Wegintegral und Stokes am Bsp. prüfen?

Sunny94 · Anmeldungsdatum: 01.03.2013 Beiträge: 158

Hallo ihr Lieben,

ich möchte den Stoke'schen Satz zum besseren Verständnis an folgendes Beispiel prüfen:

Satz von Stokes:

Der feste, geschlossene Weg

geht von C1 bis C3:

mit a=(2,0,0) und b=(-1,3,0) und c=(-1,-3,0) und dem

Meine Rechnung für C1:

Dann:

Analog für C2 und C3:
C2: I=-18c und C3: I=3b+9c ==> I_Gesamt = 6b
Es muss aber eigentlich 0 herauskommen. Kann die 0 jemand bestätigen oder stimmt mein Ergebnis I_Gesamt?

Wie muss ich für die rechte Seite vorgehen? Rotation habe ich ausgerechnet, jedoch weiß ich dann nicht weiter…

Danke und Grüße
Sunny

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Warum du der Meinung bist, dass 0 herauskommen sollte kann ich nicht nachvollziehen. Das wäre nur zwingend falls dein Vektorfeld wirbelfrei gewählt wäre und damit die rechte Seite = 0. Solange du auf beiden Seiten das gleiche Ergebnis erhältst ist alles in Ordnung.

Für die rechte Seite, überlegst du dir eine beliebige Oberfläche (mit entsprechenden Randvorgaben - am einfachst ist hier wohl das Dreieck, welches durch die drei Punkte aufgespannt wurde), welche du geeignet parametrisierst, berechnest des entsprechende Oberflächenelement und integrierst...

Sunny94 · Anmeldungsdatum: 01.03.2013 Beiträge: 158

Ich komme deshalb auf 0, da wir zu 4 sind und nur ich nicht auf 0 komme…
Bei den anderen 3en werden beide Seiten 0.

Wie genau soll ich das Dreieck parametrisieren? Das Dreieck/die drei Punkte müssen doch in den Integralgrenzen auftauchen, oder?
___
Es kommt tatsächlich für das Wegintegral 0 heraus. Ich habe einen Fehler beim Weg C2 gemacht: Vektor b falsch abgeschrieben.
C2: -6b-18c ist richtig!

Es bleibt nun nur noch die Frage, wie genau muss ich die rechte Seite berechnen?

Sunny94 · Anmeldungsdatum: 01.03.2013 Beiträge: 158

Hi,

ich habe jetzt noch mal drüber nachgedacht und sehe jetzt manches klarer:
Ich muss nun ein Oberflächenintegral lösen, dass im Integranden die rot(A) hat.

Dazu müsste ich meine Dreieck-Fläche (gegeben durch die Vektoren a, b, c) einbasteln.

Dies geht über die Grenzen des Integrals, oder? Das heißt, ich muss mit dem Integral (Doppelintegral = 4 Grenzen) die Gesamte Fläche abfahren.

Und genau da liegt das Problem:
1. Wie müssen die Grenzen aussehen? Zeichnung half mir nichts…:-(
2. Wie sieht mein dF aus? Ist es das hier: dF = dx dy ê_z?

Hoffe auf eure Hilfe…

Grüße
Sunny
PS: Vektoren (u. Vektorfelder) habe ich jetzt einfach mal dick geschrieben.

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

So, habe es nun mal selber durch gerechnet. Bei dem Linienintegral kommt tatsächlich als Ergebnis 0 heraus. Deinen Fehler hast du ja bereits selber gefunden. Mit den einzelnen Zwischenergebnisse für die Teilstrecken bin ich auch einverstanden.

Bei der Rotation hast du in deinem letzten Beitrag den Einheitsvektor in z-Richtung vergessen.

Zum Oberflächenintegral: Ja, du kannst dein vektorielles Oberflächenelement als

schreiben. Wobei der Einheitsnormalenvektor passenden zum Umlaufsinn der Linienintegral zu wählen war/ist.

Eine Möglichkeit für die Integralgrenzen wäre:

Entsprechend müsstest du zuerst über y, dann über x integrieren. Du kannst dir ja mal zur Übung überlegen, wie du die Grenzen zu wählen hättest, wenn du zuerst über x und dann über y integrieren wolltest.

Das Oberflächen Integral liefert, nach meiner Rechnung, ebenfalls eine Null und damit wäre der Satz von Stokes für dieses Beispiel verifiziert.

Übrigens, dass hier auf beiden Seiten Null herauskommt, ist Zufall(?!). Verschiebst du den Punkt a z.B. auf a=(3,0,0), erhältst du auf beiden Seiten

. Das Einzige, was man mit Blick auf die Rotation sicher sagen kann, ist, dass kein geschlossenes Linienintegral von c abhängig sein darf.

Sunny94 · Anmeldungsdatum: 01.03.2013 Beiträge: 158

Vielen Dank erst mal für die gute Antwort. Leider verstehe ich 2,5 Dinge noch nicht:

zu dem Oberflächenelement:
Ich bin ja von C1 über C2 nach C3 gegangen. Was meinst du aber genau mit "Zum Umlaufsinn passenden Einheitsvektor wählen"? Ich dachte, ich Nehme ê_z, da die Vektoren a, b, c immer 0 in der z-Komponente haben.

Zu den Integralgrenzen:
1. Danke, dass du die Grenzen mir angegeben hast. Jedoch frage ich mich, wie du darauf kommst? Welche Überlegung muss ich da tun?
2. Ich weiß, wie ich mit solchen abhängigen Grenzen umzugehen habe. Aber ich weiß nicht, wie ich die Grenzen ändern sollte, wenn ich erst x und dann y integrieren will?

