Die Geschwindigkeit einer Rollenden kugel bestimmen ?

Physiker_Lehrling · Anmeldungsdatum: 13.06.2014 Beiträge: 6

Meine Frage:
Hallo alle zusammen;

bin Grade dabei die Geschwindigkeit einer Rollenden Kugel auf einer Schienenebene/Ungleichmäßige ebene zu berechnen. Vollständige Rechnung ist vorhanden will einfach die Formel nach voll ziehen können.

Werte Meiner Bahn
tGerade =Höhe:1,4m Breite:2m Seite c:2,35m
tUngleich =Höhe:1,4m Breite:2m Seite c:2,50m

die 2 Bahn ist eine Zykloide weiß aber nicht wie schnell die Kugel beschleunigt.

Mit freundlichen Grüßen;

Physikerlehrling Big Laugh

Meine Ideen:

Hier die Vollständige Aufgabe:

http://www.bionik-online.de/wp-content/uploads/2012/05/Brachystochrone_04_Loesung.pdf

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Mir ist nicht ganz klar, welche Rechnung Du genau verstehen möchtest, bzw. noch nicht verstanden hast. Im von Dir angegebenen PDF ist ja nur die Lösung für etwas, was wohl eher eine Art Versuch war, den Ihr durchgeführt habt? Viel gerechnet ist da nun ja auch nicht.

Die Beschleunigung brauchst Du nicht zu kennen. Du musst nur den Höhenunterschied kennen vom Startpunkt bis zu der Stelle, an der Du die Geschwindigkeit wissen willst. Und dann mit Energieerhaltung.

Was mich aber bei den PDF am meisten stört ist, dass mal wieder die Rotation und damit die Rotationsenergie der Kugel völlig vernachlässigt wird und so weit ich gesehen habe, noch nicht mal erwähnt wird. In der "Lösung" ist dann erwähnt, dass die gemessene Durchlaufszeit wohl normalerweise höher ist (bei den angegebenen Beispielswerten würde ich sogar _viel_ höher sagen...) und dass mögliche Ursachen wohl Reibung und Reaktionszeit beim Bedienen der Stoppuhr seien. Dann schreiben sie sogar noch, dass das Verhältnis der Zeiten dafür aber recht gut stimmen würde. Das ist echter Blödsinn: Wenn es die Reaktionszeit beim Stoppen wäre, dann würde ein konstanter Wert dazu kommen. Reibung... weiß ich nicht, glaube irgendwie nicht, dass die so viel ausmachen würde. Aber was wirklich eine massive Rolle spielt, ist dass die Translations-Geschwindigkeit, die sie bei der Theorie annehmen bei einer rollenden Kugel überhaupt gar nicht stimmt, wenn man die Rotationsenergie einfach ignoriert!

Gruß
Marco

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Mir scheint es beim dem ganzem Geschwurbel nur um das klassische Brachystochronen Problem zu gehen. grübelnd

Physiker_Lehrling · Anmeldungsdatum: 13.06.2014 Beiträge: 6

@franz geht es auch ich soll den versuch best möglich der klasser erklären .

@as_string danke erst mal für die antwort. Ja dies ist ein versuch ich soll den versuch von dem herrn Johann bernoulli best möglich erklären jedoch fallen Sachen wir Reibungskraft berechen sowie die luftwiederstand der Kugel zu berechen unsweiter weg.ich will die geschwindigkeit der kugel bestimmen können aber weiss nicht ganz wie ?
also kurz gesagt wen ich diesen versuch nun präsentieren soll (das problem und warum es so ist)mit welchen formeln sollte ich rechnen...brauche eure hilfe.
Muss nicht so sehr tief grundig in die physik wie gesagt reibungsenergie und wiederstand brauch ich ja nicht .wie du schon sagst Rotationsenergie spielt bei dem versuch ein wichtige rolle nur wie soll ich anfangen ?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18095

Mir ist nicht klar, ob du nun eine reale Kugel mit nicht-verschwinden Radius r unter Berücksichtigung der Rotationsenergie betrachten sollst, oder einen idealisierten Massenpunkt.

