externen Feldern zählen definitionsgemäß nicht zur inneren Energie. Welche potentielle Energie Teilchen z.B. im Schwerefeld haben, ist also vollkommen egal; das liefert nur einen Beitrag zur Gesamtenergie. |
Das kann man so nicht sagen. Die Fundamentalgleichung ist einfach eine Aussage zur Energieerhaltung, d.h. sie behauptet die Existenz einer Funktion U des Zustandes, deren Differential gleich der Menge der zugeführten Wärme plus der investierten Arbeit ist. Damit das stimmt, müssen alle Möglichkeiten durch Zustandsänderung Arbeit zu verrichten berücksichtigt werden. Wenn du das nicht machst, hat die linke Seite "dU" keinen Sinn mehr, denn es handelt sich dann nicht mehr um das Differential von irgendwas.
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Sirius
Anmeldungsdatum: 22.11.2008
Beiträge: 119
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| Sirius Verfasst am: 11. Sep 2014 18:12 Titel: |
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Ich hab mal eine Skizze gemacht, wie ich mir das konkrete Beispiel vorstelle.
Ich will das System innerhalb der rot gestrichelten Linie als homogen betrachten, d.h. Temperatur, Druck, chem. Potential usw. sollen darin keine Ortsabhängigkeit aufweisen. Damit dies gewährleistet ist, d.h. ich das System in guter Näherung als homogen betrachten darf, muss das Gas mit c gegen null einströmen.
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Das kann man so nicht sagen. Die Fundamentalgleichung ist einfach eine Aussage zur Energieerhaltung, d.h. sie behauptet die Existenz einer Funktion U des Zustandes, deren Differential gleich der Menge der zugeführten Wärme plus der investierten Arbeit ist. Damit das stimmt, müssen alle Möglichkeiten durch Zustandsänderung Arbeit zu verrichten berücksichtigt werden. Wenn du das nicht machst, hat die linke Seite "dU" keinen Sinn mehr, denn es handelt sich dann nicht mehr um das Differential von irgendwas. |
Was genau meinst du mit "Zustand" und "durch Zustandsänderung Arbeit verrichten"? Wüdest du den freien Fall eines Systems als kontinuierliche Zustandsänderung ansehen? Ich hab gelesen, dass man zwischen inneren und äußeren Zustandsgrößen unterscheiden kann. Innere sind z.B. Temperatur und Druck, äußere hingegen sind z.B. die Koordinate des Schwerpunkts des Systems im Raum und ähnliches. Die Fundamentalgleichung bezieht sich meines Wissens nur auf die Änderung der inneren Energie und damit die Änderung innerer Zustandsgrößen. Welche Bewegung nun der Schwerpunkt des Systems im Raum macht oder welche potentielle Energie das Systems und damit die einzelnen Teilchen in externen Feldern haben, spielt dabei keine Rolle.
Beispiel: Ein Kasten mit Gas befindet sich im freien Fall. Im Schwerefeld der Erde wird dann ständig Energie in Form von Arbeit frei, die sich einzig auf die kinetische Energie des Schwerpunkts des Systems überträgt, wenn man Luftreibung vernachlässigt. Die innere Energie bleibt unbeeinflusst, d.h.:
Berücksichtig man die Reibung explizit, so wird ein Teil der frei werdenden Arbeit als Wärme dissipiert, die in die innere Energie des Systems eingeht:
Das  , das man immer im ersten Hauptsatz geschlossener Systeme in der Form
schreibt, ist also meiner Meinung nach nur der Teil der verrichteten Arbeit des Systems, die auch tatsächlich die innere Energie beeinflusst, d.h. eine Änderung innerer Zustandsgrößen bewirkt. Im Gegensatz dazu gibt es auch die Form
des ersten Hauptsatzes, wobei E hier die Gesamtenergie des Systems darstellt und im Arbeitsterm folglich alle Beiträge eingehen, also auch die, die äußere Zustandsgrößen beeinflussen. E_a ist hierbei die kinetische Energie des Schwerpunkts des Systems plus die potentielle Energie des Systems in externen Feldern.
