QM harmonischer Oszillator(Eigenfunktionen,Leiteroperatoren)

The_Nati · Anmeldungsdatum: 29.10.2012 Beiträge: 34

Hallo ihr Lieben,
Ich bräuchte mal eure Hilfe bei dem Beweis der Orthonormalität der Eingenfunktion des harmonischen qunatenmechanischen Oszillator.

Diese sind erstmal definiert als:

So jetzt soll ich zeigen:

Wobei wir noch die Leiteroperatoren

mit :

So dann hab ich für das Skalarprodukt:

So das kann ich ja in drei verschiedenen Fällen betrachten:

So und jetzt komm ich im ersten und dritten Fall nicht weiter.
Für den ersten Fall müsste das Skalarprodukt ja 1 sein und für den dritten Fall 0.

Nur wie komm ich darauf? grübelnd

Über die Integraldefinition des Skalarprodukts

komme ich da irgendwie nicht weiter...

Könnte mir jemande weiter helfen? Hilfe

Vielen Dank schon mal im Vorraus!

LG Tanzen

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8585

1 musst Du explizit nachrechnen, dass Dein Vakuumzustand korrekt normiert ist.

3 geht wie 2, nur dass dort kein a auf ein Vakuum nach rechts wirkt, sondern a^dagger auf ein Vakuum nach links.

The_Nati · Anmeldungsdatum: 29.10.2012 Beiträge: 34

Vielen Dank für deine Antwort smile

Okay mit explizit ausrechnen meinst du doch das Berechnen über das Integral, richtig?

So laut wolfram alpha krieg ich dann als Ergebnis:

Da mein

der Oszillatorlänge enspricht und somit positv ist krieg ich also

raus.
Das ist ja schon mal schön smile

so nun zu 3:

Stimmt das so? smile

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8585

Bei 2 und 3 musst Du etwas vorsichtiger sein. Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren verschwinden nicht einfach/ "kürzen" sich nicht einfach gegeneinander weg. Für festes n sollte man es vermutlich per Induktion nach m<n machen und dann feststellen, dass die Fälle m<n und m>n durch komplexe Konjugation miteinander verbunden sind.

PS: Viel einfacher geht es, wenn man einfach benutzt/zeigt, dass Eigenzustände zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal zueinander sind (hier z.B. Energieeigenwerte).

The_Nati · Anmeldungsdatum: 29.10.2012 Beiträge: 34

mmh wie war denn nochmal der Zusammenhang zwischen Energieeigenwerten und Leiteroperatoren grübelnd

Ich meine klar sie herhöhen/ herniedrigen die Energie^^
Aber wie hängt das Formel mäßig nochmal zusammen?

Mir fällt jetzt nur ein, dass sich der Hamilton-operator durch die Leiteroperatoren darstellen lässt mit:

Wobei

der Operator der Quantenzahl war? (oder irgendwie sowas grübelnd

...)

und da

Das steht so im Skript aber irgendwie wunder ich mich grad warum aus dem Operator aufeinmal eine Zahl wird grübelnd

So das sind ja die Energieeigenwerte richtig?
Nur wie hilft mir das für die Bestimmung der Orthonormalität weiter?
Wenn ich dich richtig verstehe, dann muss ich ja jetzt irgendwie eine Beziehung zwischen den jeweiligen

zu den Energieeingewerten finden, sodass ich im Skalarprodukt dann letztendlich die Energieeigenwerte stehen habe, und dann damit argumentiren kann, dass diese orthogonal sind, richtig?
Magst du mir mal nen Tipp geben wie ich hier weiter komme? smile

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8585

Schau Dir doch mal das Skalarprodukt hier an:

Diese Methode gilt übrigens ganz allgemein für jeden Operator mit Eigenwerten : Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind immer orthogonal zueinander. (Deswegen kommt dieser -sehr einfache- Beweis in jeder LA-Vorlesung dran.)