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Fafner
Anmeldungsdatum: 16.03.2011
Beiträge: 7
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 Fafner Verfasst am: 16. März 2011 14:16 Titel: Gravitationswirkung einer Scheibe |
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Hallo Forum,
im Rahmen einer Studienarbeit interessiert mich das Gravitationsfeld von nicht kugelförmigen Körpern. Im speziellen Fall soll das jetzt mal eine Scheibe sein.
Im Prinzip läuft es darauf hinaus, das Gravitationszentrum zu finden. Meine erste Intuition sagt mir, dass es sich dabei um den Mittelpunkt der Scheibe handeln muss - damit wäre das Gravitationszentrum identisch mit dem Massenmittelpunkt (wie es sich auch gehört^^).
Ich hab jedoch neulich gelesen, dass das nicht so trivial ist mit der Gleichsetzung dieser beiden. Deshalb erhoffe ich mir über die Berechnung des Gravitationspotentials eine Lösung des Problems.
Und nun gehts los:
Wir betrachten eine nicht unendlich dünne Scheibe (also sie hat Radius R und ne Höhe h).
Die Dichteverteilung innerhalb der Scheibe sei homogen (also  =konstant im Innern).
Die Gravitationskraft  , die auf einen Probekörper in der Umgebung wirkt, errechnet sich aus
 ) __________(1)
wobei  ) das Gravitationspotential ist. Dieses widerum ergibt sich aus:
 = 4 \pi G \rho(\vec{r}) ) . __________(2)
Soweit, so gut. (Stimmt doch alles bisher?)
Folgende Rätsel bleiben mir auf:
- In (1) steht das GravPotential in der ersten Ableitung, in (2) jedoch in der zweiten. Wenn ich (2) in (1) einsetzen will, kann ich das einfach machen, indem ich (2) integriere (3 mal, nach dx dy dz) ?
- Wie stelle ich die Dichteverteilung einer Scheibe dar? Hab mit der Idee der Diracschen Deltafunktion gepielt...aber ich komm einfach nicht drauf, wie ich damit dreidimensionale Volumina beschreiben soll. Nur Kreise und Kugelhüllen und so bekomm ich hin.
Für jede Art von Hilfe wär ich dankbar. Literaturempfehlungen (am besten mit Angabe des Themenunterpunktes oder ca. Seitenzahlen) wären auch denkbar. Aber vielleicht doch lieber direkte Ideen ;-)
Fafner
Zuletzt bearbeitet von Fafner am 16. März 2011 15:57, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18082
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| TomS Verfasst am: 16. März 2011 15:12 Titel: |
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Im Falle einer Scheibe benötigst du die Delta-Funktion in einer bestimmten Koordinatendarstellung, z.B.
 = q(r,\phi)\,\delta(\theta))
in Kugelkoordinaten.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Fafner
Anmeldungsdatum: 16.03.2011
Beiträge: 7
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| Fafner Verfasst am: 16. März 2011 15:55 Titel: |
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Mit Kugelkoordinaten loszulegen liegt wohl nahe, da haste recht. Mit deiner Darstellung hab ich eine unendlich dünne, unendlich ausgedehnte Kreisscheibe.
Ich möchte ja aber ne räumlich begrenzte Scheibe, die sehr wohl eine Dicke hat... hmm....
Als Vereinfachung des Gesatmproblems können wir ja mal locker annehmen, dass die Dichte in der Scheibe gleichverteilt ist (ich schreibs auch oben nochmal hin)... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18082
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| TomS Verfasst am: 16. März 2011 16:44 Titel: |
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Die Scheibe mit endlichem Radius bekommst du mittels einer zusätzlichen Stufenfunktion, wobei das auch einfach durch endliche Integrationsgrenen abgebildet werden kann.
 = q(r,\phi)\,\Theta(r_0-r)\,\delta(\theta))
Eine Scheibe endlicher Dicke könntest du ebenfalls mit einem Produkt zweier Stufenfunktionen darstellen, wobei es sich wiederum nur um eine Beschränkung des Integrationsbereiches handelt. Letztlich ist eine kleine endliche Dicke nur sehr nahe an der Scheibe relevant (vgl. "Fernfeld" bei el.-mag. Wellen).
