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Br0t
Anmeldungsdatum: 23.11.2010
Beiträge: 28
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 Br0t Verfasst am: 21. Apr 2014 19:36 Titel: Asymptotisches Verhalten einer Funktion |
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Hallo Physikerboard,
ich habe mich gefragt ob es möglich ist einen näherungsweisen Ausdruck für die Nullstellen der folgenden Funktion zu finden. Es geht um die radiale Verteilung der azimuthalen Geschwindigkeit in einem Hurrikan, positive Geschwindigkeit bedeutet zyklonisch. Der Punkt an dem die Geschwindigkeit null wird ist der Punkt wo das Modell unphysikalisch wird. Deshalb wäre es hilfreich wenn es eine Möglichkeit gäbe, einen analytischen Ausdruck für diesen Punkt zu finden. Die Funktion lautet wie folgt
=a\sqrt{\frac{2\lambda^2}{x^2} \left( 1-exp\left(-\frac{x^2}{2\lambda^2}\right) \right) -exp \left(-\frac{x^2}{2\lambda^2}\right)}-1/2fx)
Die Konstanten sind:
 , die Längenskala  und  , ist der Radius.
Die Funktion konvergiert für  gegen  , für  divergiert sie gegen  . Da f sehr klein ist liegt die Nullstelle bei  . Deshalb sehe ich keinen Weg, mit einer Taylor-Entwicklung Fortschritte zu machen. Vielleicht ist ja jemand kreativ und kann mir weiterhelfen. Vielleicht desillusioniert man mich ja auch. Obwohl ich gerade als einzige Möglichkeit sehe, etwas in dieser Art zu tun (http://www.youtube.com/watch?v=LYNOGk3ZjFM).
Mit freundlichen Grüßen
Br0t |
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asasasa
Gast
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| asasasa Verfasst am: 21. Apr 2014 19:58 Titel: Re: Asymptotisches Verhalten einer Funktion |
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Das kann man auch umdrehen
Also wenn du das ganze gleich Null gesetzt, Terme auf die andere Seite gebracht und quadriert hast, kannst du durch den exponentiellen Term teilen, dann hast du eine kleine Zahl im Exponent.
Ich würde mir aber die Funktion aber erstmal Plotten und grafisch nachschauen, wo da die Nullstellen sind. |
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Br0t
Anmeldungsdatum: 23.11.2010
Beiträge: 28
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| Br0t Verfasst am: 21. Apr 2014 23:50 Titel: |
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Hallo asasasa,
danke für deine schnelle Antwort. Einen Plot habe ich schon gemacht. Ich kann natürlich die Nullstelle für eine Parameter-Konfiguration einfach durch Ablesen bestimmen. Aber einerseits hieße das ich müsste das für alle Werte der Parameter jedes mal neu machen und außerdem wäre es gut die Abhängigkeit der Größe des Bereichs der Modellgültigkeit von den Parametern zumindest in erster Ordnung zu kennen.
Ich glaube dein Tipp funktioniert leider nicht so einfach; wenn man =0 setzt, die Wurzel alleine auf eine Seite bringt und quadriert, dann sorgt das Teilen durch den Gauss-artigen Faktor ja nur für einen Vorzeichenwechsel im Exponenten. Das mit dem Herumdrehen des Exponenten geht m.E. nicht.
Eine andere Idee die ich hatte ist, die Gleichung, die man zur Nullstellenbestimmung zu lösen hat, zu verallgemeinern, indem man vor dem Term mit den Exponentialfunktionen einen Faktor  einführt (also im Prinzip vor der Wurzel ein  vor dem quadrieren). Von diesem modifizierten Problem kommt man zum Ausgangsproblem offensichtlich durch Setzen von  . Solche Späße treibt Prof. Bender in der Einführungsvorlesung zu einer Vorlesung über Asymptotische Entwicklungen in dem Video, das ich in meinem ersten Post erwähnt habe. Dann macht den folgenden Lösungsansatz für die Nullstelle  in Form einer Störungsreihe:
Das Verfahren bietet sich an, weil man sofort sieht das a verschwinden muss. Leider funktioniert diese Strategie hier scheinbar nicht. Ich habe einmal bis zur 3. Ordnung und einmal bis zur 4. Ordnung in gerechnet und finde in beiden Fällen, dass alle bestimmbaren Koeffizienten verschwinden. Das ist unbefriedigend.
Ich habe noch die Idee gehabt, die Substitution
 \equiv exp \left(-\frac{x^2}{2\lambda^2} \right))
zu machen, dann ist u nämlich eine kleine Größe in der man Taylor-entwickeln könnte, aber dann bekommt man leider einen Logarithmus im Nenner und den kann man ja nicht Taylor-entwickeln in 0, denn er hat dort in der komplexen Ebene ja einen Verzweigungspunkt.
Eine Idee, die mir gerade gekommen ist, ist, einfach die Nullstelle numerisch zu bestimmen für verschiedene Werte des einzigen wirklich freien Parameters  , nämlich des Vorfaktors vor der Wurzel und dann eine Funktion zu fitten. |
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adsadads
Gast
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| adsadads Verfasst am: 22. Apr 2014 00:26 Titel: |
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Stimmt, wie bin ich nur auf die blöde Idee gekommen. |
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Br0t
Anmeldungsdatum: 23.11.2010
Beiträge: 28
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| Br0t Verfasst am: 22. Apr 2014 01:00 Titel: |
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Numerisch ergibt sich ein klar linearer Zusammenhang zwischen  und der Konstanten im relevanten Bereich von  . Das wird fürs Erste reichen, analytische Methoden wären nett, aber nicht unbedingt notwendig. wenn jemand eine Lösung hat, die den linearen Zusammenhang reproduzieren kann, wäre ich natürlich dankbar, wenn er sie posten könnte. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18194
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| TomS Verfasst am: 22. Apr 2014 09:37 Titel: |
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Die Funktion sieht so kompliziert aus, dass ich zu einem numerischen Verfahren raten würde.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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