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The_Nati
Anmeldungsdatum: 29.10.2012
Beiträge: 34
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 The_Nati Verfasst am: 30. Jan 2013 01:00 Titel: Greenfunktion der Poissongleichung |
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Hallo ihr Lieben 
Ich komme bei der Aufabe 18 überhaupt nicht klar:
http://www.itp.tu-berlin.de/fileadmin/a3233/upload/WS12_13/TPI/UebungsBlatt8.pdf
Hab mir das als Prüfungsvorbereitung rausgesucht und leider kein Plan wie ich sowas lösen soll...
Erstmal zur Aufabe 18.1)
Es gilt ja
 \rho(r') )
 \rho(\vec{r'}) )
Und da hört's dann auch schon auf 
Wenn man sich Gleichung 3) und 4) anguckt dann steht bei 3) ja eigentlich:
 \rho (\vec{r'} ) \frac{1}{\delta (\vec{r}- \vec{r'} )} )
Dann müsste man dasvja irgendwie aus dem Integral rechts kriegen und dann durch das  ersetzen.
Nur wie zum Teufel komme ich aus dem Integral darauf? 
So weiter zu 18.2
Es gilt mit ^2 +a^2))^{-\frac{1}{2}} )
Dann 
So und da hab ich da hab ich schon das nächste Problem...
Wie mach ich das mit dem Ableiten von  und  ?
Eigentlich ist ja ^2 = (x'-x)^2+(y'-y)^2+(z'-z)^2 )
und damit
^2+(y'-y)^2+(z'-z)^2+a^2\right ]^{-\frac{1}{2}} )
Soll ich da jetzt jeweils immer einfach nach x,y,z ableiten und die x',y',z' als Konstanten behandlen?
Kommt mir komisch vor 
Oder kann ich veränderliche Betrachten nach den ich ableite?
Und bei 3) Muss ich sagen verstehe erst recht überhaupt nichts mehr :S
Ok ich weis was Kugelkoordinaten sind^^
 \rho (\vec{r'}) = \int_{\varphi = 0}^{2\pi } \int_{\theta = -\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi}{2} }\int_{r=0}^R d\varphi d\theta d r \Delta_r G_a (\vec{r'} , \vec{r} ) \rho (\vec{r'}) )
Aber ich verstehe überhaupt nicht wie das mit der Wahl von R gemeint ist...
oder den ganzen Rest den ich da machen soll
Würde mich freuen wenn jemand die Nerven hätte, das ganze mal mit mir aufzudröseln oder mir nen Tipp geben kann wo ich ne gute Erklärung dazu finden könnte, bin leider echt ratlos
Vielen Dank im Vorraus  |
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Namenloser324
Gast
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| Namenloser324 Verfasst am: 30. Jan 2013 01:56 Titel: |
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Du musst dir klarmachen was x' usw denn darstellt. Das ist die Koordinate der Ladungsverteilung.
x usw ist für den aufpunkt gedacht.
Sind unabhängige variablen und damit sind auch die partiellen Ableitungen natürlich voneinander unabhängig(du fässt also die anderen variablen als konstante auf).
In dem Aufgabenblatt ist ein fehler denn der R^n ist nicht geordnet, d.h. der Vergleich von nem Vektor mit nem Skalar R macht keinen Sinn.
Im Endeffekt meinen die mit dem Abschnitt nur, dass du einen große Radius für das Integrationsgebiet verwenden sollst, denn dann ist der Abstand zwischen Aufpunkt und Ladungsverteilung vernachlässibbar(d.h. r+r' ~= r) bzw. du sollst R so groß wählen dass das gilt, üblicherweise würde man einfach lim R gegen unendlich betrachten  |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 30. Jan 2013 02:15 Titel: |
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zu 1.) Laplace auf (2) anwenden und überlegen wieso man Laplace und Integration vertauschen darf ( vs.  ), dann (4) benutzen.
zu 2.) Einfach ausrechnen, entweder in kartesischen Koordinaten oder in Kugelkoordinaten (wieder ( vs. ) beachten).
zu 3.) Genau das tun was in der Anleitung steht:
a) Die Kugelkoordinaten wie im Tipp einführen. Dann Integral in zwei Integrale aufteilen, eins fuer  und eins für  . Wobei R erst in den nächsten Schritten geeignet (=gross) gewählt werden muss. Also:
b) Jetzt R so wählen dass man das zweite Integral wie im Tipp gesagt abschätzen kann.
c) Jetzt das Integral für den inneren Teil berechnen.
PS: Diese Rechnung wird in vielen Büchern der theoretischen E-Dynamik erklärt, wenn dort die Poissongleichung gelöst wird. |
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The_Nati
Anmeldungsdatum: 29.10.2012
Beiträge: 34
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| The_Nati Verfasst am: 30. Jan 2013 05:48 Titel: |
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wow damit das so spät noch jemand antwortet hätte ich nicht gerechnet
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | zu 1.) Laplace auf (2) anwenden und überlegen wieso man Laplace und Integration vertauschen darf ( vs. ) |
Das ist ja eben das Problem, dass ich nicht weis wie das funktioniert
Also schreib ich einfach mal auf was ich dazu denke, vielleicht kannst du mir ja erklären wie ich meine Probleme lösen kann...
