lagrange 2ter art

tik · Gast

Guten Tag,

wir hatten gerade Lagrange 2 und müssen nun auch ein Problem damit lösen, das mir nicht so ganz klar ist.

Es geht um eine schiefe ebene, auf der rutscht eine Masse herunter und diese schiefe ebene wird durch die herunterrutschende Masse beschleunigt(nur horizontal), es ist mir jetzt leiter nicht klar wie ich die lagrange gleichungen aufstelle.

L=T-V für die masse die oben liegt wäre das ja dann
L=1/2*m*v^2-m*g*z
die ebene hat denke ich mal keine potentielle energie, da man sie ja als nullpunkt wählen kann?
daher bekommt sie bewegungsenergie, jetzt ist aber die frage, wie genau stelle ich das in den lagrange gleichungen da?

Keplerfan · Anmeldungsdatum: 19.05.2011 Beiträge: 252

Bei Lagrange 2. Art brauchst du, wenn mich meine Erinnerung nicht trügt, zunächst einmal die "richtigen" Zwangskoordinaten. Das bedeutet, dass alle Zwangsbedingungen in diesen enthalten sind, ohne dass man zusätzliche Gleichungen braucht. Löse am besten erst einmal die normale schiefe Ebene, in dem du eine einzelne Koordinate l verwendet, die die Position des Teilchens entlang dieser Ebene beschreibt. Das musst du dann in x und z und deren zeitliche Ableitung umrechnen und in die normale Lagrange-Funktion einsetzen, so dass nur noch eine Koordinate (l) anstatt zweien (x und z) in der Bewegungsgleichung auftaucht. Danach kannst du dir überlegen, welche Zwangskoordinaten du für deinen allgemeineren Fall verwenden musst.

Chillosaurus · Anmeldungsdatum: 07.08.2010 Beiträge: 2440

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Keplerfan · Anmeldungsdatum: 19.05.2011 Beiträge: 252

Wenn man sich die Ebene als "Skateboard-Rampe auf Rollen" mit einer gewissen Masse M vorstellt, müsste das doch gehen ... Mir sind die neuen Zwangskoordinaten für diesen Fall allerdings noch nicht ganz klar. Die Beschleunigungskraft der Rampe ist jedenfalls die negative Zwangskraft in x-Richtung, die beim Lagrange 1. Art dafür sorgt, dass der Partikel auf der Ebenen bleibt.

Keplerfan · Anmeldungsdatum: 19.05.2011 Beiträge: 252

Versuch mal, ob folgende Koordinaten zum Ziel führen:

X ist dabei die x-Position der Rampe,

deren Neigungswinkel und l die Position des Partikels entlang der Rampe (quasi mit einem Lineal gemessen, das man auf der Rampe anlegt).

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Jetzt bin ich auf X gespannt.

Keplerfan · Anmeldungsdatum: 19.05.2011 Beiträge: 252

X ist ein zweiter Freiheitsgrad, die konkrete Form wird also über die Bewegungsgleichungen bestimmt. Man gibt noch einen kinetischen Energie-Term für X und die Masse M in die Lagrangefunktion und erhält Bewegungsgleichungen für X und l. So hatte ich mir das gedacht ... Weil die Lagrangegleichungen Newtons Gesetze ala "Kraft=Gegenkraft" schon enthalten, müsste die richtige Bewegungsgleichung folgen. Stimmt's?

Bin mir selbst nicht so ganz sicher. grübelnd

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Möchte vorsichtig meinen Vorschlag wieder aufgreifen: In böse

t) eine zwangsweise bewegte geneigte Ebene "unterzubringen". Das entspricht zwar nicht dem Aufgabentext (der vielleicht nochmal zu prüfen wäre), ist aber eine traditionelle Übungsaufgabe.

Ansonsten möchte ich gern wissen, wie die Dynamik der "Ebene" eigentlich vonstattengehen soll. Ist das eine befestigte oder frei rutschende oder fallende Platte?? mfG

tik · Gast

die aufgabe ist definitiv so, die ebene ruht reibungsflos auf einer horizontalen fläche und ich schätze mal der klotz hat ja eine kraftkomponente in x richtung daraus folgt mit kraft=gegenkraft die beschleunigung der ebene in -x ?

das problem ist das wir in der vorlesung das ganze nur mit zwei klaren massenpunkte die irgendwie(pendel) miteinander in beziehung standen als beispiel hatten. dort war es relativ einfach die generalisierten koordinaten zu finden.

hier bin ich mir nicht so sicher, weil ich die ebene ja nicht einfach als massenpunkt behandeln kann ?!

Keplerfan · Anmeldungsdatum: 19.05.2011 Beiträge: 252

Es kommt auf die Freiheitsgrade an. Die Ebene kann nicht rotieren und sich nur entlang der x-Achse bewegen, auch nicht spontan in ihre Einzelteile zerfallen, deshalb kann sie nur in dieser Bewegung entlang der x-Richtung Energie bzw. Impuls speichern. Sie hat nur diesen einen Freiheitsgrad.
Deshalb ist sie in diesem Problem in ihrer Bewegung äquivalent zu einem Massenpunkt, der sich nur in x-Richtung bewegen kann.

Meiner Meinung nach müsste es ausreichend sein, die kinetische Energie der Rampe mit

anzusetzen, wenn M die Masse der Ebenen/Rampe ist, und diese zur ursprünglichen Lagrange-Funktion zu addieren. Die Zwangskoordinaten würde ich so wählen, dass der Klotz einerseits entlang der Ebene rutscht (bei mir beschrieben durch l) und diese Ebene sich andererseits entlang der x-Richtung bewegen kann (beschrieben durch X). Die beiden Koordinaten üben dann in den beiden Lagrange-Gleichungen automatisch Kräfte aufeinander aus. Kannst ja mal versuchen, ob was Sinnvolles rauskommt. smile

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Würde hier vielleicht mit den traditionellen Koordinaten beginnen
y = s sin \alpha
x = X + s cos \alpha
merkwürdig ...