Es gilt

Im Falle einer Vollkugel ist das Trägheitsmoment gegeben durch

Im Falle eines Massenpunktes entfällt der zweite Term. Die Lösung dafür wäre einfach

Nun muss man noch eine geometrische Bedingung finden, die die Translationsgeschwindigkeit sowie die Winkelgeschwindigkeit in Beziehung setzt, so dass man letztere eliminieren kann. Damit kann die Gleichung aufgelöst und die Geschwindigkeit v(h) als Funktion von h geschrieben werden. Als Parameter geht dann noch E bzw. h_0 ein, wobei man für die Starthöhe h_0 die Startgeschwindigkeit Null setzt.

Die geometrische Bedingung findest du wie folgt: du betrachtest eine vollständige Rotation der Kugel. Dabei legt ein Punkt der Oberfläche eine Strecke zurück, die genau dem Umfang der Kugel entspricht. Nun soll die Kugel auf der Oberfläche der gedachten Kugelbahn abrollen, d.h. dieser Punkt auf der Kugeloberfläche legt auch entlang der Kugelbahn dieselbe Fläche zurück (würde die Kugel nicht rollen sondern gleiten, würde sie sich zwar entlang der Kugelbahn bewegen, jedoch nicht rotieren; würde die Kugel nicht rollen sondern ideal durchdrehen, würde sie an Ort und Stelle rotieren, sich jedoch nicht fortbewegen). Die Translationsgeschwindigkeit folgt aus der entlang der Bahn zurückgelegten Strecke pro Zeit T. Die Rotationsgeschwindigkeit folgt aus dem Umfang dividiert durch die Zeit T. Setzt man beide ins Verhältnis so kann man die Zeit T einer vollständigen Rotation eliminieren und die Bedingung gilt auch für infinitesimale dt.

Physiker_Lehrling · Anmeldungsdatum: 13.06.2014 Beiträge: 6

Mir ist nicht klar, ob du nun eine reale Kugel mit nicht-verschwinden Radius r unter Berücksichtigung der Rotationsenergie betrachten sollst, oder einen idealisierten Massenpunkt.

also hab deine frage nicht ganz verstanden.Meinst du jetzt ob es ein fester Körper der die bahn hinunter gleitet mit idealisierter Massenpunkt,und mit Rotationsenergie die Umdrehung der Kugel ? grübelnd

wen ja die Kugel hat ein Radius =2.75cm Gewicht der Kugel=400g

normale weise kann man die Beschleunigung dieser Bahn mit dem Winkel des Radiuses ganz einfach bestimmen somit hätte man die perfekten werte.hab ich aber leider nicht.

Mein Mathe Lehrer meinte jedoch ich solle mir die Zykloide auf die Größe meiner bahn vergleichen anhand von Proportionen (Dreisatz) berechnen da diese bahn eine Zykloide ist.Alle Zykloiden sind gleich von der Funktion her. lade es mal hoch.(http://www.mathematik-wissen.de/zykloide.htm) steht unter "Beispielrechnung mit der Säulenanzahl"

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18095

Mir ist wirklich nicht klar, was genau deine Aufgabenstellung ist.

Physiker_Lehrling · Anmeldungsdatum: 13.06.2014 Beiträge: 6

also ganz grob erklärt es geht um ein man names Johann Bernoulli der ein versuch mit 2 bahnen gemacht hat eine linar fallend eine gebogen.Nun hat der man beweisen können das die Kugel auf der gebogenen bahn schneller als die fallende ist obwohl die gebogene eine länger strecke hat. und ich soll das jetzt der Klasse beweisen können warum das so ist.Wware jetzt so weit das ich die Geschwindigkeit beider Kugel bestimme und somit ein eindeutiges Ergebnis bekomme wollte, das ich sagen kann und deshalb ist die gebogen bahn schneller als die gleich fallende Bahn.hoffe konnte es die erklären hab Grad auch was gefunden :http://did.mat.uni-bayreuth.de/~karin/bernoulli/

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Ich denke, wir kennen alle das Brachystochronen Problem, das ist nicht der Punkt.
Du kannst die Geschwindigkeit in jedem Punkt durch die Höhendifferenz zum Anfang bestimmen, ganz einfach über die Energieerhaltung. Wenn Du aber (im Gegensatz zu Deinem Script) ansatzweise korrekt sein möchtest, dann solltest Du dabei nicht nur die translatorische kinetische Energie ½mv^2 berücksichtigen, sondern auch die rotatorische kinetische Energie der rollenden Kugel, wie TomS das erwähnt hat.

