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Schroedingergleichung und Planck-grenze
 
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magician4



Anmeldungsdatum: 03.06.2010
Beiträge: 914

BeitragVerfasst am: 31. Jul 2012 08:52    Titel: Schroedingergleichung und Planck-grenze Antworten mit Zitat

moin zusammen,

vor kurzem hatte ich die aufgabe die form der bekannten elektronendichte-verteilung um atomkerne herum , vulgo "orbitale" zu erlaeutern, wobei dann frueher oder spaeter auch das stichwort "einhuellende um 90% der elektronendichte-verteilung " fiel.
die begruendung weshalb man denn bei 90% innehaelt und dort den "umriss" zeichnet, dass naemlich orbitale in der quantenmechanik "nach aussen hin unbegrenzt" seien und man sich daher willkuerlich entschieden hatte, bei 90% schluss zu machen (u.a. weil das meist so nette instruktive bildchen gibt) wurde auch so akzeptiert, fuehrte jedoch instant zu der nachfrage, wo denn dann bitteschoen die restlichen 10% der elektronendichte stecken wuerden.

gemaess gaengiger folkore von der unbegrenztheit der orbitale war die antwort: ueberall, also ueber das gesamte universum verschmiert, ausnehmlich des raumes, in welchem die 90% lokalisiert sind eben.


nach einigem nachtraeglichen sinieren ueber diese antwort kommen mir da aber doch zweifel...
... und zwar weniger bezueglich er frage, wie sich elektronendichte-umveteilung dann instant dem gesamten rest-universum mtteilen koennte...
... als mehr aufgrund der frage, ob die rest-elektronendichte in einem weit vom kern entfernten orbital-volumen nicht ab einem gewissen abstand vom atom, egal wie sehr man sich dreht und wendet, einfach unter irgendeine planck-grenze rutscht (gabs da nicht was mit der minimal sinnvollen physikalisch beschreibbaren energiedichte?)


...woraus sich unmittelbar die frage ableitet: wenn es eine solche grenze gibt, ist es dann sinnvoll diese grenze auch als "aussengrenze" des orbitals aufzufassen?


danke schonmal fuers mitdenken und alle antworten

gruss

ingo
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 9306

BeitragVerfasst am: 31. Jul 2012 09:04    Titel: Antworten mit Zitat

Moin!

Es handelt sich ja um die mit den Energieeigenwerten verknüpften Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichten und ich denke, daß man auch hier, wie in der Statistik üblich, praktikable Aussagen sucht, dergestalt "Die Wahrscheinlichkeit dafür, hier ein Elektron anzutreffen, liegt unterhalb einer abgesprochenen Grenze."

Meines Erachtens zwingen die bekannten und enormen Schwierigkeiten einer exakten Behandlungen (schon bei der Bewegung des Kerns meinetwegen) zu solchen Einschnitten; die ganze Bindungstheorie lebt ja wohl davon - aber wem erzähle ich das? smile

mfG
magician4



Anmeldungsdatum: 03.06.2010
Beiträge: 914

BeitragVerfasst am: 31. Jul 2012 09:26    Titel: Antworten mit Zitat

hallo franz,


danke zunaechst fuer deine antwort.

ja, die probleme konkrete werte da zu berechnen sind mir gelaeufig. allerdings ging es mir auch weniger darum, derartige "aussengrenzen" da picometergenau berechnen zu koennen, als mehr um die frage, ob meine ueberlegung "irgendwann kollidiert die immer geringer werdende elektronendichte mit einer planck grenze" grundsaetzlich korrekt ist - unbeschadet der frage ob ich das "wo" halbwegs genau berechnen koennte - und ob meine "philosophische" interpretation dies als eine art aussengrenze des orbitals dann "zu verkaufen" starkes physikalisches bauchgrimmen hier bei euch hervorruft

danke nochmal und schoenen tag noch

ingo
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 9402

BeitragVerfasst am: 31. Jul 2012 09:30    Titel: Antworten mit Zitat

Nun, die Orbitale sind ja nur eine Veranschaulichung der nicht-relativistischen Wellenfunktionen.