Was du m.E. wirklich brauchst, um explizit etwas zu berechnen, ist die Multipolentwicklung der Dichteverteilung sowie des Feldes. Kennst du diese Darstellung?
http://de.wikipedia.org/wiki/Multipolentwicklung
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Fafner
Anmeldungsdatum: 16.03.2011
Beiträge: 7
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| Fafner Verfasst am: 16. März 2011 18:14 Titel: |
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oha, Multipolentwickung...ja, hab ich schon gesehen. Hatte das Glück, es nie ausführen zu müssen.
Also meinst du, ich nehm mir die zurechtgebastelte Dichtefunktion und folge dann der Beschreibung zu kartesischer oder sphärischer Entwicklung?
Mir fällt auf, dass hier  immer nur einmal das Volumentintegral über der Dichtefunktion ist. Kann ja an der Elektrostatik liegen, das hab ich jetzt nicht im Überblick... aber bei der Gravitation ist ja  mit dem Potential gleichgesetzt. Also statt einem dann zwei Voulmenintegrale?
Wie man vielleicht merkt, stellen sich mir bei der Multipolentwicklung mehr Fragen als Antworten ein...
Da du hier ziemlich sicher scheinst... kannst du vielleicht mal eine Vermutung abgeben bezüglich des Gravitationszentrums?
Gibt es genau eins (also punktförmig und nicht irgendwie ausgedehnt)? Und wenn dem so ist, liegt es dann auf der Symmetrieachse der Scheibe (sollte meiner Meinung nach ja so sein)?
Vielleicht kann ich mir damit eine bessere Vorstellung von dem Kraftfeld machen... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18082
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| TomS Verfasst am: 16. März 2011 19:49 Titel: |
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Sobald ich Zeit habe, stelle ich dir ein paar Beispielrechnungen zur Verfügung.
Zunächst mal ist für die kreisförmige Scheibe die sphärische Multipolentwicklung geeigneter. Als nächstes ist zu sagen, dass elektrisches Potential und Gravitationspotential mathematisch identisch zu behandeln sind! Als letztes würde ich vorschlagen, zunächst nur den "Außenraum" zu betrachten, im Falle einer Schreibe mit Radius R also das Feld außerhalb einer Kugel mit Radius R.
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Fafner
Anmeldungsdatum: 16.03.2011
Beiträge: 7
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| Fafner Verfasst am: 16. März 2011 21:48 Titel: |
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Okay, dann werde ich (morgen wahrscheinlich erst) mal versuchen, etwas auszurechnen. Ich beschränke mich, wie du schons agtest, auf den Außenbereich... hatte ich eh vor^^
Danke erstmal für die vielen Anregungen und eine gute Wiederholung zum Thema Deltafunktion! :-) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18082
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| TomS Verfasst am: 16. März 2011 22:22 Titel: |
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Hier nochmal eine kurze Überlegung zu den sphärischen Multipolmomenten für die Ladungsdichte (Koordinaten wie bei Wikipedia)
 = q(r,\phi)\,\Theta(r_0-r)\,\delta(\theta-\pi/2))
Zunächst betrachtet man die Gesamtladung (die sozusagen dem Monopolmoment entspricht)
 = \int_0^{r_0}dr\,r^2\int_{0}^{\pi}d\theta\,\sin\theta\int_{0}^{2\pi}d\phi\,q(r,\phi)\,\delta(\theta-\pi/2))
Für eine rotationssymmetrische Ladungsverteilung kann man beide Winkel-Integrationen ausführen und erhält
)
Nun wären andere Multipolmomente zu berechnen, d.h.
\,\rho(\vec{r}) )
Für rotationssymmetrische Ladungsverteilungen sind nur die Multipolmomente m=0 von Null verschieden; d.h. es gilt - wenn ich mich verrechnet habe -
\int_0^{r_0}dr\,r^{l+2}\,q(r))
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 16. März 2011 22:47 Titel: |
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Frage am Rande: Gibt es irgendwelche Einschränkungen für das Feld; zum Beispiel, daß der Beobachter sich in einer Entfernung >> Masseausdehnung befinden soll? Dafür ist ja die Multipolentwicklung gedacht. Oder ist vielleicht an das Axialfeld gedacht, wo sicher eine geschlossene Lösung existiert? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18082
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| TomS Verfasst am: 16. März 2011 22:53 Titel: |
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Für symmetrische Ladungsverteilungen kann es natürlich sinnvoll sein, exakte Lösungen zu suchen.
Die Multipolentwicklung gilt m.W.n. für alle "sinnvollen" Ladungsverteilungen, wobei sinnvoll bedeutet, dass die Multipolmomente konvergieren. Das ist in unserem Fall deswegen gewährleistet, weil wir über den Außenraum reden. Einen echetn Außenraum gibt es aber nur dann, wenn die Ladungsverteilung endlich ist.
