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Nighel123
Anmeldungsdatum: 14.04.2012
Beiträge: 126
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 Nighel123 Verfasst am: 12. Jun 2012 23:36 Titel: Funktionaldeterminante |
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Moin,
in der gestellten Aufgabe steht folgendes:
Verifizieren Sie die folgenden Beziehung, die z.B. in der Thermodynamik eine wichtige Rolle spielt:
}{\delta(u,v)}=\dfrac{\delta(y,x)}{\delta(v,u)}=-\dfrac{\delta(y,x)}{\delta(u,v)})
aber ich hab keinen Plan für was u oder v steht. oder in welchem Koordinatensystem ich hier bin.
kann mir da einer helfen?
Gruß Nickel |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18198
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| TomS Verfasst am: 12. Jun 2012 23:58 Titel: |
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Es handelt sich wohl um eine Koordinatentransformation u=u(x,y), v=v(x,y)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 13. Jun 2012 20:13 Titel: |
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 \over\partial(u,v)} = {\partial x \over \partial u} {\partial y\over \partial v}-{\partial y \over \partial u}{\partial x \over \partial v})
Jacobi determinante.
Wenn ich mich recht erinnere, nochmal ins Skript schauen. die jeweils andere Größe ist festgehalten. (Erfüllt zumindest deine Gleichung)
Was x,y u,v sind spielt zunächst keine Rolle - dies ist Formalismus.
x,y könnten beispielsweise die Potentiale sein.
u,v dann die zugehörigen Variablen |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 13. Jun 2012 20:18 Titel: |
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... und danke für die korrekte Diffential-Schreibweise! Insbesondere in der Thermodynamik gibt es mindestens drei Sorten, die man sorgsam zu unterscheiden hat.  |
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ClickBox
Anmeldungsdatum: 19.02.2012
Beiträge: 124
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| ClickBox Verfasst am: 16. Jun 2012 15:22 Titel: |
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Gleichheit folgt aus der Determinantenregel/Definition: Vertauschen von Zeilen ändert das Vorzeichen:
}{\partial (u, v)} = det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} =-det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} \\ \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} \end{pmatrix} = - \frac{\partial (x, y)}{\partial (v, u)})
edit: Habe gerade gesehen, dass meine Gleichung von der im Eröffnungsthread abweicht, der Vorgang bleibt aber gleich unter der Berücksichtigung det(A^t) = det(A) |
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