In einer relativistischen Theorie (rel. QM oder besser QFT) wird man Korrekturren erwarten, wobei in einem stationäten Zustand auch da die "Elektronendichte" über das gesamte Universum "verschmiert" ist. Trotzdem ist die Theorie Lorentzinvariant.

Die Planck-Energie als Untergrenze? Das kann man nicht einfach so "von Hand" in die QM einführen.

Außerdem: im Grunde sind alle Elektronen ja ununterscheidbar, d.h. man darf eigtl. nicht von der Wahrscheinlichkeit sprechen, das im Atom gebundenen Elektron dort zu finden; eigtl. handelt es sich um die Wahrscheinlichkeit, unter der Voraussetzung dass hier ein H-Atom existiert, dort irgendein Elektron zu finden.

_________________
Er muss sozusagen die Leiter wegwerfen, nachdem er auf ihr hinaufgestiegen ist.
Ludwig Wittgenstein
magician4



Anmeldungsdatum: 03.06.2010
Beiträge: 914

BeitragVerfasst am: 31. Jul 2012 11:35    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
Die Planck-Energie als Untergrenze? Das kann man nicht einfach so "von Hand" in die QM einführen.

genau das waere die naechste frage gewesen, inwieweit naemlich zumindest in einer betrachtung ueber moegliche sinnvolle "grenzen" dieser orbitale hier eine ansatzweise vermischung der theorien zulassig /sinnvoll ist

interpretiere ich deine antwort dahingehend richtig, dass du es weder fuer zweckmaessig noch fuer zulaessig haeltst, oder erscheint dir der gedanke einfach nur verwegen?*
Zitat:

Außerdem: im Grunde sind alle Elektronen ja ununterscheidbar, d.h. man darf eigtl. nicht von der Wahrscheinlichkeit sprechen, das im Atom gebundenen Elektron dort zu finden; eigtl. handelt es sich um die Wahrscheinlichkeit, unter der Voraussetzung dass hier ein H-Atom existiert, dort irgendein Elektron zu finden.

ja, soweit hatte ich es auch nicht treiben wollen dort konkrete "komplette" elektroenchen mal hierhin- mal dorthinhuschen zu haben: ich war schon noch einem mehr "stehende welle um einen/mehrere atomkern(e) herum"-gedanken verhaftet, betone vostellungsmaessig grad also die wellenseite des quantenobjekts. (das vermeidet ausserdem die problematik des "nicht in den kern stuerzens" so nett: einer stehende welle IST naemlich genau das "irgendwie" bereits widerfahren, indem das objekt naemlich exakt im kern seinen schwerpunkt hat bei einatomigen systemen: "kerniger" gehts halt nimmer)

aber selbst dann nimmt ja die resultierende elektronendichte (mithin ) in einem betrachteten kleinen volumen ab ueberschreiten eines gewissen, orbitalabhaengigen abstands vom kern / von den kernen bei allen orbitalen irgendwann monoton asymptotisch gegen null hin ab.

und die frage waere nun schlicht, ob es sinnvoll ist einer elektronendichte (rechnerisch) unterhalb der planckgrenze dennnoch eine "physikalische relevanz" zuzusprechen (was mir die einzige moeglichkeit zu sein scheint, dass sie (bis auf kernnaehe) ansonsten ueber das gesamte universum verschmiert sein kann: wenn sie dort naemlich unterhalb dieser grenze sein koennte), oder ob auch hier gilt, wie es Prof. Lesch mal lax formulierte: keine groesse unterhalb der planck-grenzen ist physikalisch relevant.

und um uns sonstige verkomplizierungen einfach mal aus der diskussion rauszuhalten: von mir aus koennen wir es gern am beispiel des wasserstoff-radikals durchhecheln, also wirklich nur 1 proton + 1 elektron
(wofuer die schroedingergleichung ja sogar noch exakt loesbar ist, soweit ich es korrekt erinnere)


gruss und danke fuer die antwort

ingo

*
wenn ich mir anschaue, wie in der kosmologie -so wie mir halt gelaeufig - die anfangsbedingungen des universums aus den plack-grenzen scheinbar mal eben so locker hergeleitet werden, erscheint mir mein gedanke zumindest legitim
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 9306

BeitragVerfasst am: 31. Jul 2012 12:03    Titel: Antworten mit Zitat

Achtung Haarspaltungen!

