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Gast88
Gast
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 Gast88 Verfasst am: 24. Jul 2012 19:41 Titel: Tensortransformation |
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Hallo
mal angenommen ich habe ein Tensorfeld T(x). Jetzt führe ich eine Koordinatentransformation x -> x' durch und der Tensor transformiert sich dann etwa so
T'(x')=a(x)*T(x)
Auf der rechten Seite stehen aber noch die Koordinaten in x und auf der linken Seite in x'. Muss ich jetzt auf der rechten seite einfach nur x durch x' ersetzen oder muss ich x'(x) nach x auflösen und das dann - d.h. x(x') - auf der rechten Seite für x einsetzen?
Vielen Dank im Voraus |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 24. Jul 2012 20:35 Titel: |
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Wenn du x'=x einsetzt ist das nur eine Umbenennung deiner Achsen, da musst du nichts machen als die Umbenennung einsetzen.
Wenn du aber x'=b(y) x o.ä. einsetzt, dann musst du deine Ableitungen auch entsprechend anpassen, damit die Gleichung noch gültig ist. Habe ich dich richtig verstanden? |
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Gast88
Gast
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| Gast88 Verfasst am: 24. Jul 2012 21:14 Titel: |
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Ich mein das so
Ich habe doch eine Transformationsgleichung x'(x), welche zwischen zwei Koordinatensystemen vermittelt
Nun heißt es, dass bei der Transformationsgleichung eines Tensors T'(x')=a(x)*T(x) die Koordinaten mittransformiert werden müssen.
Ich frage mich da halt, ob damit gemeint ist, dass ich die Transformationsgleichungen der koordinaten nach x auflösen und dann dort einsetzen muss. Oder muss ich einfach nur x durch x' ersetzen.
Mal ein einfaches Beispiel:
Ich habe ein Skalarfeld f(x)=x².
und jetzt geh ich dazu in neue Koordinaten x'=x+a über. Dabei ist a einfach eine Konstante, also ich verschiebe die Koordinaten.
Ist jetzt das transformierte Feld f'(x')=x'² oder ist es f'(x')=(x'-a)²
logischer würde ich zweiteres finden und bisher habe ich auch immer gedacht, dass das so sei. Nur habe ich jetzt in einem Buch gelesen, dass von einem Tensorfeld T(x) zu einem Tensorfeld T'(x') übergegangen wird.
Und dabei ließe sich die infinitesimale Transformation in zwei Anteile zerlegen, nämlich df=(f'(x')-f(x'))+(f(x')-f(x))
Dabei ist eben f'(x')=f(x)+df die infinitesimale Transformation. Der erste Teil von df ist ein reiner Feldanteil, den man hinzuaddiert. Der zweite Teil kommt laut Buch von der Koordinatentransformation. Dabei meint f(x'), dass man in f(x) x einfach durch x' ersetzt. ich versteh nicht wie dieser Koordinatenteil zustande kommt. Wenn man z.B. die Maxwellgleichungen hat und diese lorentztransformiert, so dachte ich immer, dass man eben zum E- und B Feld irgendwas addieren oder multiplizieren muss damit die Maxwellgleichungen im neuen System genauso aussehen wie im alten System.
Zum Beispiel in der Elektrostatik:
Da gilt
div(E)=rho(x)
rho ist die Ladungsdichte und x sind alle raumzeitlichen Koordinaten. E ist der Feldstärkevektor mit den Komponenten (Ex, Ey, Ez)
Jetzt betrachte ich div'(E')
Dabei bedeutet div', dass die Divergenz in einem dazu entlang der x-Achse bewegten System zu bilden ist
Jetzt erhalte ich mit Kettenregel
div'(E')=dE'x/dx*gamma+dE'y/dy+dE'z/dz
gamma ist der Lorentzfaktor
um eben aus dieser Gleichung die gleiche Form wie die Gleichung im unbewegten System zu erhalten, setze ich
E'x=Ex
E'y=gamma*Ey
E'z=gamma*Ez
Dann erhalte ich nämlich
div'(E')=gamma*div(E)=gamma*rho
und dann definiert ich noch rho'=gamma*rho
und damit div'(E')=rho'
womit die Gleichung lorentzinvariant wäre.
rho ist aber ja noch von den Koordinaten abhängig, nämlich
rho'(x')=gamma*rho(x)
muss ich jetzt einfach x durch x' ersetzen oder die Transformationsgleichungen nach x auflösen und dort einsetzen? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 24. Jul 2012 21:38 Titel: Re: Tensortransformation |
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| Gast88 hat Folgendes geschrieben: |
Auf der rechten Seite stehen aber noch die Koordinaten in x und auf der linken Seite in x'. Muss ich jetzt auf der rechten seite einfach nur x durch x' ersetzen oder muss ich x'(x) nach x auflösen und das dann - d.h. x(x') - auf der rechten Seite für x einsetzen? |
Das zweite.
