Chaostheorie: Attraktor-ähnliche Phänome?

Bohnemann · Anmeldungsdatum: 30.04.2011 Beiträge: 4

Meine Frage:
Wenn Attraktoren im Phasenraum eine Art Sackgasse bedeuten, gegen die Systemzustände konvergieren, sind dann auch 'Umgehungsstraßen' denkbar - also zwei verschiedene Bedingungen, die zwar zunächst verschiedene Systemzustände bedeuten, dann aber wieder zu völlig identischen (chaotischen) Zuständen zusammenlaufen, ohne dass man zurückverfolgen könnte, welche der Bedingungen nun vorausgegangen sind. Wenn ja, welche Namen haben solche Phänomene? Alternativ gerne auch ein Begriff aus Conways Spiel des Lebens.

Meine Ideen:
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dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Einverstanden, in ein und denselben Attraktor kann man natürlich auch aus zwei völlig unterschiedlichen Ausgangszuständen heraus reinlaufen.

Deshalb heißt das ja auch Attraktor, weil es verschiedene Trajektrorien "anziehen" kann.

Weil mir das eine relativ normale Eigenschaft eines Attraktors zu sein scheint, fällt mir dazu momentan kein besonderer Spezialbegriff dazu ein.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18093

Ein Attraktor hat die Eigenschaft, Zustande aus einem gewissen "Bereich" des Phasenraumes "anzuziehen", d.h. das System "bewegt sich" auf diesen Attraktor zu. Da dies eben für einen großen Bereich des Phasenraumes zutreffen können sich durchaus mehrere (eigtl. unendlich viele) Systeme (defniert durch Punkte im Phasenraum) auf den selben Attraktor zubewegen.

Am einfachsten betrachtet man verschiedene Klassen von Attraktoren.

Ein gedämpftes Pendel (Pendel mit Reibung) und ohne äußere Kraft hat als Attraktor für den gesamten Phasenraum einen Punkt, nämlich "Auslenkung = 0" und Winkelgeschwindigkeit = 0"; der Attraktor ist null-dimensional. In komplizierteren Fällen kann der gesamte Phasenraum in Attraktoren zerfallen, d.h. jeder Punkt liegt auf einem Attraktor (im obigen Fall für ein Pendel mit periodischer äußerer Kraft) könnten das z.B. konzentrische Ellipsen sein (eine Ellipse je Maximalbetrag der Kraft); ein spezieller Attraktor wäre dann eindimensional. Ganz kompliziert wird es im Falle chaotischer Systeme mit fraktalen Attraktoren, d.h. mit gebrochenzahliger Dimension.

Einen Bezug zum "Game of Life" kann ich jedoch nicht erkennen.

Bohnemann · Anmeldungsdatum: 30.04.2011 Beiträge: 4

Vielen Dank schonmal für die Antworten, aber ich glaube, ich muss meine Frage nochmal präzisieren.

Mit der Turingmaschine 'Ameise' oder dem besagten 'Game of life' ist es ja möglich, chaotisches Verhalten zu simulieren. Bei der 'Ameise' (klassische Version) haben wir beispielsweise den Effekt, dass sich nach mehreren Tausend Schritten eine sogenannte Autobahn entwickelt, die ja auch einen Attraktor darstellt. Verschiedene Anfangsbedingungen können durch setzen von Punkten erfolgen. Die Straße wird denke ich trotzdem entstehen, aber wahrscheinlich an einer anderen Stelle. Unabhängig von der Punktsetzung konvergieren die Systeme zu einer Straßenbildung, die entstandenen Bilder sind jedoch verschieden.

Meine Frage ist jetzt, ob es auch verschiedene Anfangsbedingungen gibt, die zwar eine zeitlang zwangsweise zu verschiedenen Bildern führen, irgendwann aber zu identischen Bildern führt. Bei 'Ameise' ist dies nicht möglich, aber bei dem 'Game of Life' könnte das ja sein. Gibt es für diesen Effekt einen Namen. Gibt es dazu einen analogen Begriff in der Chaostheorie?

Bohnemann · Anmeldungsdatum: 30.04.2011 Beiträge: 4

Jetzt weiß ich, wie ich meine Frage einfach stellen kann:

Können Trajektorien zusammenlaufen?

(Das Trajektorien sich nicht spalten oder kreuzen dürfen (was ja ein Zusammenlaufen und eine sofortige Spaltung wäre), ist klar.)

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18093

OK, jetzt verstehe ich, worauf du hinauswillst.

Im Falle des Game of Life können "Trajektorien" tatsächlich zusammenlaufen. Betrachtet man zwei verschiedene Konfigurationen X und X', so kann daraus tatsächlich eine für X und X' identische Nachfolge-Konfiguration Y entstehen. D.h. die "Zeitentwicklung" im Game of Life ist nicht umkehrbar, man kann aus Y nicht die Vorgängerkonfiguration ermitteln: war es X oder X' ? man weiß es nicht.

Anders ist es im Falle der klassischen Mechanik, auch im Falle eines chaotischen Systems. Die Zeitentwicklung ist prinzipiell deterministisch (das ist sie im Fale des Game of Life auch) und umkehrbar (das ist sie im Falle des Game of Life nicht). Ein klassisches System wird immer, auch wenn es aus extrem vielen Freiheitsgraden mit komplizierten Wechselwirkungen besteht, durch ein System von Differentialgleichungen beschrieben, die den jeweils nächsten Zustand des Systems eindeutig beschreiben. Fehlende Eindeutigkeit resultiert höchstens aus dem Mangel an Information, d.h. zwei grundsätzlich verschiedene Zustände werden identifiziert, weil sie zu nahe beieinanderliegen und praktisch nicht unterschieden werden können. Das ist aber eine Folge der begrenzten Rechengenauigkeit o.ä., kein prinzipielles Problem.

Man kann also in der klassischen Mechanik die Trajektorie eines Teilchens bzw. eines Systems von Teilchen (im Phasenraum) immer in der Zeit invertieren, d.h. vorwärts oder auch rückwärts eindeutig verfolgen.

Sagt dir die Hamiltonsche Formulierung der klassischen Mechanik, die Hamiltonschen Gleichungen, der Phasenraum sowie das Liouville-Theorem etwas?

http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_(Hamiltonian)

Im deutschen Artkel ist m.E. ein Fehler, da das Liouville-Theorem auf konservative Kraftfelder und diese wiederum auf Potential-Felder eingeschränkt werden. Es ist richtig, dass dissipative Systeme, in denen keine Energieerhaltung gilt (Reibungsterme!) das Liouville-Theorem nicht gilt, aber Reibungsterme entstehen ja nur durch eine Näherung und sind spätestens auf molekularer Ebene auch wieder durch energieerhaltende WWs beschreibbar. Die Einschränkung auf Potentialfelder ist m.E. falsch, warum sollte das Liouville-Theorem z.B. für Teilchen in Magnetfeldern nicht gelten?

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Bohnemann · Anmeldungsdatum: 30.04.2011 Beiträge: 4

Danek TomS. Das wollte ich wissen. Ist ja soweit auch alles logisch. Ich habe nur ein wenig gehofft, dass es vielleicht irgendwelche Sachverhalte gibt, die so intuitiv wie parallele Geraden sind, die im Unendlichen zusammenlaufen, und Trajektorien trotzdem zusammenlaufen lassen.
Und danke auch nochmal für die weiterführenden Begriffe.