Und die "Wasserstoff"lösung beschreibt meiner Erinnerung nach nur die möglichen Energieeigenzustände einer Ladung in einem zentralsymmetrischen Coulombfeld, also strenggenommen nix Proton.
smile
magician4



Anmeldungsdatum: 03.06.2010
Beiträge: 914

BeitragVerfasst am: 31. Jul 2012 12:26    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
Und die "Wasserstoff"lösung beschreibt meiner Erinnerung nach nur die möglichen Energieeigenzustände einer Ladung in einem zentralsymmetrischen Coulombfeld, also strenggenommen nix Proton.

weshalb ist denn ein proton kein objekt, um welches herum sich (hinreichend genau fuer unser problem, eingedenk der bohr-radien resp. ihres aequivalents in der QM) ein zentralsymmetrisches coulombfeld beschreiben laesst? viel "punktfoermiger" kann eine positive ladung doch nimmer sein als r ~ 10^(-15) m ?
oder ueberseh ich hier grad was ganz wesentliches?


fragt sich

ingo
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 9306

BeitragVerfasst am: 31. Jul 2012 14:34    Titel: Antworten mit Zitat

Näherungsweise kann man das Proton im Ursprung "festnageln", also ein ideales zentralsymmetrisches Feld annehmen; mit den bekannten Spektralserien usw.
Eine Verfeinerung wäre, ähnlich wie in der Himmelsmechanik, die Berücksichtigung der Mitbewegung des Kerns. Das drückt sich bei den Energietermen dann aus in einer kleinen Korrektur des Bohrschen Radius, wo statt der Elektronenmasse m_e die reduzierte Masse µ auftauchen würde
.
Weitere Schikanen (endlicher Kernradius, relativistische Effekte, magnetische Wechselwirkungen) schließen sich an. Teufel
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 9402

BeitragVerfasst am: 31. Jul 2012 15:10    Titel: Antworten mit Zitat

magician4 hat Folgendes geschrieben:
interpretiere ich deine antwort dahingehend richtig, dass du es weder fuer zweckmaessig noch fuer zulaessig haeltst, oder erscheint dir der gedanke einfach nur verwegen?*

Ich denke, die Quantengravitation wird - wenn sie denn einmal abschließend formuliert ist - für Probleme der Atomphysik weiterhin irrelevant sein; genau so wie heute die ART irrelevant für die Atomphysik ist. D.h. dass tatsächlich in der Quantengravitation bestimmte Terme "sinnlos" werden können, dass diese Terme jedoch bei einer semiklassischen Näherung der Quantengravitation, d.h. einer wiederum näherungsweise klassischen Betrachtung der Raumzeit erneut auftreten.

Die glatte Raumzeit und die kontinuierliche Wellenfunktion entstehen sozusagen als mathematische Näherung, so wie eine Wasseroberfläche und die Gleichungen der Hydrodynamik als Näherung an eine molekulare oder atomare Theorie des Wassers folgen. Wenn du nun eine beliebig kleine Wasserwelle betrachtest, dann kannst du auch sagen, dass es diese beliebig kleine Wasserwelle aufgrund der atomaren Struktur nicht geben kann, sie also „sinnlos“ ist. Für Phänomene, die du mit der Hydrodynamik tatsächlich beschreibst, sind aber diese infinitesimalen Wasserwellen bzw. die Wassermoleküle ebenfalls irrelevant.

