schiefer wurf 45°

dhooooo4 · Anmeldungsdatum: 11.10.2011 Beiträge: 1

Meine Frage:
hallo

ist jetzt vieleicht eine blöde frage, aber wieso ist eigentlich bei einem schiefen wurf ohne luftwiderstand der optimale abwurfwinkel 45°?

gibt es dazu auch eine mathematische begründung?

Meine Ideen:

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

dhooooo5 · Gast

ahh danke alles klar
super Thumbs up!

physikfan · Anmeldungsdatum: 15.06.2010 Beiträge: 21

Das hatte ich vor knapp 2 Jahren in der Schule noch hergeleitet.

Stell dir einen Wurf aus der Höhe Null vor.

Der geworfene Ball fliegt mit einer Anfangsgeschwindigkeit von v. Jetzt wollen wir aber wissen, welche Strecke der Ball in x-Richtung und welche Strecke er in y-Richtung zurücklegt. Dazu kann man einfach ein Dreieck erstellen, bei dem die Hypotenuse s=v*t ist. Die Ankathete sx=cos(a)*v*t ist die Strecke in x-Richtung. Die Gegenkathete sy=sin(a)*v*t ist die Strecke in y-Richtung.

sx=cos(a)*v*t
sy=sin(a)*v*t

Wir müssen aber die Schwerkraft berücksichtigen. Dann ergibt sich

sx=cos(a)*v*t
sy=sin(a)*v*t -0.5*g*t²

a ist der Abwurfwinkel (90 Grad wäre ein vertikaler Wurf ohne x-Komponenten).

So, nun interessieren wir uns für den weitesten Weg. Mit Weg ist der Weg in x-Richtung gemeint bis der Ball am Boden ankommt (Höhe y=0).

sy=0
sy=sin(a)*v*t -0.5*g*t²=t*(sin(a)*v-0.5*g*t)=0
Eine Lösung dieser Gleichung ist t=0 (man beachte das t vor der Klammer). Dafür interessieren wir uns aber nicht, weil der Ball zum Zeitpunkt t=0 ja noch nicht abgeworfen wurde.
Wir teilen durch t und suchen nun die Lösung dieser Gleichung:
sin(a)*v-0.5*g*t=0
0.5*g*t=sin(a)*v
t=2*sin(a)*v/g
Diese Zeit ist die Zeit, die der Ball braucht, um nach dem Abwurf wieder den Boden zu erreichen (y=0). Aber welchen Weg in x-Richtung legt der Bann dabei zurück? Wir setzen t in sx=cos(a)*v*t ein.
Also: sx=cos(a)*v*2*sin(a)*v/g
Jetzt ist also die frage: Wann erreicht sx(a) sein Maximum? Wir leiten sx(a) nach a einmal ab und setzen die Ableitung gleich Null, da die Steigung an einem Maximum Null ist. Jedoch könnten wir hier genauso gut ein Minimum erreichen. Dazu später..

d(sx)/da = cos(a)*cos(a)*2*v²/g - sin(a)*sin(a)*2*v²/g
= 2*v²/g *(cos(a)² -sin(a)²)
Das setzen wir gleich Null:
2*v²/g *(cos(a)² -sin(a)²) = 0
Da cos(a)^2 + sin(a)² =1 immer gilt, gilt -sin(a)² = cos(a)² -1

und somit:
2*v²/g *(2*cos(a)² -1) = 0
4 * v^2 *cos(a)² /g = 2*v² /g
cos(a)² = 0.5
cos(a) = +- Wurzel(0,5) ist eine Lösung der Gleichung
arccos(Wurzel (0,5) ) ergibt a=45°
arccos(Wurzel (-0,5) ) ergibt a=135° , da a dann aber größer als 90 ° ist, kann hier nicht das gesuchte Maximum liegen.

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Hallo physikfan,

Du scheinst nicht nur ein Fan der Physik, sondern vor allem ein Rechenfan zu sein. Wie in meinem vorigen Beitrag bereits erwähnt, geht die Bestimmung des Winkels, bei dem die maximale Wurfweite erzielt wird, deutlich einfacher als von dir vorgeschlagen. In der auch von dir ermittelten Gleichung für die Wurfweite