fallender Regentropfen - DGL

Saturn5 · Gast

Meine Frage:
Hallo Forum

Ich habe ein Aufgaben, bei der ich ein paar Probleme habe.
Es geht um einen fallenden Regentropfen. Dieser hat eine anfängliche Masse von

. Der Regentropfen fällt zur Erde, und bindet dabei weitere Regentrofen, mit der Rate

.

Ich soll hier v(t) und auch a(t) bestimmen.

Als Tipp steht noch, dass man mit der Kettenregel v(t) als v(m) ausdrücken soll.

Ich habe schon einige Foreneinträge zum Regentropfen gefunden, aber ich kann es nicht so ganz nachvollziehen.

Meine Ideen:
Was ich gleich zu Beginn schon nicht verstehe, wenn ich v(t) bestimmen soll, wieso soll ich v(t) dann als v(m) ausdrücken?

Vom Luftwiderstand steht in der Aufgabenstellung nichts, und

ist auch nicht weiter definiert.

Also ich bin bis jetzt soweit:

Dann hieß es, weil sowohl m, als auch v nicht konstant sind, muss man die Produktregel anwenden:

Das beschreibt dann die Gegenkraft durch die Aufgenommene Masse. Dieser wirkt dann die Gewichtskraft entgegen, sodass gilt:

Ist das soweit in Ordnung? Was ich nicht verstehe. Die Masse ist ja nicht konstant, wie drücke ich das in der Gleichung aus?

Hier könnte ich ja das

durch die Rate aus der Angabe ersetzen?
Aber wie gesagt, ich verstehe das nicht, wie sich die variable Masse hier bemerkbar macht, und wie ich mit der dann rechnen kann?

Also auf der linken Seite könnte ich das noch nachvollziehen, dort ist ja die veränderliche Masse als Differential festgehalten. Und das m bei dem Differential der Geschwindigkeit, wäre dann mein

?

Auf der rechten Seite genauso, weil die Erdbeschleunigung unabhängig von der Masse ist?

Danke für die Hilfe

Viele Grüße

Namenloser324 · Gast

Du löst dann eben die erhaltene DGL wie üblich (hast sie übrigens richtig aufgestellt).
Setze in der Gleichung m = m(t) sowie dm/dt = dm(t)/dt und löse die DGL, fertig!

Threadersteller · Gast

Danke für die Antwort. Ich werde das mal versuchen.

Und wenn ich eine Differentialgleichung für die Beschleunigung will, dann leite ich einfach die ganze Gleichung einmal ab? Auch die rechte Seite?

Namenloser324 · Gast

dv/dt ist doch die Beschleunigung.
dm/dt ist gemäß vorgabe ohnehin bekannt.
Daher stellt sich nur die Frage nach der Beschleunigung.

Threadersteller · Gast

Also ich hatte jetzt nach den ganzen Mathematikübungszettel wieder Zeit für Experimentalphysik.

Also die DGL:

für dm/dt setzte ich jetzt die Angabe ein, also erhalte ich:

Wir dürfen diese DGL mit Mathematica lösen.

Jetzt setze ich für alle m=m(t)

Als Lösung habe ich folgendes erhalten (wär toll, wenn das jemand bestätigen könnte):

Aber ich verstehe jetzt nicht, wie dieses m(t) funktioniert. In der Angabe steht noch folgendes:

Berechnen Sie die Integrationskonstante als
Funktion von m0 und setzen Sie im letzten Schritt m0 = 0

Was meinen die damit?

Danke für die Hilfe

Namenloser324 · Gast

Wenn ich das richtige verstehe:

Du hast dm/dt gegeben.
Wenn du weiter m als Funktion von s(t) betrachtest und dann also die Ableitung von m(s(t)) bildest, erhälst du:
dm(s(t))/dt = dm(s)/ds *ds/dt = dm(s)/ds * v
Eingesetzt in die DGL für m(t) bekommst du nun eine DGL für m(s).
Diese kannst du lösen.
Die setzt du am Ende wo du gerade stehst ein.[/latex]

Saturn5 · Gast

In der Angabe steht, dass der Regentropfen eine anfängliche Masse von

hat. Mit der Zeit bindet er weitere Tropfen mit der Rate

.

Das kann ich jetzt nicht einfach einsetzen?

Die Angabe lautet weiter:

Stellen Sie die Bewegungsgleichung v(t) des Regentropfens auf. Mit welcher Beschleunigung fällt er zu Boden?

Als Hinweis steht noch, man soll mit der Kettenregel v(t) durch v(m) ersetzen.

Ich bin jetzt irgendwie verwirrt, und weiß nicht genau, wie meine DGL aussehen soll.

Namenloser324 · Gast

Du kannst die DGL für m(t) in Abhängigkeit vom Weg s lösen.
Denn die Kettenregel führt dich auf:

dm(s(t))/dt = dm(s)/ds * ds/dt = dm(s)/ds * v

D.h. wenn du dm(s)/ds = lambda *m(s) löst, löst m(s(t)) die obige DGL.
Die Lösung der DGL für m(t) setzt du dann unten ein.
Dann erhälst du auch eine Abhängigkeit von m0.

Namenloser324 · Gast

Threadersteller · Gast

Kannst du mir vielleicht erklären, wie ich solche DGL gelöst bekomme, wenn da m(s) auftaucht?

Weil m(s) ist ja nicht definiert, und ich bräuchte ja die Anfangsbedingung m(0)=0, damit ich die Integrationskonstante bestimmen kann.

Aber in m(s) ist ja nichts enthalten?

Wenn ich die Differentialgleichung gelöst bekommen würde, dann bekomme ich einen Ausdruck m(s) = ...

Wie würde ich den dann in folgende DGL packen können?

Dort würde ich dann als Lösung m(t) enthalten. Und das würde ich dann in meine erste DGL einsetzen?

Wie gesagt, ich weiß nicht, wie ich da rechnen kann, wenn m(s), m(t),... auftauchen.

Da bräuchte ich noch Hilfe

Namenloser324 · Gast

Wie du die Variable benennst (ob t oder s) ist mathematisch völlig egal.
m(s) oder m(t) ist mathematisch für die Lösung nicht relevant. Die physikalische Deutung ist eine andere, aber der Lösungsweg exakt identisch. So wie dein Onkel immernoch dein Onkel ist auch wenn du ihn vielleicht ab morgen Uwe statt Wolfgang nennst.

Die DGL für m(s) ist nicht linear, der Exponentialansatz fällt hier schon mal raus. Probier mal den Ansatz:
m(s) = n*s^r + m0, wobei n eine konstante ist.
Gibt es ein r so dass die DGL aufgeht? (wenn ich mich nicht verrechnet habe gibt es ein solches).

Offensichtlich erfüllt dieses m(s) die Anfangsbedingung m(t = 0) = m0. Denn s = 0 darfst du natürlich bei t = 0 ansetzen.

Wenn du die DGL gelöst hast setzt du anschließend m(s(t)) in die Kraftgleichung ein (dp/dt = F).

Die Idee zur Lösung war nur folgende:
Statt m direkt als Funktion von t zu interpretieren sagen wir:
Wir setzen m indirekt in Abhängigkeit von t und sagen, dass m hier direkt von dem Weg s abhängen soll.
Die Abhängigkeit des Weges s von der Zeit t kennen wir dadurch natürlich noch nicht. Aber da wir nun m(s(t)) kennen, können wir die Lösung in die Gleichung F = dp/dt einsetzen und erhalten eine entkoppelte DGL für s(t) zweiter Ordnung.