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Nachricht |
Meersalz
Gast
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 Meersalz Verfasst am: 26. März 2012 11:10 Titel: Was ist ein Fluss (flux)? |
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Hallo,
vorweg, ich bin kein Physiker, sondern Mathematiker, habe aber ein Problem, das wahrscheinlich eher zur Physik gehört:
Und zwar kämpfe ich seit einiger Zeit mit einem Konzept, das ich in der Biomathe kennen gelernt habe. Dort wird eine auf einem mit x beschriebenen Raum verteilte Population auf ihre Entwicklung unter der Zeit hin untersucht.
[l]n(x,t)[/l] bezeichnet die Anzahl der Individuen (oder die Populationsdichte) am Ort [l]x[/l] (z.B. aus R, R² oder R³) zur Zeit [l]t[/l].
[l]f(n(x,t))[/l] beschreibt Geburten/Tode, etwa mit [l]f=r \cdot n(x,t)[/l] (exponentielles Wachstum/Zerfall) oder [l]f=r \cdot n(x,t)\cdot \left( 1-n(x,t) \right)[/l] (logistisches Wachstum), oder was einem sonst so lieb ist.
[l]J[/l] ist der ominöse Fluss (flux).
Die Entwicklung der Population unter der Zeit und je nach Ort wird nun beschrieben durch
[l]\frac{\partial n(x,t)}{\partial t}= f \left( n(x,t) \right) - \nabla J[/l]
Als Beispiele für den Fluss werden [l]J=v(x) \cdot n(x,t)[/l] (Advektion, [l]v[/l] ist ein (zeitkonstantes) Geschwindigkeitsfeld) und [l]J=-\nabla n[/l] (Diffusion) genannt.
Wikipedia sagt mir, dass der Fluss die Einheit [Teilchen pro Fläche und Zeit] hat, d.h. angibt wie viele Teilchen eine gewisse Fläche in einer gewissen Zeit passieren. Das leuchtet mir auch ein.
Mir leuchtet aber zum Beispiel nicht ein, warum [l]J=v(x) \cdot n[/l] auch diese Einheit hat. Da sind es doch [Teilchen mal Geschwindigkeit], also [Teilchen mal Weg durch Zeit].
Noch weniger ist mir das für [l]J=-\nabla n[/l] klar. Hier ist mir überhaupt nicht klar, um welche Einheit es sich handelt. Was hat der negative Gradient von n mit [Teilchen pro Fläche und Zeit] zu tun?
*
Unabhängig davon stellt sich mir die Frage warum die allgemeine Gleichung oben [l]- \nabla J[/l] enthält. Was ist denn der Gradient von dem Fluss? Welche Einheit hat der?
Danke im Voraus für jede Hilfe.
Liebe Grüße |
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Meersalz
Gast
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| Meersalz Verfasst am: 26. März 2012 11:14 Titel: |
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Sorry, da ist etwas mit Latex schiefgelaufen, hier nochmal gescheit:
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Hallo,
vorweg, ich bin kein Physiker, sondern Mathematiker, habe aber ein Problem, das wahrscheinlich eher zur Physik gehört:
Und zwar kämpfe ich seit einiger Zeit mit einem Konzept, das ich in der Biomathe kennen gelernt habe. Dort wird eine auf einem mit x beschriebenen Raum verteilte Population auf ihre Entwicklung unter der Zeit hin untersucht.
) bezeichnet die Anzahl der Individuen (oder die Populationsdichte) am Ort  (z.B. aus R, R² oder R³) zur Zeit  .
)) beschreibt Geburten/Tode, etwa mit ) (exponentielles Wachstum/Zerfall) oder \cdot \left( 1-n(x,t) \right)) (logistisches Wachstum), oder was einem sonst so lieb ist.
 ist der ominöse Fluss (flux).
Die Entwicklung der Population unter der Zeit und je nach Ort wird nun beschrieben durch
}{\partial t}= f \left( n(x,t) \right) - \nabla J)
Als Beispiele für den Fluss werden  \cdot n(x,t)) (Advektion,  ist ein (zeitkonstantes) Geschwindigkeitsfeld) und  (Diffusion) genannt.
Wikipedia sagt mir, dass der Fluss die Einheit [Teilchen pro Fläche und Zeit] hat, d.h. angibt wie viele Teilchen eine gewisse Fläche in einer gewissen Zeit passieren. Das leuchtet mir auch ein.
Mir leuchtet aber zum Beispiel nicht ein, warum  \cdot n) auch diese Einheit hat. Da sind es doch [Teilchen mal Geschwindigkeit], also [Teilchen mal Weg durch Zeit].
Noch weniger ist mir das für klar. Hier ist mir überhaupt nicht klar, um welche Einheit es sich handelt. Was hat der negative Gradient von n mit [Teilchen pro Fläche und Zeit] zu tun?
*
Unabhängig davon stellt sich mir die Frage warum die allgemeine Gleichung oben  enthält. Was ist denn der Gradient von dem Fluss? Welche Einheit hat der?
