Differentialgleichung einer rollenden Kugel

Thanatos · Anmeldungsdatum: 17.08.2005 Beiträge: 2

Hallo leute,

ich habe folgende Aufgabenstellung. Wie lautet die Differentialgleichung einer rollenden Kugel um diese Rollbewegung simulieren zu können.
Ich habe immer nur Formeln gefunden die die Endgeschwindigkeit berechnen. Habt ihr irgendwelche Ideen oder Ansätze?

Vielen Dank im vorraus
Thanatos

sax · Anmeldungsdatum: 10.05.2005 Beiträge: 377 Wohnort: Magdeburg

Was willst du simulieren ? Die Translationsbewgung, oder willst du auch die simulieren, wann die Kugel zu rutschen anfängt ?

Wenn mir niemand zuvor kommt, schreib ich die dgl nacher mal auf, im moment habe ich keine Zeit.

Passepartout · Anmeldungsdatum: 02.06.2005 Beiträge: 172 Wohnort: Lausanne

Hallo,

ich komme Sax mal zuvor Zunge

, das Problem hatte ich neulich auch.
Ich schätze mal, es geht um eine Kugel, die ausschließlich rollt, also nicht rutscht. Der Winkel, den die Neigung mit der Horzontalen einschließt sei

.

Dann gilt:

Wenn es nun hinreichend kleine Winkel sind, kannst den Sinus entwickeln, sodass sich ergibt:

Trägheitsmoment der Kugel bezüglich des Auflagepunktes ist:

Damit ergibt sich also für die Kugel

Hoffe, das haut hin :-)

Gruß Wink

,
Michael

sax · Anmeldungsdatum: 10.05.2005 Beiträge: 377 Wohnort: Magdeburg

@Passepartout
Sorry, ich glaube du hast da nen Denkfehler.
Ich nehme an du willst die Bewegung auf einer schiefen Ebene berechnen, und

soll der Neigungswinkel der Ebene sein, dieser Winkel ist aber nicht identisch mit dem Drehwinkel. Er ist ja nicht mal von dert Zeit abhängig.

Die Momentane Winkelgeschwindigkeit

des Mittelpunktes der Kugel um den Auflagepunkt, ist keinesfalls die Zeitableitung des Neigungswinkels der Ebene.
Die allgemeine Lösung deiner Differentialgleichung wäre

, wobei A und B Konstanten sind, wenn A ungleich null ist, wächst die Funktion exponentiel, solch ein Verhalten wäre doch schon sehr ungewöhlich für eine Kugel auf einer schiefen Ebene.

@Thanatos
Ich schreibe mal die Dgl. für die Transaltionsbewegung des Kugelmittelpunktes unter dem Einfluß einer, i. a. zeitabhängigen, äußeren Kraft

auf. Ich gehe davon aus, das Kraftrichtung und Bewegungsrichtung gleich sind.

Die Momentane Geschwindigkeit

des Kugelmittelpunktes hängt mit der Momentanen Winkelgeschwindigkeit zusammen:

, wobei r der Radius der Kugel ist.
Wenn wir das noch mal nach der Zeit ableiten haben wir

.
Weiterhin gilt für das Drehmoment, das durch die äußere Kraft ausgeübt wird:

Also gilt für die Änderung der Winkelgeschwindigkeit:

mit der oben beschriebenen Beziehung zwischen Beschleunigung des Mittelpunkts und Winkelbeschleunigung erhalten wir:

, wenn wir

einsetzen, egibt sich:

,
Dies ist die gewünschte Differentialgleichung. In älterer Literatur wird

auch als "Rollersatzmasse einer Kugel bezeichnet" bezeichnet, die Kugel ist etwas Träger als ein Massepunkt.

Bemerkenswert finde ich hierbei noch, das der Grenzwert

nicht zur Translatiobnbsbewegung des Massenpunktes führt. Das liegt daran, das die Winkelgeschwindigkeit für extrem kleine Kugeln unglaublich groß wird.

Für die Schiefe Ebene muß man für F die Hangabtriebskraft einsetzen, wenn wie bei Passepartout, der Neigungswinkel mit

bezeichnet wird, ergibt dies

Die Lösung erhält man durch integrieren.

Thanatos · Anmeldungsdatum: 17.08.2005 Beiträge: 2

ertsmal danke für die schnellen Antworten.

Die Kugel liegt auf einer schiefen Ebene.
Nun wird die Kugel losgelassen und rollt den Abhang herunter.
Wie verhalten sich jetzt Geschwindigkeit und Beschleunigung?
Ich versuche hierfür unter MATLAB Simulink ein geeignetes Modell zu erstellen, welches mir die Verläufe der Strecke, Geschwindigkeit und Beschleunigung darstellt. Hierfür benötige ich eine geeignete DGL.
Dieses Modell soll später erweitert werden, so dass die Kugel auf einer geraden Ebene liegt und angestossen wird (wie beim Billard). Dann rutscht die nämlich erst, bevor Sie ins rollen kommt. Auch hierfür sollen dann die obigen Verläufe dargestellt werden.

schöne Grüße
Thanatos

Gast

sax,

Das Trägheitsmoment einer Vollkugel ist 2/5*m*r^2. Wenn I nicht das Trägheitsmoment ist, wie hängt es mit diesem zusammen?
Und kannst Du mir erklären, wie man in der schiefen Ebene die Reibung berücksichtigen kann? Die Reibung ist ja c*m*g*cos(phi), wenn phi der Neigungswinkel und c der Reibungskoeffizient ist.

Gruß,
Stefan

Gast

Weiß vielleicht sonst jemand Rat?

Stefan