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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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 Jayk Verfasst am: 01. Sep 2013 13:14 Titel: Richtungsableitung |
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Hallo!
Mir sind in letzter Zeit widersprüchliche Interpretation von Ausdrücken wie z.B.  untergekommen. Im Landau-Lifschitz Bd. 1 gibt es eine Fußnote, in der steht: "Unter der Ableitung einer skalaren Größe nach einem Vektor verstehen wir einen Vektor, dessen Komponenten gleich den Ableitungen dieser Größe nach dem entsprechenden Komponenten des Vektors sind." (S. 6) Demgegenüber steht im Bronstein folgende Definition für die Richtungsableitung:
 = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{U (\vec r + \Delta t \vec n) - U(\vec r )}{\Delta t})
und folgerichtig }{\partial n} = \vec n \cdot \operatorname{grad} U) , während nach der Definition in Landaus Buch ja gelten würde
Was ist denn jetzt gebräuchlicher?
PS: In "Mathematical Methods of Classical Mechanics" (Vladimir I. Arnol'd) wird es wie in Landaus Buch verwendet, also z.B.  . In nicht-russischen Büchern scheint diese Schreibweise anscheinend so gut wie gar nicht verwendet zu werden, weil man lieber Nabla bzw. "grad" schreibt...
Zuletzt bearbeitet von Jayk am 01. Sep 2013 15:12, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18206
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 01. Sep 2013 14:33 Titel: |
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Danke TomS! Allerdings ging es mir jetzt auch nicht direkt um die Richtungsableitung, sondern viel mehr darum, wie man Ausdrücke wie  interpretieren muss und vor allem, wie es aufgefasst wird, wenn man sie verwendet. Man kann ja keine Formeln als Titel wählen, "Richtungsableitung" war vielleicht etwas schlecht gewählt.
Im Artikel unter "In the continuum mechanics of solids"->"Derivatives of scalar valued functions of vectors" steht ja
| Zitat: | Let ) be a real valued function of the vector  . Then the derivative of with respect to (or at ) in the direction  is defined as
[\vec{u}] = \left[\frac{d }{d \alpha}~f(\vec{v} + \alpha~\vec{u})\right]_{\alpha = 0} ,)
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was ja eigentlich eher der Fußnote im Landau-Lifschitz entspricht. TomS, an was würdest du denken, wenn du liest?
| Zitat: | Ich kenne  |
Das wirft schon wieder die nächste Frage auf. Im Wikipedia-Artikel wird das ja genau so verwendet. Ist das auch das, was allgemein darunter verstanden wird? Ich habe z.B. mal gelesen  ) , deswegen dachte ich, dass Leute einfach den Index r an den Nabla-Operator hängen, um hervorzuheben, dass in den Komponenten auch wirklich nach x,y,z und nicht nach irgendwelchen Komponenten von irgendeinem anderen Vektor abgeleitet wird (ich weiß leider nicht mehr, in welchem Buch das war, aber das zog sich konsequent durch das Buch, also man hat praktisch kein Nabla ohne Index gefunden). |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8585
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| jh8979 Verfasst am: 01. Sep 2013 14:36 Titel: |
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Es gibt natürlich unterschiedlichste Schreibweisen und Notationen. Aber normalerweise bedeutet es das, was es nach Dir im Landau heisst:
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 01. Sep 2013 15:43 Titel: |
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Danke, jh8979.
TomS, entschuldigung, mir war gar nicht aufgefallen, dass du noch den Artikel in Wolfram MathWorld verlinkt hattest. Die Schreibweise dort deckt sich ja mit der im Wikipedia-Artikel. |
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sdadsds
Gast
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| sdadsds Verfasst am: 01. Sep 2013 19:04 Titel: |
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Gradient, Rotation etc sind Begriffe der "Vektoranalysis", wenn man diese jedoch verlässt und das Ganze verallgemeinert, kommen solche Definitionen, wie Ableitung nach einem Vektor.
Man nutzt aber in Anfängerliteratur gern Gradient, weil man damit automatisch eine Reihe von physikalischen Aussagen(z.B. über die Richtung) verbindet. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 01. Sep 2013 20:00 Titel: |
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| sdadsds hat Folgendes geschrieben: | | Gradient, Rotation etc sind Begriffe der "Vektoranalysis", wenn man diese jedoch verlässt und das Ganze verallgemeinert, kommen solche Definitionen, wie Ableitung nach einem Vektor. |
Naja, die Stelle, wo das im Landau geschrieben wurde, war bei der Herleitung des ersten Newtonschen Gesetzes aus dem Hamiltonschen Prinzip:  . Das hat ja jetzt mit Vektoranalysis nicht so unheimlich viel zu tun. Die Stelle, die ich dem Bronstein entnommen habe, war gerade zur Definition des Gradienten am Anfang des Vektoranalysis-Kapitels.
PS: Da fällt mir auf, dass nur die eine Interpretation die platzsparende Schreibweise ^\mathbf{T}) zulässt. |
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