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Jannick
Anmeldungsdatum: 25.07.2012
Beiträge: 107
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 Jannick Verfasst am: 17. Aug 2012 22:15 Titel: Liouville Glg. bei 1D harm. Oszillator |
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Ich moechte mit Hilfe der Liouville Glg. die Zeitentwicklung der Wktdichte im Phasenraum  fuer den 1D harm Oszillator berechen. Die Anfangsbedingungen sollen dabei durch die Wktdichte
&=&\frac{1}{2\pi\sigma_q \sigma_p}\exp(-\frac{q_0^2}{2\sigma_q^2}-\frac{p_0^2}{2\sigma_p^2})
<br />
)
gegeben sein (q: Ort p: Impuls). Mit der Liouvilleglg. komme ich nun auf die part. Dgl.
Nun habe ich erstens das Problem, dass ich nicht weiss, wie ich die Dgl. loesen soll und ausserdem habe ich keine Ahnung, wie ich die Anfangsbedingung dann benutzen soll.
Mit der Glg.
&=& \int dq_0 \int dp_0 W(p_0,q_0) \delta(q-q(t,q_0,p_0)) \delta(p-p(t,q_0,p_0))
<br />
)
bin ich hingegen auf eine ganz sinnvolle Lsg gekommen, die auch gaussfoermig ist allerdings mit einer neuen breite  ) und somit bei  zur  -Funktion wird.
Meine Frage ist nun, wie man die Liouvilleglg. sinnvoll anwendet und was der Vorteil zur unteren Glg. ist |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 18. Aug 2012 06:46 Titel: |
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Mir scheint, als ob Landau Lifschitz V § 30 sich mit diesem Sachverhalt beschäftigt, im Zusammenhang mit III § 23 (?). |
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Jannick
Anmeldungsdatum: 25.07.2012
Beiträge: 107
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| Jannick Verfasst am: 18. Aug 2012 14:56 Titel: |
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Den habe ich leider nicht zur Hand und gerade auch keinen Fachbibleothekszugang. Was meinen Landau und Lifschitz denn so dazu? |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 18. Aug 2012 20:39 Titel: Re: Liouville Glg. bei 1D harm. Oszillator |
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Ich würde versuchen, neue Koordinaten zu finden, so dass sich der Term
\rho)
vereinfacht. Dieser entsteht ja formal aus
 = \begin{pmatrix} q \\ p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & m\omega^2 \\ -\frac{1}{m} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \partial_q \\ \partial_p \end{pmatrix}
<br />
)
Die neuen Koordinaten entsprächen dann wohl einer Diagonalmatrix.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Jannick
Anmeldungsdatum: 25.07.2012
Beiträge: 107
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| Jannick Verfasst am: 19. Aug 2012 17:16 Titel: |
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Ich habe deinen Ansatz mal verfolgt, wobei ich die Koordinaten wie folgt eingefuehrt habe, damit die Dimension der Elemente der Matrix gleich ist.
 = \begin{pmatrix} p ,& m\omega q \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -\omega \\ \omega & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \partial_p \\ \frac{\partial_q}{m\omega} \end{pmatrix}
<br />
)
Nun habe ich die Eigenwerte der Matrix zu
bestimmt, womit fuer die Eigenvektoren v folgt
die somit orthonormal sind. Die unitaere Transformation U ist nun gegeben durch
Die neuen Koordinaten ergeben sich aus
Fuer die ganze Glg ergibt sich dann:
 \rho
<br />
)
Nun kann ein Separationsansatz gemacht werden d.h.:
g(\chi_1)h(\chi_2)
<br />
)
Einsetzen in die Glg. ergibt:
 -fg \chi_2\partial_{\chi_2} h(\chi_2) \right)
<br />
)
Teilen durch  ergibt:
}{g} -\frac{\chi_2\partial_{\chi_2} h(\chi_2)}{h} \right)
<br />
)
Nun muss jeder Summand gleich einer Konstante sein, womit man auf die Loesung
t)\cdot d_2 \chi_1^{c_2} \cdot d_3 \chi_2^{c_3}
<br />
)
Nun haenge ich leider fest und weiss nicht wie ich diese ganzen freien Konstanten (also die ds und cs) durch die Anfgansbed. eliminieren soll. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 20. Aug 2012 08:04 Titel: |
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Hi,
ich habe das jetzt nicht alles nachgerechnet, sieht aber erstmal sehr vernünftig aus.