Danke und Grüße
Sunny

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Zum Einheitsnormalenvektor (ENV): Natürlich liegt deine Oberfläche (Dreieck) in der x-y-Ebene und damit ist der ENV bis auf sein Vorzeichen auf

festgelegt. Warum also

und nicht

? Beide Vektoren sind normiert und stehen normal auf der Oberfläche. Die Antwort ist, dass der Umlaufsinn deines Linienintegral, das Vorzeichen des ENV festlegt und umgekehrt. Regel: Wenn du auf die Öberflache schaust und dein geschlossenes Linienintegral umläuft diese mathematisch postiv (= gegen den Uhrzeigersinn), dann muss der ENV auf dich zeigen. Das ist ganz analog zum Satz von Gauß, bei dem du den ENV immer so zu wählen hast, dass er nach "außen" zeigt - nur bei einer nicht geschlossenen Oberfläche gibt es kein außen.

Zu den Integralgrenzen: Nehmen wir an, du willst zuerst über y, dann über x integrieren. Hier musst du dich von Außen nach Innen vorarbeiten. Zunächst benötigst du die äußersten x-Koordinaten vom Dreieck, hier -1 und 2. Diese bilden die Grenzen für deine äußerste Integration. Dann überlegst du dir, zu einem festen x aus diesem Intervall, welche y-Werte innerhalb des Dreiecks liegen. In diesem konkreten Fall wird das Dreieck durch die Geraden y=x-2 unten und y=2-x oben begrenzt und entsprechend gehören alle Punkt mit fester x-Koordinaten aus dem Intervall [-1,2] zum Dreieck, wenn ihre y-Koordinaten im Intervall [x-2,2-x] liegt.

Wie also müssten mit einer analogen Überlegung die Grenzen gewählt werden, wenn du zuerst über x und dann über y integrieren willst?

Sunny94 · Anmeldungsdatum: 01.03.2013 Beiträge: 158

HI,
danke für die ausführliche Erklärung. Das war mir so nie erklärt worden.

ENV habe ich verstanden.
Aber wenn ich mit deiner geschilderten Überlegung herangehe, müssten für "erst y, dann x integrieren" doch dann die Grenzen für x -1 und 3 sein und nicht, wie in deinem Post von 12:00, -1 und 2?

Wenn ich erst x und dann y integrieren möchte, dann:

Äußerste Punkte in y-Richtung sind 3 und -3. Das sind die y-Grenzen.

für x gelten dann doch die gleichen Grenzen, wie vorher für y, oder?
Die Geraden veränderten sich ja nicht…

Danke und Grüße
Sunny

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

war korrekt. Habe ich nun auch in meinem letzten Post korrigiert.

Ich bin einverstanden mit deinen Grenzen für y. Die Grenzen für x, müssen jetzt von y abhängig sein. Die untere Grenze für x ist die x-Koordinate der linken Begrenzung des Dreiecks als Funktionen der aktuellen y-Koordinate, die obere Grenze entsprechend die rechte Grenze des Dreiecks. Eine Skizze ist hierfür übrigens essentiell.

Die untere Integrationsgrenze für x wäre (hier ausnahmsweise nicht von y abhängig) -1.

Sunny94 · Anmeldungsdatum: 01.03.2013 Beiträge: 158

Ah, ok. Dann ist es -1 und 2…

Gut, wenn meine y-Grenzen für den zweiten Fall richtig sind.
Ich habe das Dreieck gezeichnet (in ein 2-D Koordinatensystem).
Wenn ich nun von der unteren Grenze = -1 für x beginne:
Dann durchschreite ich das Dreieck von links nach rechts bis zu x=2, eben von der längsten Seite beginnend.

Leider komme ich aber nicht auf den Zusammenhang für die obere Grenze. Die Obere Grenze muss ja beide Hypotenusen enthalten…?

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Sunny94 · Anmeldungsdatum: 01.03.2013 Beiträge: 158

Kann ich nicht einfach die beiden Geraden-Gleichungen nach x umstellen?

Also:
y = 2 -x => x = - (y-2)
y = -(2-x) => x = y-2

An die Betragsfunktion dachte ich auch kurz, jedoch kam ich nicht mehr drauf, wie ich sie drehe…

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Ja, du kannst die Geradengleichungen umstellen. Du hast aber beim Umstellen der zweite einen Fehler gemacht.

Tipp: Spielt es für die rechte Grenze des Dreiecks eine Rolle, ob y negativ oder positiv ist?

Sunny94 · Anmeldungsdatum: 01.03.2013 Beiträge: 158

Jup, du hast recht. da steht natürlich x=y+2. Plus und Minus sind einfach zu dicht auf meiner Tastatur... Hammer

Gut, dann sind die umgestellten Geraden-Gleichungen meine Grenzen für x. y geht von -3 bis 3. Das integral an sich ändert sich zu vorher nicht.

Interesse halber: Wie würden die Grenzen/Integrale mit der Betragsfunktion bzw. mit Fallunterscheidungen aussehen, wenn ich "erst x und dann y integriere"?

Wie meinst du den Tipp? Rechte Grenze des Dreiecks hat keine y-Koordinate. Also -0=+0 in dem Fall.

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Sunny94 · Anmeldungsdatum: 01.03.2013 Beiträge: 158

Wunderbar, vielen Dank. Du hast mir wirklich richtig großartig geholfen…

Grüße
Sunny