Generell kann die Multipolentwicklung für beliebge Abstände durchgeführt werden, wobei man für große Abstände bessere Konvergenz erzielt. Man sieht dies an der Entwicklung des Integralkerns, da hier Potenzen in r'/r auftreten.
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Fafner
Anmeldungsdatum: 16.03.2011
Beiträge: 7
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| Fafner Verfasst am: 17. März 2011 23:17 Titel: |
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Auch wenn ich mir ejtzt zwei Bücher über theoretische Elektrodynamik besorgt habe, präferiere ichd en direkten Weg über die Mechanik. Und ich ward fündig, denn ein Buch über Gravitation (lange gesucht) verriet mir folgendes:
 = -G\int\int\int\! \frac{\rho(\vec{r'})} {|\vec{r}-\vec{r'}|} \, \dd V' )
Hierbei ist dV' das Volumen der Scheibe,  die Ortsvektoren zu den verschiedenen Punkten der Scheibe und  der Ortsvektor zur dazugehörigen Probemasse.
Da weiterhin (1) aus meinem ersten Post gilt, ist die Kraftwirkung auf Probekörper also mit einer geeigneten Dichtefunktion hierüber bestimmbar.
Ich habe, wie das TomS gesagt hat, die Dichte  ) als konstant angenommen (also für alle Punkte der Scheibe) und die integrationsgrenzen entsprechend gewählt. Mit Hilfe von Zylinderkoordinaten lautet meine Formel dann:
 = -G\int_0^R\int_0^{2\pi}\int_{-h/2}^{h/2}\! \frac{\rho(\vec{r'})} {|\vec{r}-\vec{r'}|} r' \, \dd z' \dd \varphi' \dd r' =-G\int_0^R\int_0^{2\pi}\int_{-h/2}^{h/2}\! \frac{\rho_0} {|\vec{r}-\vec{r'}|}r' \, \dd z' \dd \varphi' \dd r' )
Wie sieht das aus? Ich fands ganz schön. Doch wo alte Probleme enden könnten, tun sich neue auf: Das verdammte Ding ist schwer für mich zu integrieren. Wenn ich alle Vektoren in ihre x,y,z-Komponenten zerlege wird das ein ewiger Term, der nicht einfach aussieht.
In der Elektrodynamik hatten wir derlei Integrale zwar berechnet, nur konnten wir da meist eindimensionale Einschränkungen irgendwo machen, so dass ein netter, zwei Zeichen langer Term unterm Bruchstrich übrig blieb.
Es wäre interessant, ob ein Teil des sonst langen Terms bei der Integration zu null verpufft, aber ich seh weißgott gerade keine gerade Teilfunktion hier drinnen.
Jemand Ideen?
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edit: Ausgerechne.
 = -G\rho_0\int_0^R\int_0^{2\pi}\int_{-h/2}^{h/2}\! \frac{r'} {|(rcos\varphi-r'cos\varphi')\vec{e_x} + (rsin\varphi-r'sin\varphi')\vec{e_y} + (z-z')\vec{e_z}|} \, \dd z' \dd \varphi' \dd r' )
...und ohne Betragsstriche...
=-G\rho_0\int_0^R\int_0^{2\pi}\int_{-h/2}^{h/2}\! \sqrt{ \frac{r'^2} {((rcos\varphi-r'cos\varphi')\vec{e_x} + (rsin\varphi-r'sin\varphi')\vec{e_y} + (z-z')\vec{e_z})^2}} \, \dd z' \dd \varphi' \dd r' )
...und nach einigem Ausmultiplizieren und Zusammenfassen:
 = -G\rho_0\int_0^R\int_0^{2\pi}\int_{-h/2}^{h/2}\! \sqrt{ \frac{r'^2} {r^2+r'^2 -2rr'(cos\varphi cos\varphi' + sin\varphi sin\varphi') + (z^2+z'^2-2zz') }} \, \dd z' \dd \varphi' \dd r'
<br />
) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18082
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| TomS Verfasst am: 17. März 2011 23:47 Titel: |
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Ich sehe nicht, wie du das vereinfachen könntest, insbs. weil du mit einer endlichen Dicke rechnest. Mit einer Delta-Funktion wirst du wenigstens eine Winkelintegration los. Ich denke immer noch, dass du den Weg über die Multipolentwicklung gehen musst.
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