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Nano
Anmeldungsdatum: 25.08.2006
Beiträge: 23
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 Nano Verfasst am: 08. Mai 2011 15:03 Titel: Differentialgleichung für Bremsbewegung |
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Hallo,
da ihr mir schonmal so toll geholfen habt, würde ich mich freuen, wenn es auch diesmal klappt.
Es geht um folgende Augabe:
Ein Zug besitzt ein Bremssystem, welches proportional zur Geschwindigkeit ist.
a = -c * v; c=Konstante
1) Lösen Sie die Differentialgleichung und bestimmen Sie v (t).
2) Bestimmen Sie die zurückgelegte Strecke durch Integration.
zu 1 habe ich folgendes:
a + c * v = 0
 = -c * v
*  = -c
Weiß aber nicht wie es weitergeht 
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Grüße |
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
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| Rmn Verfasst am: 08. Mai 2011 15:23 Titel: |
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Bleiben wir einfach mal bei dieser Gleichung
a + c * v = 0
bzw.
}{dt} + c v(t) = 0)
Das ist eine lineare homogene Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Man löst solche Geichungen einfach durch Substitution
=Ae^{\lambda t})
Setzt man nun diesen Ausdruck in die Gleichung ein, so kann man  ermitteln.  ergibt sich dann, wenn man anschließend die Anfangbedingung =v_0) verwendet. |
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Nano
Anmeldungsdatum: 25.08.2006
Beiträge: 23
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| Nano Verfasst am: 08. Mai 2011 15:33 Titel: |
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also
 = 0)
mhh, und wie leite ich nun diese e Funktion ab?
Danke nochmals |
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
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| Rmn Verfasst am: 08. Mai 2011 15:35 Titel: |
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Für zweites v(t) in der Formel sollst du das auch einsetzen.
Weiß du nicht, wie man eine exponentielle Funktion ableitet? |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 08. Mai 2011 15:39 Titel: |
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| Nano hat Folgendes geschrieben: | | a + c * v = 0 |
und jetzt setzt Du einfach a=dv/dt ein:
Manche haben das lieber in der Form:
Diese homogene Dgl. erster Ordnung hat bekanntlich die Lösung
mit 
Zu 2.
 + K)
Die Integrationskonstante K ergibt sich aus der Anfangsbedingung s(0)=0, denn es wird ja offensichtlich nach dem zurückgelegten Weg ab Bremsbeginn (t=0) gefragt.
=0=-\tau\cdot v_0\cdot e^0 +K\qquad\Rightarrow\qquad K=v_0\cdot\tau)
In die Gleichung für s eingesetzt:
= \frac{v_0}{c} \left( 1-e^{-c\cdot t} \right)) |
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Nano
Anmeldungsdatum: 25.08.2006
Beiträge: 23
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| Nano Verfasst am: 08. Mai 2011 15:39 Titel: |
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ist ziemlich lange her. Kettenregel schwirrt mir im Kopf rum. |
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
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| Rmn Verfasst am: 08. Mai 2011 15:47 Titel: |
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@GvC
war es notwendig komplette Lösung vorzugeben? |
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Nano
Anmeldungsdatum: 25.08.2006
Beiträge: 23
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| Nano Verfasst am: 08. Mai 2011 15:48 Titel: |
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Danke für die ausführliche Antwort. Leider habe ich nicht alles verstanden.
| GvC hat Folgendes geschrieben: |
Diese homogene Dgl. erster Ordnung hat bekanntlich die Lösung
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Wie kommt man darauf?
Nochmals danke. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 08. Mai 2011 16:09 Titel: |
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@Nano
Siehe den Beitrag von Rmn.
@Rmn
Siehst Du, Nano hat noch genug damit zu tun, Deinen Beitrag zu verarbeiten. Da hat mein Beitrag ohnehin nur den Lösungsweg aufgezeigt. Die Fragesteller scheitern sehr häufig nicht am physikalischen Verständnis, sondern am einfachen Rechnen (Mathematik möchte ich das gar nicht nennen). Allerdings beeinflussen diese beiden Bereiche einander durchaus. Wenn man ihnen also beim Rechnen auf die Sprünge hilft, unterstützt man möglicherweise das physikalische Verständnis. |
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Nano
Anmeldungsdatum: 25.08.2006
Beiträge: 23
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| Nano Verfasst am: 08. Mai 2011 16:26 Titel: |
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also
Jetzt könnte ich zwar damit noch ne Weile rumspielen, aber wie komm ich denn jetzt auf v?
Oder ist die Ableitung gar falsch?
Danke |
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
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| Rmn Verfasst am: 08. Mai 2011 16:38 Titel: |
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Kürze und  . Dadurch gewinnst du .
Nun kannst du es in einsetzen, dann hast du dein v(t).
Es bleibt nur A zu berechnen, dazu setze t=0 in v(t) ein. |
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Nano
Anmeldungsdatum: 25.08.2006
Beiträge: 23
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| Nano Verfasst am: 08. Mai 2011 17:00 Titel: |
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Ahh, das ist mal einfach:
 = A e^{-c t}
<br />
<br />
v (0) = A e^{\lambda 0} <=> A = v(0)
<br />
<br />
=> v (t) = v (0) e^{-c*t}
<br />
<br />
)
Das kann ich machen, weil A eine Konstante ist.
Ich glaub, ich habe alles soweit verstanden. Irgendwie ein genialer Rechenweg.
Vielen Dank euch beiden. |
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