Drehmomentintegration

nEmai · Gast

Meine Frage:
Hallo,

ich habe mir selbst eine Aufgabe gestellt, nämlich das Drehmoment eines Stabes homogener Masse wie skizziert zu berechnen.

http://nemai.de/drhm.jpg

Meine Ideen:

Das deckt sich mit dem Ergebnis, wenn man sich überlegt, nur den Schwerpunkt bei l/2 zu behandeln.
Ist das Ergebnis richtig?

Mfg.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

nEmai · Gast

Ich bin mir bei dem Integrationsansatz etwas unsicher, ist der sicher richtig?
Ich bin mittlerweile eher der Überzeugung, dass es

heißen sollte.

Macht am Ergebnis hier keinen Unterschied, wohl aber im Verständnis des Vorgehens. (Was mir nämlich nicht so ganz klar ist.)
Aktuell stelle ich mir vor, dass l der jeweilige Drehmomentradius des jeweiligen infinit kleinen Masseelements dm mit Länge dl ist. Dann durchlaufe ich im Integral alle Werte von 0 bis l, somit wird das l im Integral tatsächlich immer zum jeweiligen Radius und das dl ...ja, is einfach ein kleiner Abschnitt oder so.

Mir ist das Grundsätzliche vorgehen beim rechnen mit Volumentintegralen nicht wirklich hundertprozentig klar.
Was ich mich da auch Frage, kann es für ein n-dimensionales objekt (n=1-3) in kartesischen oder Zylinderkoordinaten mehr als n d's im Integral geben?

Mfg.

massenpunkt · Gast

Zuerst kennen wir Drehmoment des Stabes nicht, aber wir kennen das Drehmoment für ein Massenpunkt.
Dieser Massenpunkt verursacht ein infinitisimales Drehmoment dN:

Beachte: Hier ist l der Abstand von der Drehachse und ist nicht infinitisimal. Dagegen ist die Kraft dF infinitisimal, da die Masse des Massenpunkts infinitisimal ist.

Die Schwerkraft auf ein kleines Massenpunkt ist

mit

Somit erhalten wir

Nun um das gesammte Drehmoment zu gewinnen summieren wir alle infinitisimale Drehmomente dN (gehen zum Interal über).

Für Stab was bei Abstand 0 von Drehachse beginnt und Länge L hat:

massenpunkt · Gast

massenpunkt · Gast