Korrigier mich wenn ich falsch liege, aber so hab ich das bis jetzt aus der Literatur immer verstanden.
| Beschreibung: |
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32.33 KB |
| Angeschaut: |
2012 mal |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 13. Sep 2014 16:30 Titel: |
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| Sirius hat Folgendes geschrieben: | Ich hab mal eine Skizze gemacht, wie ich mir das konkrete Beispiel vorstelle.
Ich will das System innerhalb der rot gestrichelten Linie als homogen betrachten, d.h. Temperatur, Druck, chem. Potential usw. sollen darin keine Ortsabhängigkeit aufweisen. Damit dies gewährleistet ist, d.h. ich das System in guter Näherung als homogen betrachten darf, muss das Gas mit c gegen null einströmen.
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Es geht ja nicht nur um die Geschwindigkeit der einströmenden Materie. Du mußt die Homogenitätsforderung auf ein System anwenden, das aus verschiedenen nicht miteinander im Gleichgewicht befindlichen Teilsystemen besteht, zwischen denen Materie hin und herströmt. Unter diesen Voraussetzungen ist eben die molare kinetische Energie im ganzen System konstant  . Multipliziert mit der Stoffmenge ergibt das die gesamte kinetische Energie des Systems und ist leicht zu interpretieren als Schwerpunktsbewegung. Was ich nicht verstehe ist, was dir daran jetzt noch so viel Kopfzerbrechen bereitet, daß du dir Gedanken um Details über Kästen mit kleinen Öffnungen machst. Das Argument gilt doch ohne weiteres für jedes beliebige homogene System.
| Sirius hat Folgendes geschrieben: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Das kann man so nicht sagen. Die Fundamentalgleichung ist einfach eine Aussage zur Energieerhaltung, d.h. sie behauptet die Existenz einer Funktion U des Zustandes, deren Differential gleich der Menge der zugeführten Wärme plus der investierten Arbeit ist. Damit das stimmt, müssen alle Möglichkeiten durch Zustandsänderung Arbeit zu verrichten berücksichtigt werden. Wenn du das nicht machst, hat die linke Seite "dU" keinen Sinn mehr, denn es handelt sich dann nicht mehr um das Differential von irgendwas. |
Was genau meinst du mit "Zustand" und "durch Zustandsänderung Arbeit verrichten"?
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Ich meine den thermodynamischen Zustand, also die Angabe eines vollständigen Satzes von Zustandsgrößen, wie T, V, N, Polarisation/E-Feld, Magnetisierung/H-Feld etc. Um Arbeit zu verrichten, mußt du im allgemeinen diesen Zustand ändern.
| Sirius hat Folgendes geschrieben: |
Wüdest du den freien Fall eines Systems als kontinuierliche Zustandsänderung ansehen?
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Nein, nicht in diesem Zusammenhang. Im freien Fall ist das Gravitationsfeld weg, also g=0. Da passiert im System thermodynamisch dasselbe, als wenn du es in Abwesenheit von Gravitation einfach in Ruhe läßt, nämlich gar nichts.
Eine Zustandsänderung, bei der die Gravitation relevant sein könnte, wäre beispielsweise eine Änderung der vertikalen Ruhelage oder Ausdehnung eines mit Gas gefüllten Containers im Gravitationsfeld.
| Sirius hat Folgendes geschrieben: |
Das , das man immer im ersten Hauptsatz geschlossener Systeme in der Form
schreibt, ist also meiner Meinung nach nur der Teil der verrichteten Arbeit des Systems, die auch tatsächlich die innere Energie beeinflusst, d.h. eine Änderung innerer Zustandsgrößen bewirkt. Im Gegensatz dazu gibt es auch die Form
des ersten Hauptsatzes, wobei E hier die Gesamtenergie des Systems darstellt und im Arbeitsterm folglich alle Beiträge eingehen, also auch die, die äußere Zustandsgrößen beeinflussen. E_a ist hierbei die kinetische Energie des Schwerpunkts des Systems plus die potentielle Energie des Systems in externen Feldern.
