Schwingungen (Bohrung durch Erde)

mh1989 · Anmeldungsdatum: 22.05.2011 Beiträge: 1

Meine Frage:
Man denke sich in der Erdkugel eine Bohrung von Pol zu Pol, in die man eine Masse m hineinfallen läßt.
(a) Welche Periodendauer T der sich einstellenden Schwingung der Masse
zwischen den Polen würde man feststellen?
(b) Wie groß ist ihre Geschwindigkeit im Erdmittelpunkt?

Meine Ideen:
a)Gravitationsgesetz FG= ymM/r²

w= Wurzel(g/R)

b) Epot = Ekin

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Geh mal in die Suchfunktion mit "Tunnel Erde" / alle Wörter.

Keplerfan · Anmeldungsdatum: 19.05.2011 Beiträge: 252

Damit hat mich mal ein Professor auf den Arm genommen ... wenn ich mich nicht täusche, kann man die Keplerschen Gesetze (entartete Ellipse) anwenden!

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Das ist kein KEPLER Problem. Ansonsten schon tausendmal gelöst.

Keplerfan · Anmeldungsdatum: 19.05.2011 Beiträge: 252

Die Masse m befindet sich doch auf einer Keplerbahn um den gemeinsamen Schwerpunkt mit der Erde, meine ich. Daraus sollte sich die Umlaufdauer T errechnen lassen. Kann natürlich sein, dass mathematische Probleme auftauchen.

Es gilt edit: zwar bei Kepler, aber wohl nicht hier:

.

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5063

Da es nicht die Lösungen sein werden, die der Fragesteller erwartet, kann ich sie ja einfach mal hinschreiben:

(a) rund 77 Minuten
(b) rund 10 km/s

Kleiner Tipp: Die Erde ist weder eine Punktmasse noch eine homogene Vollkugel.

Keplerfan · Anmeldungsdatum: 19.05.2011 Beiträge: 252

Hm ... dann hat mich meine Erinnerung wohl betrogen.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Keplerfan · Anmeldungsdatum: 19.05.2011 Beiträge: 252

Ich habe nun gesucht und hier die Lösung gefunden:
http://netphysik.de/forum/artikelsammlung/eigene-artikel-fertig/3377-tunnel-durch-die-erde/

Interessant, dass da einfach ein harmonischer Oszillator rauskommt!

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Übrigens ist dessen Schwingungszeit = Umlaufzeit eines Satelliten. Man trifft sich also regelmäßig. smile

Keplerfan · Anmeldungsdatum: 19.05.2011 Beiträge: 252

Hm ... hat Kepler also doch seine Finger im Spiel?

Keplerfan · Anmeldungsdatum: 19.05.2011 Beiträge: 252

Interessanterweise hatte ich mal von einem Experten gehört, dass man die Bewegungsgleichungen der Planetenbewegung auf einen harmonischen Oszillator transformieren kann. Diese Transformation zu finden ist allerdings alles andere als einfach.
Frage mich gerade, ob das irgendwie entfernt damit zusammen hängt.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Es handelt sich eher um zwei Lösungen für den zweidimensionalen Oszillator.

Keplerfan · Anmeldungsdatum: 19.05.2011 Beiträge: 252

Weißt du zufällig, wo man das lesen kann?
edit: Habs schon gefunden. Bei Interesse PN. Tanzen

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Warum nicht hier?

Keplerfan · Anmeldungsdatum: 19.05.2011 Beiträge: 252

http://arxiv.org/abs/0803.4441

Kyri · Gast

Ich habe genau das selbe Problem und sitze jetzt schon seit geschlagenen 6 Stunden vor genau dieser Aufgabe.

In diesem Thread hier hab ich nun gefunden, dass mehrere User schon den Link zur Aufgabenbewältigung aus dem netphysik-forum als Lösungsansatz genannt haben - aber wie komme ich denn da auf die Periodendauer T? (bei Aufgabe a) oder auf die Geschwindigkeit im Erdmittelpunkt? (siehe b)

Es wäre super, wenn irgendwer mir dazu einen Ansatz geben könnte!

Vielen Dank schon mal im Voraus!

Keplerfan · Anmeldungsdatum: 19.05.2011 Beiträge: 252

Das ergibt sich beides aus der Gleichung für den harmonischen Oszillator. Dieser schwingt ja mit einer gewissen Periodendauer, die sich direkt aus der Gleichung ablesen lässt. Ebenso kannst du die Lösung nach der Zeit differenzieren und erhältst so die Geschwindigkeit zu jedem beliebigen Zeitpunkt. Du musst dir dann überlegen, wann sich die Masse genau im Mittelpunkt befindet, welche Zeit du also einsetzen musst.

biggie · Gast

soo ich hab endlich was raus. ich hoffe es ist auch richtig so.

radius=6378km=6378*10³m
g=9,82m/s²

a)
T=2pi*wurzel m/D D=mg/r

T=2pi*wurzel mr/mg=2pi*wurzel r/g (Masse kürzt sich hier dann weg)

dann die werte in die formel eingeben.

T=5066,3s=84,4min

b)
v=wurzel gr
v=7910m/s=28476km/h

ich hoffe meine mühe hat sich gelohnt.