Also ich hab dann ja:
 \rho{r^\prime} = - \int d x^\prime dy^\prime dz^\prime G (\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x^\prime\\ y^\prime \\ z^\prime \end{pmatrix}) \rho (\begin{pmatrix} x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{pmatrix} ) )
Sieht blöd aus, aber besser kann ich das Wirrwarr in meinem Kopf leider nicht ausdrücken^^
Das heist also für mich ich hätte quasi drei Variablen, die integriert wäre nämlich die gestrichenen.
Wenn ich darauf jetzt Laplace anwende, dann müsste ich die Ableitungen nach sechs Variablen (gestrichen und ungestrichen) bilden oder?
Laplace ist ja definiert als
 =\sum_i \frac{\partial^2 f}{\partial^2 x_i} )
definiert...
Wenn ich jetzt das Integral als Funktion f sehe, dann muss ich ja wie gesagt nach den gestrichenen und ungestrichenen Variablen ableiten.
Aber zum einen weis ich nicht genau wie ich das machen soll...
Also das einzige was mir jetzt einfällt ist, dass für die Ableitung der gestrichenen Koordinaten aus dem Integral quasie eine Koordinate wegfällt...
Aber das war's dann auch schon...
Zum anderen kommt mir das auch irgendwie komisch vor weil, ich ja damit nie dahin komme wo ich hin will...
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | zu 2.) Einfach ausrechnen, entweder in kartesischen Koordinaten oder in Kugelkoordinaten (wieder ( vs. ) beachten). |
Okay nehmen wir mal die karthesischen Koordinaten.
Wenn jetzt  und  als unabhängige Koordinaten gesehen werden muss ich auch wieder sechs mal die zweite ableitung bilden... also fangen wir mal an:
^2 +(y^\prime - y)^2 + (z^\prime - z)^2 +a^2]^{-\frac{1}{2}} )
^2 +(y^\prime - y)^2 + (z^\prime - z)^2 +a^2]^{-\frac{3}{2}} } )
(x^\prime -x)}{[(x^\prime - x)^2 +(y^\prime - y)^2 + (z^\prime - z)^2 +a^2]^{-\frac{5}{2}} }- \frac{1}{[(x^\prime - x)^2 +(y^\prime - y)^2 + (z^\prime - z)^2 +a^2]^{-\frac{3}{2}} } )
Das sieht ja auch schonmal sehr bescheiden aus...
Weil eigentlich sollte mein  ja irgendwann mal nach oben rutschen...
Und der Rest sieht ja auch nicht so vielversprechend aus...
oh man jetzt kann ich nicht mal mehr differenzieren
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: |
zu 3.) Genau das tun was in der Anleitung steht:
a) Die Kugelkoordinaten wie im Tipp einführen. Dann Integral in zwei Integrale aufteilen, eins fuer und eins für . Wobei R erst in den nächsten Schritten geeignet (=gross) gewählt werden muss. Also:
b) Jetzt R so wählen dass man das zweite Integral wie im Tipp gesagt abschätzen kann.
c) Jetzt das Integral für den inneren Teil berechnen.
PS: Diese Rechnung wird in vielen Büchern der theoretischen E-Dynamik erklärt, wenn dort die Poissongleichung gelöst wird. |
| Namenloser324 hat Folgendes geschrieben: |
Im Endeffekt meinen die mit dem Abschnitt nur, dass du einen große Radius für das Integrationsgebiet verwenden sollst, denn dann ist der Abstand zwischen Aufpunkt und Ladungsverteilung vernachlässibbar(d.h. r+r' ~= r) bzw. du sollst R so groß wählen dass das gilt, üblicherweise würde man einfach lim R gegen unendlich betrachten |
Den Rest werd ich mir später nochmal angucken jetzt muss ich erstmal los...
Vielleicht kann einer von euch ja zu dem oberen noch was sagen...
Ansonsten werd ich morgen wohl mal in die Uni Bibliothek stiefeln und nach E-Dynamikbüchern gucken...
Vielen Dank euch beiden nochmal |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 30. Jan 2013 07:00 Titel: |
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| The_Nati hat Folgendes geschrieben: |
Wenn ich darauf jetzt Laplace anwende, dann müsste ich die Ableitungen nach sechs Variablen (gestrichen und ungestrichen) bilden oder?
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Nein. Der Laplace-Operator hier ist der normale 3-dimensionale Laplace Operator, der nur auf die unterstrichenen Koordinaten wirkt.
| Zitat: |
... also fangen wir mal an:
Das sieht ja auch schonmal sehr bescheiden aus...
Weil eigentlich sollte mein ja irgendwann mal nach oben rutschen...
Und der Rest sieht ja auch nicht so vielversprechend aus...
oh man jetzt kann ich nicht mal mehr differenzieren
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Ist aber richtig... jetzt ueber alle drei Terme summieren und auf gemeinsamen Nenner bringen.. manchmal hilft einfach stur weiterrechnen so wie man es kann |
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