Danke im Voraus für jede Hilfe.
Liebe Grüße |
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Uriezzo
Anmeldungsdatum: 15.09.2011
Beiträge: 281
Wohnort: Großostheim
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| Uriezzo Verfasst am: 26. März 2012 11:47 Titel: |
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In Deinem Fall ist als Dichte zu interpretieren, also als Anzahl pro Raumeinheit. Damit ist die Einheit von m-3 und für die Einheit des Flusses kommt wieder richtig Anzahl pro Fläche und Zeit heraus.
Die Gleichung }{\partial t} = - \nabla \vec{J}) ist bei uns Physikern als Kontinuitätsgleichung bekannt. Sie besagt nichts anderes, als dass alles was irgendwo (z.B. in ein Volumen) hineinfließt, wieder herauskommen muss. Die Veränderung der Dichte (Anzahl an einem Raumpunkt) mit der Zeit }{\partial t}) ist gleich des Flusses in oder aus einer "Fläche", die den Raumpunkt umgibt ( nichts anderes berechnet  , siehe Gaußscher Satz).
In Deinem Fall ist diese Gleichung nicht exakt erfüllt, da es ja zu Geburten und Sterbefällen kommen kann. Das wird dann mit der Funktion  berücksichtigt. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18198
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| TomS Verfasst am: 26. März 2012 11:50 Titel: |
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Starte mal mit der Kontinuitätsgleichung
Dabei sind die Einheiten zweitrangig, da die Gleichung in unterschiedlöicehsten Kontexten vorkommen kann. Letztlich besagt sie, dass eine zeitliche Änderung der Dichte mit einem Strom verknüpft ist.
Integriert man die Gleichung über ein Volumen V, so kann man den zweiten Term mittels des Gausschen Integralsatzes in ein Oberflächenintegral über die Oberfläche S umwandeln.
Dann gilt
D.h. die Änderung einer Menge von "Etwas" definiert als das Volumenintegral entspricht einem Fluss dieses "Etwas" durch die Oberfläche. Wenn also "Etwas" im Inneren von V weniger wird, dann fließt genau dieses "Etwas" durch die Oberfläche S.
Das "Etwas" können nun Teilchen sein, oder die elektrische Ladung, oder auch Masse im Falle eines Massenstromes (z.B. durch eine Membran). Wichtig: die Gleichung gilt sehr allgemein, insbs. muss V und S keinesfalls tatsächlich physikalisch realisiert sein; d.h. am Beispiel des Massenflusses: das gilt z.B. für den Fall der Membran, aber auch für jedes gedachte Volumen in einem Flusslauf auch ohne Membran!
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Meersalz
Gast
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| Meersalz Verfasst am: 26. März 2012 12:52 Titel: |
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Mit der Integraldarstellung wird mir die Sache tatsächlich etwas klarer, danke.
Trotzdem würde ich gerne  deuten können, ohne auf das Integral zu sprechen zu kommen. Geht das? Wie gesagt, wenn der Fluss die eine Fläche in einer Zeit passierenden Teilchen angibt, was ist dann der negative Gradient davon anschaulich?
@Uriezzo: Warum wie du sagst "den Fluss in oder aus einer "Fläche", die den Raumpunkt umgibt" angibt, ist mir nicht klar. Der Satz von Gauß hilft mir bei dem Verständnis auch nicht weiter.
Ich denke so: Der Gradient (=Ableitung) des Flusses in einem Punkt gibt mir an, wie sich der Fluss ändert, wenn ich mich räumlich infitisemal von dem Punkt weg bewege. Wie diese Größe jetzt aber in der Gleichung  wirkt bzw. zu interpretieren ist, verstehe ich nicht.
Auch nochmal zurück kommen möchte ich auf die Flüsse \cdot n(x,t)) und ) , bei denen mir nach wie vor nicht klar ist, wie ich die irgendwie als Teilchen pro Fläche pro Zeit deuten kann... |
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Uriezzo
Anmeldungsdatum: 15.09.2011
Beiträge: 281
Wohnort: Großostheim
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| Uriezzo Verfasst am: 26. März 2012 13:23 Titel: |
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| Meersalz hat Folgendes geschrieben: | | Trotzdem würde ich gerne deuten können, ohne auf das Integral zu sprechen zu kommen. |
Zum Verständnis genügt eigentlich die Integraldarstellung. Dass man über sie auf kann man dann ganz einfach allgemein berechnen und so nachvollziehen.
| Meersalz hat Folgendes geschrieben: |
@Uriezzo: Warum wie du sagst "den Fluss in oder aus einer "Fläche", die den Raumpunkt umgibt" angibt, ist mir nicht klar. Der Satz von Gauß hilft mir bei dem Verständnis auch nicht weiter.
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Das, was ich versucht habe zu beschreiben, ist genau das Oberflächenintegral in der Integraldarstellung, von dem TomS spricht:
Ich integriere dabei den Fluss über eine geschlossene Fläche:
Und dieses Integral entspricht nach dem Gausschen Satz dann folgendem Volumenintegral:
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18198
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