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Die Aufspaltung  ist erstmal nichtssagend. Entscheidend ist allein von welchen Variablen die Funktionen  und  abhängen. Hängen sie von denselben Variablen ab? Dann ist die Aufspaltung mehrdeutig und entspricht wahrscheinlich mehr oder weniger dem Übergang zu irgendeinem anderen thermodynamischen Potential, also einer äquivalenten Beschreibung des ganzen Systems. Mehr steckt aber nicht dahinter. Ich kann mir immer irgendeine vollkommen beliebige Funktion X von denselben Variablen wie E ausdenken und definieren "Rest" = E - X.
Wenn und nicht von denselben Variablen abhängen sollen, garantiert keiner mehr, daß sie überhaupt existieren. Energieerhaltung garantiert nur die Existenz von E. Davon kannst du die Schwerpunktsbewegung abspalten, aber nicht die äußeren Felder in der Art, daß sie im Rest nicht mehr vorkommen.
Nimm als Beispiel wieder das ideale Gas in einem Container, mit beweglichem Boden (Position  ) und Decke ( ), der im Gravitationsfeld ruht. Die Entropie hängt in diesem Fall von T, und (und g) ab. Dasselbe gilt für die Kräfte  .
Welche Größen gehören jetzt also zur inneren und welche zur "äußeren" Energie?
Der Witz bei der Schwerpunktsbewegung ist ja, daß du schreiben kannst
 = \frac{P^2}{2M} + U(p, r),)
wobei im ersten Term nur P vorkommt und im zweiten Term alles außer P. Das ist übrigens genau das Argument mit dem ich deinen Strömungsterm wegdiskutiert habe.
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Sirius
Anmeldungsdatum: 22.11.2008
Beiträge: 119
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| Sirius Verfasst am: 14. Sep 2014 17:09 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Wenn und nicht von denselben Variablen abhängen sollen, garantiert keiner mehr, daß sie überhaupt existieren. Energieerhaltung garantiert nur die Existenz von E. Davon kannst du die Schwerpunktsbewegung abspalten, aber nicht die äußeren Felder in der Art, daß sie im Rest nicht mehr vorkommen. |
Das musst du mir erklären, warum das nicht geht. Wenn Energieerhaltung die Existenz von E garantiert und der erste Hauptsatz besagt, dass jedes System eine innere Energie U hat, wer hindert mich dann daran, E-U aufzustellen?
Ich kann da nur "Baehr: Thermodynamik" zitieren:
"Kinetische und potentielle Energie sind nur Teile der Gesamtenergie E des Systems. Man definiert die innere Energie durch
Von der Gesamtenergie werden also die kinetische und potentielle Energie, die zur Bewegung des Systems als Ganzem gehören, abgezogen, um die innere Energie zu erhalten."
Demzufolge spielt für mich die potentielle Energie in externen Feldern überhaupt keine Rolle für die innere Energie des Systems und taucht somit auch nicht in der Fundamentalgleichung auf.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 14. Sep 2014 17:40 Titel: |
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Möglicherweise ein Mißverständnis. Ich spreche explizit nicht von "der kinetischen und potentiellen Energie, die zur Bewegung des Systems als Ganzem gehören". Auch wenn ich nicht genau weiß, was im allgemeinen diese potentielle Energie sein soll. In meinem Beispiel aus dem letzten Post, existiert ein T-unabhängiger Term  in der Gesamtenergie, wobei ) ist. (Wenn ich richtig gerechnet habe.) Vielleicht ist sowas ja gemeint, allerdings ist  hier i.A. nicht die z-Koordinate des Schwerpunktes. (Wieder wenn ich richtig gerechnet habe, allerdings erscheint mir das auch plausibel, denn bei niedrigen Temperaturen sollte die Dichte im unteren Teil des Containers größer sein als im oberen.) In
 ,
kommt außerdem sowohl das Gravitationsfeld als auch T und N vor. Deswegen meine Frage: gehört das noch zur inneren Energie? Wenn nicht, existiert einfach keine innere Energie.
