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Frage zu Wärmeleitung
Gast
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 Frage zu Wärmeleitung Verfasst am: 25. Jul 2013 18:22 Titel: Wärmeleitung - Zeit bis sich bestimmte Temperatur einstellt |
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Meine Frage:
Hallo, folgende Aufgabe soll gelöst werden:
Wie lange dauert es, bis sich die Temperatur in einer Tiefe von 5 m um 3 K erhöht, wenn ich an der Oberfläche die Temperatur um 15 K erhöhe? Die Temperaturleitfähigkeit beträgt:
Meine Ideen:
Die Wärmeleitungsgleichung lautet:
 = \kappa \frac{\partial ²T}{\partial z²} (z,t) )
=15K)
=3K)
Wie genau gehe ich jetzt vor?
Kann ich einfach:
setzen?
bzw.
usw.
Ich kann mir nicht so richtig vorstellen, wie ich jetzt relativ unkompliziert ohne Separationsansatz usw. vorgehe.
Das muss doch eigentlich ganz einfach gehen, oder? Ich stehe echt auf dem Schlauch ... Danke für jede Hilfe |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 25. Jul 2013 19:12 Titel: |
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Du kannst auch einfach die Lösung für die Waermeleitungsgleichung nachschlagen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Wärmeleitungsgleichung#L.C3.B6sungsformel_f.C3.BCr_das_homogene_Cauchyproblem
Jetzt musst Du nur noch die Anfangsbedingung richtig formulieren und ein Integral lösen (von dem ein Teil trivial ist). |
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Frage zu Wärmeleitung
Gast
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| Frage zu Wärmeleitung Verfasst am: 25. Jul 2013 20:00 Titel: |
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Vielen Dank. Ok, es ist also doch Couchy.
also:
mein
=15 [\latex]
<br />
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richtig?
<br />
<br />
Und ich muss jetzt nur das Integral:
<br />
<br />
[latex] T(x,t) = \frac{1}{4 \pi \kappa t} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \! 15\cdot e^{-\frac{(x-y)²}{4 \kappa t} } \, \dd y )
lösen. Dann
 = 3 )
setzten und nach t auflösen? |
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Frage zu Wärmeleitung
Gast
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| Frage zu Wärmeleitung Verfasst am: 25. Jul 2013 20:01 Titel: |
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Im Formeleditor hat er es ordentlich angezeigt, dann eben hier der Code:
T(x,t) = \frac{1}{4 \pi \kappa t} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \! 15\cdot e^{-\frac{(x-y)²}{4 \kappa t} } \, \dd y |
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Frage zu Wärmeleitung
Gast
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| Frage zu Wärmeleitung Verfasst am: 25. Jul 2013 20:03 Titel: |
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Achso, das hatte ich nicht reinkopiert:
Anfangswert:
=15 ) |
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Frage zu Wärmeleitung
Gast
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| Frage zu Wärmeleitung Verfasst am: 25. Jul 2013 20:27 Titel: |
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Aber wie bekomme ich jetzt den Ausdruck:
 = \frac{1}{\sqrt{4 \pi \kappa t} } \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \! 15\cdot e^{-\frac{(x-y)²}{4 \kappa t} } \, \dd y )
gelöst? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 25. Jul 2013 20:42 Titel: |
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Oh, sorry, das ist doch etwas komplizierter als ich auf den ersten Blick annahm. Du betrachtest ja nicht den ganzen Raum, sondern hast einen Rand (die Oberfläche), an dem die Temperatur konstant gehalten wird (nehm ich mal an). Das erfordert etwas mehr Aufwand, ist aber auch ein Standardproblem, siehe Seite 48/49:
http://www.math.ubc.ca/~gustaf/M401/m401alltime.pdf
Du musst jetzt nur die Funktion u dort noch geeignet mit Deinem u in Verbindung setzen. Zum Lösen des Integrals (was ähnlich aussieht wie Deins): http://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfunktion
Nach der gefragten Zeit wirst Du vermutlich numerisch lösen müssen, sobald Du u hast (oder eine geeignete Approximation durchführen). Ich weiss nicht ob es einen einfacheren Weg gibt für diese Aufgabe, aber dieser hier ist zumindest "einfach" geradeaus aufs Problem zu. |
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Frage zu Wärmeleitung
Gast
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| Frage zu Wärmeleitung Verfasst am: 25. Jul 2013 21:33 Titel: |
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Dankeschön, ich werde es mal versuchen.
Im Prinzip wurde die Aufgabe gewählt, um ein Verständnis für Wärmeleitungsprozesse aufzubauen (im Rahmen einer Lehrveranstaltung zu Geothermie) Ich glaube deshalb nicht, dass da Numerik betrieben wird.
Ich habe eher so das Gefühl, die Lösung bzw. der Lösungsweg wird relativ banal sein.
Im Prinzip, soll es darum gehen zu verstehen, dass die zeitliche Ableitung der Temperatur gleich der "Wärmeausbreitungsgeschwindigkeit" mal der zweiten räumlichen Ableitung der Temperatur ist.
Trotzdem vielen Dank für deine Unterstützung. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 25. Jul 2013 22:05 Titel: |
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Das einfachste ist natürlich Dimensionsanalyse mit etwas logischem Nachdenken: die Zeit muss Proportional zur gewünschten Änderung in 5m Tiefe sein (hier: 3K), und invers proportional zur Temperatirdifferenz die angelegt wird (hier 15K). Also:
^2}{\kappa} \sim \frac{3K}{15K} \frac{(5m)^2}{1.25 mm^2/s} \sim 4 \cdot 10^6 s)
Wenn ich mich nicht verrechnet hab, gibt die exakte Lösung (berechnet nach dem verlinkten pdf oben): 
Also gar nicht so schlecht. |
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Frage zu Wärmeleitung
Gast
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| Frage zu Wärmeleitung Verfasst am: 25. Jul 2013 22:22 Titel: |
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Vielen Dank, so in der Art, war die Aufgabe wahrscheinlich zu verstehen.
Bei dem Integral habe ich mich verzettelt. Wird ziemlich hässlich und mir fehlt wahrscheinlich mittlerweile die Übung  vielleicht versuche ich es morgen nochmal
Geht das überhaupt analytisch zu lösen? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 25. Jul 2013 22:36 Titel: |
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| Frage zu Wärmeleitung hat Folgendes geschrieben: |
Geht das überhaupt analytisch zu lösen? |
Na ja, es gibt einen eigenen Namen fuer die Funktion, die das Integral beschreibt: http://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfunktion
Inwiefern das eine analytische Loesung ist, ist sicher Ansichtssache. |
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