Man muss evtl. mal die Struktur eine Quantengravitationstheorie näher betrachten. Gemäß der LQG besteht die Raumzeit aus sogenannten Spinnetzwerken, das sind abstrakte Graphen an deren Knoten bzw. Kanten SU(2) Intertwiner bzw. SU(2) Spins sitzen. Ein Elektron „lebt“ dann als zusätzliche Eigenschaft eines Knotens auf einem Knoten, d.h. es wird dort ein n-Tupel von Zahlen geben, dass das Elektronenfeld charakterisiert. Ich weiß jetzt aber nicht, ob diese Zahlen diskrete oder kontinuierliche Werte annehmen (die der SU(2) auf dem Spinnetzwerk tun es). Und da es sich um eine Quantentheorie handelt, entspricht der Raumzeit nicht genau ein Spinnetzwerk, sondern eine lineare Superposition aller möglichen Spinnetzwerke. In diesem Bild wird die Frage „welchen Wert das Elektronenfeld gerade hier hat“ ziemlich inhaltsleer.

_________________
Er muss sozusagen die Leiter wegwerfen, nachdem er auf ihr hinaufgestiegen ist.
Ludwig Wittgenstein
magician4



Anmeldungsdatum: 03.06.2010
Beiträge: 914

BeitragVerfasst am: 31. Jul 2012 20:45    Titel: Antworten mit Zitat

@ franz:
(um jetzt nicht die diskussion "elektronen sind keine "planeten", sonst waeren sie radiosender und stuerzten in ihre kerne" [d.h. das 1. Bohr'sche postulat, und nur mit diesem im hintersinn erscheint dein korrekturterm mir der effektgenese nach sinnhaft] aufzunehmen, einfach nur i.s. des oberthemas nachgefasst:)

fuehren die von dir ins feld gefuehrten aspekte dazu, dass die QM oder von mir aus auch QED dann zu qualitativ grob- anderen aussagen kommt, insbesondere was die "nach aussen hin unendlichkeit" von orbitalen betrifft?

@ tom
danke, mit deiner einordnung wird mir einiges klarer.
dein bild hier aufgreifend:
Zitat:
(..)so wie eine Wasseroberfläche und die Gleichungen der Hydrodynamik als Näherung an eine molekulare oder atomare Theorie des Wassers folgen. Wenn du nun eine beliebig kleine Wasserwelle betrachtest, dann kannst du auch sagen, dass es diese beliebig kleine Wasserwelle aufgrund der atomaren Struktur nicht geben kann, sie also „sinnlos“

wenn also der lokale energiebetrag des elektrons ab abstand x vom kern in der allgemeinen fluktuation des vakuums quasi "untergeht", hinreichend irrelevant wird um ihn vernachlaessigen zu koennen, gibt es dann zwischen dem zugehoerigen abstand und der planck-grenze einen zusammenhang (d.h., um dies auf noch praxisnaeher fuesse zu stellen: laege dieser abstand in der groessenordnung z.b. der experimentell beobachteten "effektiven atomradien" z.b. von helium oder so)? oder laege das unterschreiten der planck-grenze demgegenueber um groessenordnungen woanders, z.b. im meter-bereich oder sowas?

ich hab schon mal versucht da irgendwas zum rechnen zusammenzustoppeln, scheitere da allerdings schon im ansatz, indem mir nicht klar wird wie ich eine geeignete der planck-grenzen formulieren sollte, um sie der (in einem betrachteten raumvolumen im abstand r vom kern) anteiligen eigenschaft des elektrons dort (welche? kann ich das ueber rechnerisch-anteilige energieaequivalente der massen-% des gesamt-elektrons in diesem segnemt machen? oder ueber ladungs-% ?) gegenueberzustellen.

nuja, soweit , also nicht allzuweit bin ich gekommen.

schlussendlich verbleibt also nur die frage, ob der von mir oben beschriebene moegliche zusammenhang zwischen beispw. "effektiven atomradien" und eben dieser (wie auch immer zu berechnenden) grenze ein gutes verstaendnis von der natur der dinge waere, oder ob diese beiden groessen himmelweit auseinanderliegen

gruss

ingo
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 9306

BeitragVerfasst am: 31. Jul 2012 21:35    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo Ingo!

Vielleicht habe ich mich mißverständlich ausgedrückt. Ich wollte nur ausdrücken, daß es ein quantenmechanisches "Wasserstoffatom" nicht gibt, sondern nur eine schrittweise modellhafte Annäherung an dieses Problem. Und diese unterschiedlichen Modelle führen zu immer feineren und durchaus experimentell meßbaren Unterschieden.

mfG
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