| Sirius hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Wenn und nicht von denselben Variablen abhängen sollen, garantiert keiner mehr, daß sie überhaupt existieren. Energieerhaltung garantiert nur die Existenz von E. Davon kannst du die Schwerpunktsbewegung abspalten, aber nicht die äußeren Felder in der Art, daß sie im Rest nicht mehr vorkommen. |
Das musst du mir erklären, warum das nicht geht. Wenn Energieerhaltung die Existenz von E garantiert und der erste Hauptsatz besagt, dass jedes System eine innere Energie U hat, wer hindert mich dann daran, E-U aufzustellen?
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Erster HS und Energieerhaltung ist in dem Zusammenhang dasselbe. Der garantiert die Existenz einer Funktion des Zustandes, wobei ich jetzt die Schwerpunktsbewegung schon aus dem Zustand ausgenommen habe. Dann kommen aber in der inneren Energie trotzdem äußere Felder vor, die man nicht einfach weglassen kann. (Es hängt jetzt also mehr oder weniger davon ab, was du in diesem Zusammenhang als "potentielle Energie in externen Feldern" bezeichnest würde ich sagen. Meine Frage daher, zählt
 aus meinem Bsp. dazu?
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Sirius
Anmeldungsdatum: 22.11.2008
Beiträge: 119
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| Sirius Verfasst am: 16. Sep 2014 18:37 Titel: |
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In deinem Beispiel würde ich die Gesamtenergie des Systems wie folgt aufstellen:
)
Die innere Energie U wird dann von Größen wie Temperatur und Volumen abhängen, beinhaltet aber nicht die potentielle Energie des Systems im Schwerefeld. Von daher zählt aus meiner Sicht
nicht zu dU.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 16. Sep 2014 20:46 Titel: |
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| Sirius hat Folgendes geschrieben: | In deinem Beispiel würde ich die Gesamtenergie des Systems wie folgt aufstellen:
Die innere Energie U wird dann von Größen wie Temperatur und Volumen abhängen, beinhaltet aber nicht die potentielle Energie des Systems im Schwerefeld.
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U enthält dann allerdings auch g und und . Insbesondere ist U eine Funktion  + U_1(\beta, N, m g (z_o-z_u))) , wobei  die innere Energie des (freien) idealen Gases ist. Es kann also nicht ganz egal sein, "welche potentielle Energie Teilchen, z.B. im Schwerefeld haben", um mal deine Formulierung zu verwenden, an der ich mich ursprünglich störte. Wozu gehört denn dann  ?
| Zitat: |
Von daher zählt aus meiner Sicht
nicht zu dU. |
Dann fehlt aber was, denn diese partielle Ableitung ergibt nicht  . Mein Punkt ist gerade, daß ein äußeres Feld eben nicht nur Einfluß auf die "Bewegung des Systems als ganzes" hat.
Wenn du alle Terme mit äußeren Feldern aus U raushalten willst, läufst du schnell Gefahr, daß nichts interessantes übrigbleibt. Im Beispiel oben bleibt nur ein freies ideales Gas. Und was bringt das, außer vorzugaukeln, daß ein äußeres g-Feld keinen Einfluß auf den makroskopischen Zustand eines Gases hat?
Konsequenterweise dürftest du ja übrigens auch keine thermodynamische Beschreibung der magnetischen Eigenschaften von Systemen zulassen. Größen wie Magnetisierung etc. sind ja gerade definiert als die Reaktion des Systems auf die Änderung äußerer Magnetfelder:  . Wenn deine innere Energie dann nicht z.B. von H abhängt, wozu ist sie dann gut?
