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Nima93
Anmeldungsdatum: 08.01.2012
Beiträge: 221
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 Nima93 Verfasst am: 25. Nov 2012 21:53 Titel: Komplexe Ergebnisse |
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Hallo,
Ich habe eine ganz allgemeine Verständnisfrage zu dem Auftreten von Komplexen Rechnungen in der Physik. Ich kann zwar damit rechnen, verstehe aber einfach nicht, was sie zu bedeuten haben. Als Beispiel gäbe es da Unser Tutor sagte einmal: "In der Physik werden sowieso meist nur die reellen Ergebnisse betrachtet." Wozu rechne ich dann aber ständig im Komplexen?
Grüße
Nima93 |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18198
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| TomS Verfasst am: 26. Nov 2012 07:15 Titel: |
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Weil es einfacher und kompakter ist!
Bsp.: man kann die ganze Quantenmechanik statt mittels einer komplexen Wellenfunktion auch mit zwei reellen Funktionen in der Form
 = u(x) + iv(x))
 = \rho(x) e^{iS(x)})
formulieren (wobei der Formalismus sicherstellt, dass für messbare Größen auch nur reelle Ergebnisse auftreten).
Aber Rechen- und Schreibaufwand wären ein Vielfaches ...
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 26. Nov 2012 08:13 Titel: |
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Vielleicht mal ein einfaches (mathematisches) Beispiel, an dem man sieht wieviel schneller es mit komplexen Zahlen geht: Additionstheoreme fuer trigonometrische Funktionen:
 & = \mathrm{Re} [ \exp(i(\alpha + \beta)) ] \\
<br />
& = \mathrm{Re}[ \exp(i\alpha) \exp(i\beta)) ] \\
<br />
& = \mathrm{Re} [ \cos \alpha + i \sin \alpha) (\cos \beta + i \sin \beta) ] \\
<br />
& = \mathrm{Re} [ \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) + i (\cos\alpha \sin \beta + \sin\alpha \cos \beta) ] \\
<br />
& = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
<br />
\end{split}
<br />
)
Dies ohne komplexe Zahlen herzuleiten ist natuerlich nicht unmöglich, aber mit Komplexen Zahlen kann man es im Kopf und muss solche Additionstheoreme nicht auswendig lernen. |
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Nima93
Anmeldungsdatum: 08.01.2012
Beiträge: 221
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| Nima93 Verfasst am: 29. Nov 2012 02:20 Titel: |
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Danke für eure Bemühungen! Ok, dass z.B. das Rechnen mit Schwingungen ausgedrückt durch komplexe e-Funktionen einfacher ist, als mit Sinus und Cosinus, ist mir prinzipiell schon klar. Nur was mir z.B. der Imaginärteil einer komplexen Brechzahl sagt, und warum er überhaupt existiert, verstehe ich beim besten Willen nicht. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 29. Nov 2012 02:32 Titel: |
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| Nima93 hat Folgendes geschrieben: | | Nur was mir z.B. der Imaginärteil einer komplexen Brechzahl sagt, und warum er überhaupt existiert, verstehe ich beim besten Willen nicht. |
Im wesentlichen laeuft es wieder auf e-Funktionen heraus. So kann Licht ja z.B. auch absorbiert werden in einem Medium, das fuehrt dann zu einem exponentiellen Abfall der Intensität. Formal kann man das dann mit der Schwingung zu einer e-Funktion kombinieren:
 \exp \{i 2 \pi n z /\lambda - \omega t)\}= \exp \{i ( 2 \pi (n+i \kappa) z/\lambda - \omega t)\} )
wobei kappa der Imagniaerteil des Brechungsindexes ist. Die Schreibweise mit 2, pi und lambda ist nur Konvention.
D.h. Es ist im wesentlichen wieder einfach nur ein guter "Trick" um Rechnungen zu vereinfachen. Alle physikalischen Groessen die man misst, sind natuerlich weiterhin reel. |
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D2
Anmeldungsdatum: 10.01.2012
Beiträge: 1723
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| D2 Verfasst am: 29. Nov 2012 17:36 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: |
D.h. Es ist im wesentlichen wieder einfach nur ein guter "Trick" um Rechnungen zu vereinfachen. Alle physikalischen Groessen die man misst, sind natuerlich weiterhin reel. |
Hier ist eine schöne Zusammenfassung.
http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw1_ge/kap_2/basics/b2_1_5.html
Meine persönliche Meinung: Wir können zwar lediglich die reelle Anteile messen, aber es darf kein Zweifel bestehen, das die imaginäre Anteile den reellen ebenbürtig sind und kein Gespinst oder nur ein mathematischer Trick. So wird einem zweidimensionalen Wesen welches nur Breite und Länge kennt, die Höhe logischerweise imaginär erscheinen, aber ist dann die Höhe nur ein billiger Trick einen 2D Mathematikers? Oder Beweis seiner Kühnheit, welche eine Existenz weiterer Dimensionen bejaht?
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Lösungen gibt es immer, man muss nur darauf kommen. |
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7259
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| Steffen Bühler Verfasst am: 29. Nov 2012 17:44 Titel: |
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| D2 hat Folgendes geschrieben: |
Wir können zwar lediglich die reelle Anteile messen, aber es darf kein Zweifel bestehen, das die imaginäre Anteile den reellen ebenbürtig sind und kein Gespinst oder nur ein mathematischer Trick. |
Da stimme ich zu. Der komplexe Widerstand einer verlustbehafteten Spule
ist für Gleichstrom ( ) rein reell. Sobald man aber Wechselstrom durchschickt ( ), kommt eben noch ein imaginärer Anteil dazu, der dazu führt, daß der Strom durch die Spule nicht mit der Spannung an der Spule synchron ist, wie man es von "normalen" reellen Widerständen gewohnt ist. Es wäre also fast schon frevelhaft, hier nur mit dem Realteil zu arbeiten.
Vereinfacht gesagt: sobald eine Größe frequenzabhängig wird, besitzt sie einen Imaginärteil, der diese Abhängigkeit angibt.
Viele Grüße
Steffen |
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