Bei einer Koordinaten Transformation von  zu ) transformiert sich ein Tensor gemaess:
 = \frac{\partial \bar{x}^{i_1}}{\partial x^{j_1}} \cdots \frac{\partial \bar{x}^{i_n}}{\partial x^{j_n}} \frac{\partial x^{l_{1}}}{\partial \bar{x}^{k_{1}}} \cdots \frac{\partial x^{l_m}}{\partial \bar{x}^{k_m}} T^{j_1\dots j_n}_{l_{1}\dots l_m}(x^1,\ldots,x^N).
<br />
)
Wobei dann am ende alle durch ) ersetzt werden.
Edit: Hab mir deinen zweiten langen Post nicht im Detail durchgelesen, aber das funktioniert im Prinzip genauso.
Edit2: Indizes auf Wunsch umbenannt 
Zuletzt bearbeitet von jh8979 am 24. Jul 2012 23:16, insgesamt 4-mal bearbeitet |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 24. Jul 2012 21:39 Titel: |
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| Gast88 hat Folgendes geschrieben: | [...]
rho'(x')=gamma*rho(x)
muss ich jetzt einfach x durch x' ersetzen oder die Transformationsgleichungen nach x auflösen und dort einsetzen? |
Du hast doch gar keine Koordinate x' eingeführt!
Allgmein setzt du x'=...
und dann nach der Kettenregel die Ableitungen:
d/dx = dx'/dx d/dx'
...
mit E'=E(x',...)
und rho'=rho(x',...), etc.
sollten dann die Gleichungen gültig bleiben.
| Zitat: |
Ist jetzt das transformierte Feld f'(x')=x'² oder ist es f'(x')=(x'-a)² |
Du hast entweder:
f'(x')=(x'-a)² oder f(x')=x'²
(hoffe man sieht die Striche)
letztere ist einfach eine Ersetzung x=x'
ersteres ist die Ersetzung: x=x'-a, daraus wird aus der Zuordnungsforschrift x-->f eine Zuordnung
x'-a -->f == x'-->f' |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18198
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| TomS Verfasst am: 24. Jul 2012 22:20 Titel: Re: Tensortransformation |
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@jh8979: die Position der Indizes stimmt manchmal nicht
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 24. Jul 2012 22:43 Titel: Re: Tensortransformation |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | @jh8979: die Position der Indizes stimmt manchmal nicht |
Meintest Du die in den Koordinaten (hab ich geaendert), die anderen sollten alle stimmen. Hab aus Faulheit nur von Wiki kopiert, aber die sind korrekt. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18198
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| TomS Verfasst am: 24. Jul 2012 23:06 Titel: |
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jetzt passt's; sieht aber kompliziert aus, weil du für obere und untere Indizes beidemale i's verwendest und nur den Index des Index hochzählst ;-)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 24. Jul 2012 23:15 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | jetzt passt's; sieht aber kompliziert aus, weil du für obere und untere Indizes beidemale i's verwendest und nur den Index des Index hochzählst ;-) |
Stimmt, wie gesagt, habs nur von Wiki kopiert weil ich zu faul zum selber TeXen war habs jetzt auf Deinen "Wunsch" hin geaendert. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18198
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| TomS Verfasst am: 24. Jul 2012 23:27 Titel: Re: Tensortransformation |
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In
definiert man nun noch die Transformationsmatrizen
und hat damit
 = \Lambda^{i_1}_{j_1} \cdots \Lambda^{i_n}_{j_n} \Lambda^{l_1}_{k_1} \cdots \Lambda^{l_m}_{k_m} T^{j_1\dots j_n}_{l_{1}\dots l_m}(x^1,\ldots,x^N).
<br />
)
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