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akapuma
Anmeldungsdatum: 23.04.2013
Beiträge: 2
Wohnort: Marienheide
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 akapuma Verfasst am: 23. Apr 2013 10:51 Titel: "Flächige" Wärmeausbreitung in einer Platte |
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Hallo,
ich würde gerne folgendes berechnen:
Ich habe eine thermisch leitfähige Platte. Diese ist dünn, und unendlich groß. In der Mitte der Platte befindet sich eine punktförmige Wärmequelle, die eine konstante Wärmeleistung (xx Watt) liefert.
Die Kühlung der Platte durch Strahlung oder Konvektion soll vernachlässigt werden.
Würde sich nun ein Gleichgewicht einstellen? Aufgrund der unendlichen Größe der Platte sagt mein Bauchgefühl ganz klar "ja".
Frage: wieviel wird es im Abstand "a" von der Wärmequelle wärmer?
Ich habe es jetzt so probiert:
Allgemeine Wärmeleitgleichung:
)
Umgestellt nach der Temperaturdifferenz:
Hierbei ist "A" die Fläche und "d" die Dicke. Das passt natürlich nicht zu meiner Platte!
Ich möchte meine Platte in Zwiebelringe zerlegen, um über den Radius integrieren zu können. Die Fläche A ist dann der Umfang eines Zwiebelrings, multipliziert mit der Dicke meiner Platte. Und die Dicke d ist dann die Dicke meiner Zwiebelscheibe, nämlich dr. Das packe ich dann in ein Integral:
"a" ist nun ein Abstand von der Mitte der Wärmequelle, von dem ich die Temperatur wissen möchte. Die Wärmequelle selbst ist dank ihrer Punktförmigkeit unendlich heiß.
Jetzt möchte ich von "unendlich weit weg" nach a hin integrieren, um die Temperaturerhöhung zu berechnen. Das gelöste Integral ergibt:
 - (ln(\infty ))) 
Und jetzt suche ich den Fehler:
- Da der ln von Unendlich ebenfalls Unendlich ist, kommt nichts vernünftiges raus.
- Bei ln(a) steht das "a" für den Abstand vom Mittelpunkt. Das "a" hat aber eine Einheit (z.B. cm). Und den ln aus einem Wert mit Einheit zu berechnen ist in der Regel auch falsch.
Kann mir bitte jemand helfen?
Gruß
akapuma
Edit:
 ist zwar -ln(a)) , aber auch ) .
Mein ungutes Gefühl, den ln von einem Wert mit Einheit (z.B. cm) zu berechnen, erübrigt sich damit, denn die Einheiten (cm, m oder gar km) kürzen sich heraus.
Besser wird es dadurch aber auch nicht:
)
Zum Einen sieht man, daß ich wohl obere und untere Grenze vertauscht habe. Zum Anderen, daß auch da nichts gescheites herauskommt.
Kann es etwa sein, daß sich eine Platte mit punktförmiger konstanter Wärmeleistung immer weiter erhitzt, wenn man Strahlung und Konvektion vernachlässigt? Reicht die Wärmeleitung der unendlich großen Platte nicht aus, um ein thermisches Gleichgewicht zu schaffen?
Gruß
akapuma |
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Namenloser324
Gast
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| Namenloser324 Verfasst am: 23. Apr 2013 22:28 Titel: |
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Ich verstehe nicht so recht, was du da rechnest.
Die Wärmeleitungsgleichung lautet eigentlich ganz anders.
Das was du da stehen hast ist die Änderung der Wärmeenergie in Abhängigkeit von einer Temperaturdifferenz.
de.wikipedia.org/wiki/Wärmeleitungsgleichung
Dann wählst du zylinderkoordinaten(bzw. polar, da unendlich dünn), da das ganze rotationssymmetrisch ist.
Dann erhälst du eine partielle DGL mit (so wie ich dich verstanden habe) einer Deltafunktion auf der rechten Seite, da deine Wärmequelle jA lokal zentriert sein soll.
Es kann sich kein Gleichgewicht einstellen, da ausschliesslich Energie zugeführt wird aber keine ab. |
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akapuma
Anmeldungsdatum: 23.04.2013
Beiträge: 2
Wohnort: Marienheide
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| akapuma Verfasst am: 24. Apr 2013 14:52 Titel: |
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| Namenloser324 hat Folgendes geschrieben: | Ich verstehe nicht so recht, was du da rechnest.
Die Wärmeleitungsgleichung lautet eigentlich ganz anders.
Das was du da stehen hast ist die Änderung der Wärmeenergie in Abhängigkeit von einer Temperaturdifferenz.
de.wikipedia.org/wiki/Wärmeleitungsgleichung |
Hallo Namenloser324,
ich habe die Formel von hier: de.wikipedia.org/wiki/Wärmeleitungsgleichung
Diese beschreibt die Wärmeleistung in Abhängigkeit von der Temperaturdifferenz. Da ich die Wärmeleistung kenne, habe ich die Formel nach der Temperaturdifferenz aufgelöst.
Die Formel gilt für Platten, bei denen die Wärme von einer Seite auf die andere Transportiert wird. Ich habe aber eine Platte, auf der sich eine punktförmige Wärmequelle befindet.
Daher habe ich nun um die punktförmige Quelle Zwiebelringe gelegt. Jeder Zwiebelring ist unendlich dünn, und hat damit folgende Maße:
- Fläche = 2 x Pi x r x d mit d = Plattendicke
- Zwiebelringdicke = dr
Wenn ich nun bei bekannter Wärmeleistung die Temperaturdifferenz von 2 verschiedenen Punkten wissen möchte, integriere ich einfach über den Radius.
Ich habe eine große Platte, auf der sich ein Widerstand mit bekannter Wärmeabgabe befindet. Diese Platte ist so groß, daß die Temperaturerhöhung am Rand vernachlässigbar ist. Deshalb hatte ich für mein Modell auch eine unendlich große Platte genommen, denn deren Umfang ist unendlich groß.
Jetzt möchte ich wissen, im wieviel Kelvin es im Abstand x vom Widerstand wärmer ist, als in der Umgebung. Am unendlich fernen Rand der Umgebung dachte ich, wäre es nicht wärmer. Daher wollte ich die Temperaturdifferenzen aller Zwiebelringscheiben von Unendlich (außen) bis x zusammenintegrieren.
Es sollte eine Abschätzung werden, in dem die Wärme über die unendlich große Platte bis in die Unendlichkeit abgeleitet wird, und wo Strahlung und Strömung vernachlässigt werden.
| Namenloser324 hat Folgendes geschrieben: | | Es kann sich kein Gleichgewicht einstellen, da ausschliesslich Energie zugeführt wird aber keine ab. |
Da wird mein Problem legen. Meine Platte ist zwar unendlich groß. Meine Wärmequelle kann aber auch in unendlich langer Zeit unendlich viel Energie liefern.
Gruß
akapuma |
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Namenloser324
Gast
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| Namenloser324 Verfasst am: 24. Apr 2013 16:38 Titel: |
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Die von dir verwendete Ausgangsgleichung gilt meines Erachtens nicht, denn es handelt sich hierbei um einen spezial Fall für einen Körper mit parallelen Wänden, siehe hier:
de.wikipedia.org/wiki/Wärmeleitung
Ich empfehle dir die Verwendung der allgemeinen Wärmeleitungsgleichung. |
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