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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18115
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 TomS Verfasst am: 22. Mai 2014 23:57 Titel: Schwarzes Loch und Lichtsignale frei fallender Beobachter |
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Kürzlich hatte ich in einem anderen Thread folgende Idee geäußert und um Überprüfung gebeten. Ich hab das jetzt selbst durchgerechnet - und die Idee ist leider falsch. Würde mich trotzdem freuen, wenn jemand das nochmal prüfen könnte.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Nun stellen wir uns einen kontinuierlichen Strom von hintereinander frei fallenden Beobachtern vor, die folgendes verabreden: Jeder Beobachter sendet während des Falls kontinuierlich Lichtblitze radial nach außen = entgegen der Fallrichtung. Dem nachfolgenden Beobachter kommt dieser Lichtblitz entgegen, er wird ihn also sehen. Lichtblitze, die direkt am Horizont radial nach außen gesendet werden, verbleiben am Horizont (das ist das Wesen des Horizontes). Ein nachfolgender Beobachter kann prinzipiell im Moment des Überquerens des Horizontes die von vorausfallenden Beobachtern ausgesandten Lichtblitze beobachten, vorausgesetzt er fällt sozusagen zum geeigneten Zeitpunkt durch den Horizont. Um das sicherzustellen, soll der Strom der Beobachter und das Aussenden der Lichtsignale möglichst kontinuierlich erfolgen.
Nach dem Hindurchfallen durch den Horizont existiert die Richtung „radial nach außen“ sozusagen nicht mehr. Alle möglichen Richtungen weisen „hin zur Singularität“. D.h. ab diesem Punkt werden auch die „nach hinten“ abgestrahlten Lichtblitze nicht mehr in Richtung der nachfolgenden Beobachter abgestrahlt, sondern in Richtung der Singularität. D.h. aber, dass diese Lichtblitze des vorausfallenden Beobachters die nachfolgenden Beobachter nicht mehr erreichen. |
Die Berechnung erfolgt in Gullstrand-Painlevé-Koordinaten; diese zeichnen sich dadurch aus, dass die Radialkoordinate mit der der Schwarzschildmetrik identisch ist, während die Zeitkoordinate der eines frei fallenden Beobachters entspricht. Die Metrik ist am Horizont regulär.
http://en.wikipedia.org/wiki/Gullstrand%E2%80%93Painlev%C3%A9_coordinates
Ich verwende im Folgenden reskalierte Koordinaten, so dass c=1, Schwarzschildradius bei xi=1, tau=...
Der Fall eines Objektes aus der Ruhe im Unendlichen wird beschrieben durch
Die Koordinatengeschwindigkeit ist also am Horizont gleich Eins und divergiert wenn das Objekt die Singularität erreicht.
Die Lösung für eine Schar derartiger Objekte lautet
Für auslaufende lichtartige Geodäten findet man
Man erkennt, dass am Horizont selbst die Geschwindigkeit Null ist, d.h. der auslaufende Lichtstrahl bleibt am Horizont. Innerhalb des Horizontes ist die Geschwindigkeit auslaufender Lichstrahlen negativ, d.h. auch auslaufende Lichtstrahlen nähern sich der Singularität!
Die Lösung für eine Schar auslaufender Lichtstrahlen lautet
)
Nun betrachtet man einen Lichstrahl unterhalb des Horizontes, der von einem vorausfallenden Objekt radial auslaufend ausgesandt wurde, und bestimmt, ob und wo er die Weltlinie eines hinterherfallenden Objektes schneidet. Man stellt zunächst einfach graphisch fest, dass das hinterherfallende Objekt derartige Lichstrahlen "einholen" kann (da sie auslaufend sind, kommen sie ihm eigtl. entgegen).
Nur das Licht von zu weit vorausfallenden Objekten erreicht die Singularität, bevor das hinterherfallende Objekt dieses eingeholt hat. Man kann also von einem dynamischen Sichtbarkeitshorizont je frei fallendem Beobachter sprechen. Der EH selbst stellt dabei keinen Sichtbarkeitshorizont dar, da der frei fallende Beobachter diesen ja überquert.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 23. Mai 2014 19:15, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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Nobundo
Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168
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| Nobundo Verfasst am: 23. Mai 2014 08:52 Titel: Re: Schwarzes Loch und Lichtsignale frei fallender Beobachte |
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Die GP Koordinaten kannte ich vorher gar nicht, aber mit wiki Eintrag leuchten sie mir denke ich ein.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Der Fall eines Objektes aus der Ruhe im Unendlichen wird beschrieben durch
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Wie kommt man auf diese Bewegungsgleichung? Ich hab noch nicht selbst gerechnet, aber hast du einfach die Christoffelsymbole bestimmt und die Geodätengleichungen aufgestellt? Das würde man doch für einen frei fallenden Beobachter tun wollen?
Gruß
Nobundo
Edit: Ich sehe gerade das die bewegungsgl. auch im wiki unter "Motion of raindrop" angegeben ist, das hat sich also geklärt. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18115
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| TomS Verfasst am: 23. Mai 2014 12:16 Titel: Re: Schwarzes Loch und Lichtsignale frei fallender Beobachte |
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| Nobundo hat Folgendes geschrieben: | | Wie kommt man auf diese Bewegungsgleichung? Ich hab noch nicht selbst gerechnet, aber hast du einfach die Christoffelsymbole bestimmt und die Geodätengleichungen aufgestellt? Das würde man doch für einen frei fallenden Beobachter tun wollen? |
So ist das.
Schwieriger ist die Lösung für die lichtartige Geodäte ;-)
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18115
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| TomS Verfasst am: 23. Mai 2014 12:36 Titel: |
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Noch was zum „Sichtbarkeitshorizont“.
Für den frei fallenden Beobachter sind außerhalb des Ereignishorizontes abgestrahlte, radial auslaufende Lichtstrahlen immer sichtbar.
Innerhalb des Ereignishorizontes abgestrahlte, radial einlaufende Lichtstrahlen sind nie sichtbar.
Innerhalb des Ereignishorizontes abgestrahlte, radial auslaufende Lichtstrahlen sind teilweise sichtbar.
D.h. für den frei fallenden Beobachter liegt der „Sichtbarkeitshorizont“ innerhalb des Ereignishorizontes. Betrachten wir eine Geodäte, die bei tau=0 die Singularität xi=0 erreicht:
Der „Sichtbarkeitshorizont“ wird durch radial einlaufende, lichtartige Geodäten definiert, die bei tau=0 zeitgleich mit Beobachter die Singularität erreichen. Lichtartige Geodäten, die die Singularität „später“ erreichen, weisen einen Schnittpunkt mit der Weltlinie des Beobachters auf, sind also sichtbar. Lichtartige Geodäten, die die Singularität „früher“ erreichen, weisen keinen einen Schnittpunkt mit der Weltlinie des Beobachters auf, sind also prinzipiell nicht sichtbar.
D.h. der „Sichtbarkeitshorizont“ des o.g. Beobachters ist definiert durch die lichtartige Geodäte
)
Irgendwo scheint noch ein Vorzeichenfehler drin zu sein ... jetzt nicht mehr
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