Das ist aber ein "Nebenkriegsschauplatz". Theoretisch kann man da auch einen Massepunkt annehmen, nur wird das Ergebnis dann eben nicht mit dem Versuch übereinstimmen, was ja auch in Deinem Script gemacht wurde und eben auch nicht übereingestimmt hat. Dass als Erklärung nur von Reibung und Reaktionszeit beim Bedienen der Stoppuhr kam, fand ich halt ziemlich arm, und dass die Rotationsenergie gar nicht erwähnt wird, noch mehr...

Du kannst jetzt, um es Deinen Mitschülern plausibel zu machen, so vorgehen: Erkläre warum die Geschwindigkeit höher ist, je tiefer die Masse sich gerade bewegt (ganz einfach über die Energieerhaltung wie sowohl in Deinem Script schon erklärt, wie auch hier schon angerissen!)
Jetzt vergleiche die beiden Bahnen: Auf der geraden Bahn ist die Kugel immer höher, als auf der Brachistochronen Bahn, außer ganz am Start und am Ziel. Also ist die Kugel auch über die gesamte Strecke schneller.

Das ist aber noch kein Beweis dafür, dass die Bahn wirklich schneller sein muss, weil zwar die Geschwindigkeit im Schnitt höher ist, aber auch die Strecke länger. Das kann man so einfach auch nicht sagen! Um die Zeit für die beiden Bahnen auszurechnen, muss man über die gesamte Strecke integrieren und so weiter. Ich vermute, das werdet Ihr mathematisch noch nicht können, oder?

Normalerweise ist diese Beispiel ein Standardbeispiel für die sogenannte "Variationsrechnung". Wenn Du also wirklich etwas zeigen wolltest, müsstest Du letztlich diese erklären, was aber sicher noch weiter über die Euch bekannte Mathematik hinaus gehen wird, denke ich.

Gruß
Marco

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18095

Mir ist nicht unmittelbar klar, dass das Variationsproblem für eine Kugel (statt eines Massepunktes) ebenfalls auf eine Brachistochrone führt; das müsste man erst beweisen.

Und wie Marco schon sagte: die Berechnung der Geschwindigkeit ist vergleichsweise trivial, allerdings eben noch nicht die Lösung des Problems; dieses erfordert die Berechnung der Gesamtzeit sowie deren Minimierung mittels Variationsrechnung und ist ungleich schwieriger.

Physiker_Lehrling · Anmeldungsdatum: 13.06.2014 Beiträge: 6

@as_string ja also das stimmt hab ich gar nicht dran gedacht,ich könnte auch einfach den versuch anhand von anderen Werten berechnen Hauptsache ich kann den Schülern erklären warum es schneller ankommt wenn ihr so was habt wäre ich schon sehr froh.der lehrer denke ich auch.Dann habe ich mir arbeit gespart und könnte auch andere Sachen mit rein packen ,dann hab ich noch zeit für anderes weil mich das Thema geschwindigkeit, lange beschäftigt hat (Nachhilfe Lehrerin wusste es sogar nicht wie sie vorging war das lustig sie hat ungefähr 1 und halbe stunde verzweifelt im Internet gesucht Big Laugh

naja war auch kein physiklehrer Big Laugh

)da ich nicht alle werte eine bahn anhand von Zollstock und Waage usw. berechen kann ist doch blöd.super Idee Big Laugh

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Physiker_Lehrling · Anmeldungsdatum: 13.06.2014 Beiträge: 6

nein ich weiß schon was gemeint ist das kann man nicht anhand von einer formel berechnet da er an unterschiedlichen punkten unterschiedlich beschleunigt .aber für dieses Problem gibt es auch eine Lösung wen man jetzt den Durchschnitt aller berechneten punkte errechnet.muss mich mit dem was du jetzt sagst genauer auseinandersetzten da ich das meiste nett ganz verstanden habe. in physik gib es viele verschiedene Kräfte usw. weiß dann nicht was genau gemeint ist.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18095

Das funktioniert sicher, wenn das Trägheitsmoment von der Form

ist. Dann lautet die kinetische Energie