Schrödinger-Gleichung: Drehimpuls-, magnetische Quantenzahl

Katthi · Anmeldungsdatum: 23.06.2013 Beiträge: 21

Meine Frage:
Woher kommen die magnetische Quantenzahl und die Drehimpulsquantenzahl in der Schrödinger-Gleichung?

Meine Ideen:
Hallo,

also ich weiß, dass die beiden Quantenzahlen aus der Lösung der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom kommen.
Es handelt sich dabei um die Lösung einer partiellen DGL, weshalb ich die Schritte des Separationsansatzes nicht richtig nachvollziehen kann.
Man erhält hinterher einen Teil, der nur von r abhängt und einen der von den beiden Winkeln abhängt, da wir das Problem ja in Kugelkoordinaten betrachten.
Die Hauptquantenzahl erhält man ja ganz einfach im 1-dimensionalen für den Potentialtopf aufgrund der Randbedingungen des Topfes. Das ist mir auch klar.
Aber ich wüsste gerne, gar nicht mal mathematisch, wie die magnetische und die Drehimpulsquantenzahl ins Spiel kommen.

Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt.

LG Katthi

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18208

Es gibt letztlich nur den Weg, den Separationsansatz und die Kugelflächenfunktionen zu verstehen.

Schau dir mal die stehende Welle in einem dreidimensionalen Potentialtopf an.

Katthi · Anmeldungsdatum: 23.06.2013 Beiträge: 21

Hallo,

den dreidimensionalen Potentialkasten habe ich auch schon betrachtet. Da erhalte ich ja quasi 3 Quantenzahlen n_x, n_y, n_z für die 3 Raumrichtungen, die aber ja, wenn ich das richtig verstanden habe, nicht voneinander abhängen. Das ist ja bei m und l anders. Die bedingen sich ja gegenseitig.

Kann man denn irgendwie formulieren, wieso ma diese beiden noch benötgt? ich denke nicht, dass ich das in einer Prüfung herleiten muss, aber ich sollte wissen, wo die Quantenzahlen herkommen. n kann ich wie gesagt auch mathematisch kurz erklären durch die Randbedingungen des Potentialtopfes, aber bei den anderen beiden wäre hilfreich sagen zu können, wieso die noch ins Spiel kommen.
Z.B. kommen sie aus dem R-Teil oder dem Winkel-Teil und wieso braucht man sie überhaupt.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18208

Jannick · Anmeldungsdatum: 25.07.2012 Beiträge: 107

Man kann sich l und m ein bisschen veranschaulichen. Bei dem Seperationsansatz bekommt als Winkelterm etwas was proportional zu

ist. Somit sind die H-atom Eigentfunktionen auch Eigenfunktionen zu

. Die Quantenzahl dazu ist l. Sie sagt einfach gesagt, wie groß der Betrag des Drehimpulses ist. Dabei gilt

Jetzt bleibt natürlich noch die Ausrichtung des Drehimpulses als Freiheitsgrad übrig. Allerdings sollte die Energie natürlich überhaupt nicht davon abhängen, da das Potential ja vollkommen rotationssymetrich ist. Hier kommt die Quantenzahl

ins Spiel. Man kann nun eine beliebige Quantisierungsachse wählen, wobei man meist z wählt. Man legt nun fest, dass die Lösungen der SGL auch Eigenfunktionen zu

sind.
Die entsprechenden Eigenwerte sind

.
l und m sind nun dadurch verknüpft, dass eine Komponente natürlich nicht größer sein kann als der Betrag eines Vektors. Gleichzeitig ist es eine Eigenschaft des QM Drehimpulses, dass er sich immer ein Schritten von

unterscheiden muss. Daraus folgt