Resultierende Kraft einer Blase

TheresaJohanna · Anmeldungsdatum: 28.08.2012 Beiträge: 8

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich schreibe momentan an meiner Diplomarbeit und kann mir ein Kräftegleichgewicht nicht erklären.
Ich habe den Fall einer Gasblase in Flüssigkeit vorliegen und möchte die Kraft, die aus Oberflächenkräften resultiert, bestimmen.
Dazu ist ein Flächenelement einer Kugel dargestellt mit Radius r und Winkel

, d.h. die Kantenlängen des Flächenelementes sind

und die Kräfte, die aus der Oberflächenspannung \sigma resultieren,

. Nun soll die resultierende Kraft

bestimmt werden, die in Richtung des Kugelmittelpunktes weist und als Lösung soll diese Gleichung folgen:

Meine Ideen:
Den rechten Teil der Gleichung, kann ich mir erklären, sofern es richtig ist, dass

ist (???).
Der linke Teil bereitet mir dagegen Probleme, da ich keine Erklärung für die zweite Ableitung (sofern es denn eine ist) habe.

Bin euch super dankbar für jegliche Anmerkungen und Hilfestellungen.
Grüße,
Theresa

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Kannst Du uns den Gesamtzusammenhang kurz mitteilen, es spielen ja vermutlich der ursprüngliche Innendruck, der zusätzliche Druck wg. Oberflächenspannung und der äußere Druck eine Rolle? Der Auftrieb?

Die resultierende Kraft im Zusammenhang mit der OF Spannung ist null, die gegenüberliegenden Anteile heben sich jeweils auf. Deshalb meine Vermutung, daß es um den zusätzlichen Innendruck geht, übrigens

. Berechnet man entsprechend der Definition von \sigma : Energieänderung (Kraft mal Weg dr) durch Flächenänderung.

TheresaJohanna · Anmeldungsdatum: 28.08.2012 Beiträge: 8

Hallo,
danke für deine schnelle Antwort.
Es handelt sich um die Herleitung der Entstehung von Dampfblasen aus dem Buch "Wärme- und Stoffübertragung" von Baehr/Stephan. Ich würde gerne ein Bild mitschicken, aber das scheint hier nicht zu gehen.

Hier:
http://books.google.de/books?id=zSJ9ZEQ9GpkC&pg=PA772&lpg=PA772&dq=Die+Entstehung+von+Dampfblasen+baehr+stephan&source=bl&ots=b2FUG4CuTp&sig=7Af0ODyR9Dob9TKFwMX-STuGJO8&hl=de#v=onepage&q=Die%20Entstehung%20von%20Dampfblasen%20baehr%20stephan&f=false
ist meine Quelle... Seite 530 ist die Seite, wo die Gleichung aufgeführt wird.

Jedenfalls soll mit der resultierenden Kraft, mit der ich gerade mein Problem habe, ein weiteres Kräftegleichgewicht aufgestellt werden. In dem geht dann auch der Außendruck sowie der Druck in der Blase mit ein und die Lösung, die du bereits angegeben hast, wird somit hergeleitet:

.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Seite 530 gibt es nicht in der Vorschau (beginnt mit 611). Vielleicht ein Scan als Attachement oder formuliere die Fragestellung kurz mal (keine Lösungen), spielt die Temperatur dabei eine Rolle oder gelöste Gase?

TheresaJohanna · Anmeldungsdatum: 28.08.2012 Beiträge: 8

Es liegt ein thermodynamisches Gleichgewicht vor, das heißt Gas- und Flüssigkeitstemperatur sind gleich.
Angehängt sollte jetzt eigentlich das Bild meiner Problemstellung sein als auch die Beschreibung dazu samt Formel...

TheresaJohanna · Anmeldungsdatum: 28.08.2012 Beiträge: 8

Ja, und im Anschluss an die Berechnung der resultierenden Kraft folgt dann das Kräftegleichgewicht, das den Druck beinhaltet.
Ich hoffe, irgendjemand kann sich diese 2te Ableitung erklären...

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Danke! Das sind jetzt Details zur Lösung einer Frage. Schön wäre die Frage selber noch. smile

Warum steht p_L in der Flüssigkeit?

TheresaJohanna · Anmeldungsdatum: 28.08.2012 Beiträge: 8

Meine Frage ist, wie man sich die Gleichung

erklären kann.

Wie gesagt den rechten Teil der Gleichung habe mir einigermaßen erklären können. Ich habe die Oberflächenkräfte in Kräfte, die in die gleiche Richtung wie F_R zeigen aufgeteilt. Das wären dann

. Wenn richtig ist, dass

ist, dann kann ich mir diese Seite erklären.

Probleme habe ich speziell mit der zweiten Ableitung auf der linken Seite...

Deshalb meine Fragen:
1) Ist meine Vermutung zur rechten Seite der Gleichung richtig?
2) Woher kommt die zweite Ableitung auf der linken Seite?

TheresaJohanna · Anmeldungsdatum: 28.08.2012 Beiträge: 8

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Langsam dämmert es mir, Du möchtest einen Lösungsweg aus dem Lehrbuch erklärt haben, zu einer Frage / einem Sachverhalt, der immer noch unbekannt ist.

Sowohl die merkwürdige infinitesimale Schreibweise, die unsinnige Herleitung der Druckformel als auch die eigenwillige Definition der Oberflächenspannung als Kraft je Länge lassen jedoch den Verdacht keimen, daß man ohne solche "Hilfe" schneller ans Ziel gelangt. Insbesondere die Endformel läßt sich trivial in zwei, drei Zeilen herleiten, ohne mit Kanonen nach Spatzen zu schießen. (Ich hatte bei p_L an einen zusätzlichen äußeren Luftdruck gedacht, der ja auch noch auf der Matte steht.)

Wie lautet der Sachverhalt, das Problem selber, die Ausgangsfrage?

Aber, es lesen genügend Kollegen mit. Vielleicht sieht jemand besser durch?

TheresaJohanna · Anmeldungsdatum: 28.08.2012 Beiträge: 8

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

EDIT
Ganz kurz: Die Oberflächenspannung ist definiert als Energieänderung der Fläche durch Flächenänderung. (Flächen ziehen sich praktisch zusammen wie ein Gummituch.)

Wir nehmen die Wasseroberfläche um die Gaskugel und dehnen sie um dr, was einer Fläche

und einem Volumen

entsprich. Mit der Energieänderung durch Arbeit (Volumenänderung)

letztendlich

TheresaJohanna · Anmeldungsdatum: 28.08.2012 Beiträge: 8

Vielen Dank für deine Mühe!
Ja, den Weg hatte ich auch schon wählen wollen...
wahrscheinlich ist es wirklich vernünftiger sich das damit zu erklären.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Bitte die Änderungen oben noch beachten.

Übrigens kann man so auch den Überdruck in einer Seifenblase berechnen, muß jedoch beachten, daß dabei zwei Oberflächen "drücken" -> doppelter Wert.