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Sirius
Anmeldungsdatum: 22.11.2008
Beiträge: 119
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| Sirius Verfasst am: 18. Sep 2014 18:25 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | U enthält dann allerdings auch g und und . Insbesondere ist U eine Funktion , wobei die innere Energie des (freien) idealen Gases ist. Es kann also nicht ganz egal sein, "welche potentielle Energie Teilchen, z.B. im Schwerefeld haben", um mal deine Formulierung zu verwenden, an der ich mich ursprünglich störte. Wozu gehört denn dann |
Kannst du mir kurz erklären, wie du auf den U1-Term kommst?
Im Übrigen will ich gar nicht alle äußeren Felder aus U draußen haben, nur denke ich, dass eben potentielle Energien in äußeren Feldern nicht eingehen. So kommt es für mich aus der Literatur zumindest immer rüber.
Wie würdest du eigentlich die innere Energie physikalisch deuten? Meines Wissens setzt sie sich zusammen aus der kinetischen Energie aller Teilchen (rel. zum SP), der WW-Energie der Teilchen untereinander und den Anteilen, die quasi "im Teilchen" selbst stecken (Bindungsenergien usw.). Vielleicht habe ich ja ein völlig falsches Bild der inneren Energie, daher meine Frage.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 18. Sep 2014 19:48 Titel: |
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Mit der Energie  berechne ich die Einteilchen-Zustandssumme. Das Integral über den Impuls und die beiden horizontalen Koordinaten über eine Länge  ergibt
mit dem Volumen ) und der thermischen Wellenlänge  . Der erste Bruch ist einfach die Einteilchen-Zustandssumme  im idealen Gas. Bleibt der Term
.)
Mit der Definition und  erhalte ich dann
}{\frac{\beta}{2}mg h}\right)\cdot e^{-\beta mgz}) .
Dann gehe ich zur  -Teilche-Zustandssumme über (hoch N, durch N!) und bereche die mittlere Energie
Der mittlere Term in  liefert dann letztendlich den Beitrag zur inneren Energie. Ich glaube explizit lautet er
 - \frac{N}{\beta},)
obwohl mich der Term  irgendwie irritiert, da er weder g noch h enthält, aber trotzdem ohne Gravitationsfeld verschwinden sollte. Ist aber wahrscheinlich nur ein Buchhaltungseffekt, weil ich explizit einen Anteil für das freie Gas abgespalten habe, obwohl die räumlichen Freihheitsgrade sich die mittlere kinetische Energie nicht gleichmäßig aufteilen.
| Sirius hat Folgendes geschrieben: |
Wie würdest du eigentlich die innere Energie physikalisch deuten? Meines Wissens setzt sie sich zusammen aus der kinetischen Energie aller Teilchen (rel. zum SP), der WW-Energie der Teilchen untereinander und den Anteilen, die quasi "im Teilchen" selbst stecken (Bindungsenergien usw.). Vielleicht habe ich ja ein völlig falsches Bild der inneren Energie, daher meine Frage. |
Ich glaube das ist gar keine so prinzipielle Frage, sondern hängt eher davon ab welche Prozesse man betrachtet. Wenn durch irgendeine Vorrichtung der ganze Gas-Container angehoben wird (also eine Änderung von z), dann muß man das eben in der Energiebilanz berücksichtigen. Wenn z immer konstant bleibt, ist  und der Term fällt von selbst weg und ich brauche mich nicht mehr zu fragen ob er nun zur inneren Energie gehörte oder zur äußeren.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 19. Sep 2014 06:37 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
obwohl mich der Term irgendwie irritiert,... |
Scheint aber alles seine Richtigkeit zu haben. Der coth-Term ergibt im Grenzfall 
 = \frac{1}{\beta})
und man erhält das ideale Gas zurück.
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Sirius
Anmeldungsdatum: 22.11.2008
Beiträge: 119
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| Sirius Verfasst am: 28. Sep 2014 22:45 Titel: |
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Vielen Dank erstmal für deine Hilfe. Sorry, konnte leider nicht früher antworten.
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