Zunächst war's richtig, dass die die (falschen) Einheiten in der Matrix bzw. den Koordinaten korrigiert hast. Mit deiner Matrix U bekommst du gerade die komplexen Linearkombinationen, wie man sie auch beim quantenmechanischen harmonischen Oszillator benutzt.
Ich verstehe die Struktur deiner Lösung noch nicht ganz; es muss doch zunächst gelten
}{g} -\frac{\chi_2\partial_{\chi_2} h(\chi_2)}{h} \right))
d.h. beide Seiten müss gleich der selben (!) Konstanten sein.
Außerdem folgt
}{g} = c = \frac{\chi_2\partial_{\chi_2} h(\chi_2)}{h} )
wobei c und C nicht (!) unabhängig voneinander sind.
Jetzt kannst du zunächst mal für die drei Funktionen mittels der Konstanten c und C lösen.
Oder übersehe ich etwas?
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Jannick
Anmeldungsdatum: 25.07.2012
Beiträge: 107
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| Jannick Verfasst am: 20. Aug 2012 12:10 Titel: |
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Ich verstehe nicht, wie du auf
kommst, bzw. denke, dass das im Allgemeinen falsch ist. Daraus wuerde ja auch C=0 folgen.
Ich bin meine Loesung gekommen, indem ich jeden Summanden gleich einer Konstanten gesetzt habe. Dies ist deshalb korrekt, da wenn man zwei der unabhaengigen Variablen fest setzt sagen wir t und  die Glg. bei Variation von 
ja weiterhin korrekt sein muss. Somit muss der dritte Sumand dann konstant sein (und mit der selben Argumentation natuerlich jeder Summand). Deshalb habe ich gesetzt:
}{g}=c_2
<br />
\frac{\chi_2\partial_{\chi_2} h(\chi_2)}{h}=c_3
<br />
)
Aus der Dgl. folgt dann natuerlich
<br />
)
womit ich  in meiner Loesung ersetzt habe. d_1 d_2 und d_3 sind dann Integrationskonstanten der 3 Differentialglg. Mir faellt auch gerade auf, dass man diese 3 Konstanten natuerlich zu einer zusammenfassen mit  kann und somit nur noch 3 Konstanten durch die Anfangsbedingung festgelegt werden muessen |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 20. Aug 2012 12:25 Titel: |
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| Jannick hat Folgendes geschrieben: | Ich verstehe nicht, wie du auf
kommst, ... |
... ich auch nicht ... na ja, zu früh am Morgen, zu wenig Kaffee; du hast natürlich recht, es dürfen zwei unabhängige Konstanten sein
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 20. Aug 2012 12:50 Titel: |
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Nehmen wir mal ein paar Umbenennung der Konstanten vor
Daraus folgt
=f_0\,e^{i\Omega t})
Dann haben wir zwei Gleichungen der Struktur
Das lässt sich umformen zu
und die Lösung lautet doch
 = c_i\,\ln\left(\frac{\chi_i}{\chi_i^{(0)}}\right))
Damit gilt außerdem
)
Kann die o.g. Lösung für die Funktionen g stimmen?
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 20. Aug 2012 17:41, insgesamt einmal bearbeitet |
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Jannick
Anmeldungsdatum: 25.07.2012
Beiträge: 107
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| Jannick Verfasst am: 20. Aug 2012 14:53 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Nehmen wir mal ein paar Umbenennung der Konstanten vor
und die Lösung lautet doch
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Ich stimme dir zu bis auf das ich denke das deine Loesung nicht stimmt. Ich denke das muesste
sein.
Test:
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 20. Aug 2012 17:33 Titel: |
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heute ist nicht mein Tag; ja, du hast mit deiner Lösung natürlich recht;
damit hätten wir
 = (f_0\,d_1\,d_2)\,\chi_1^{c_1}\,\chi_2^{c_2}\,e^{i\,\omega\,(c_1-c_2)t} = \frac{(f_0\,d_1\,d_2)}{2^{(c_1-c_2)/2}}\,(m\omega q+ip)^{c_1}\,(m\omega q-ip)^{c_2}\,e^{i\,\omega\,(c_1-c_2)t} )
wenn ich mich nicht wieder vertan habe;
jetzt müsste man t=0 betrachten, die Anfangsbedingungen geeignet berücksichtigen sowie insbs. eine reelle Phasenraumdichte konstruieren. Mir ist die Bedeutung der beiden Konstanten c1 und c2 dabei noch nicht klar.
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