partielle Dgl einer Torsionswelle

Huugo · Anmeldungsdatum: 17.01.2011 Beiträge: 5

Hallo!

Ich habe ein Problem beim Lösen der partiellen Diferentialgleichung einer einfachen, an einer Seite eingespannten Torsionswelle. Aus einem Lehrbuch habe ich folgende Gleichung:

[;\ddot{\phi}(x,t)=\frac{G}{\rho}\phi^{''}(x,t);]

[;\rho;] ist die Dichte, [;G;] das Schubmodul, [;\phi;] der Drehwinkel der Welle und [;x;] die Koordinate entlang der Welle. Nun will ich die Welle vorne mit einem Moment [;M_t;] belasten und dann losslassen und zusehen, wie sie schwingt.

Es gilt:[;\frac{d\phi}{dx}=\frac{M_t}{G\cdot I_t};]

[;I_t;] ist das polare Flächenträgheitsmoment.

Meine Anfangs- und Randbedingungen sind also die folgenden:
[;\phi(0,t)=0;]
[;\phi(x,0)=\frac{M_t}{G\cdot I_t}\cdot x ;]
[;\dot{\phi}(x,0)=0;]

Mein Problem: Nach der Differentialgleichung wird sich die Welle niemals vom Fleck bewegen, denn da der Winkel linear mit der Koordinate x steigt, ist
[;\phi^{''}(x,0)=0;] und damit auch [;\ddot{\phi}(x,0)=0;]. Beide Ableitungen des Drehwinkels sind 0, also bleibt die Welle, wo sie ist.

Sieht irgendjemand einen Fehler?
Vielen Dank für eure Tips.

namenloser · Gast

Ja sehe ich:

Du betrachtest nur den Zeitpunkt t=0. Die Anfangsbedingung ist ja nur ein konstanter Wert der für genau einen Zeitpunkt gilt. Dass das nochmal abgeleitet wieder Null ist, ist dann eine trivialität

Huugo · Anmeldungsdatum: 17.01.2011 Beiträge: 5

Hallo namenloser,

da hast du irgendwo etwas falsch verstanden. Die Anfangsbedingungen sind konstant, aber d(Anfangsbedingung)/dt=0 ist nicht sinnvoll.

Namenloser · Gast

Du schreibst:

[;\ddot{\phi}(x,0)=0;].

Das heißt nur, dass die 2. zeitableitung zum zeitpunkt t = null gleich Null ist. Daraus folgt nicht, dass sie für alle zeiten Null ist.

Huugo · Anmeldungsdatum: 17.01.2011 Beiträge: 5

Das ist genau mein Problem. Nach der Differentialgleichung ist die zweite Ableitung und auch die erste nach der Zeit für alle [;t;] =0.

[;\ddot{\phi}(x,0)=0;] weil [;\phi^{''}(x,0)=0;].

Wie soll sich die Welle jetzt jemals aus diesem Zustand bewegen?
Die Ableitungen nach der Zeit sind ja 0!

Namenloser · Gast

Es ist nicht für alle t gleich Null. Schau genau hin:

da steht nicht [;\ddot{\phi}(x,t)=0;] sondern eben was du geschrieben hast.
Und das heißt nur, dass die 2. Ableitung nach der Zeit zu Beginn Null ist.
Die Welle kann sich für t>0 selbstverständlich aus dieser Position bewegen.

Huugo · Anmeldungsdatum: 17.01.2011 Beiträge: 5

Nein, kann sie nicht.
Nach der Diffgleichung sind erste und zweite Ableitung nach der Zeit für
alle Zeit = 0!
Ausgangssituation:
1. Die Welle wird durch das Moment ausgelenkt und ist in Ruhe.
2. Das Wellenende wird losgelassen. In diesem Moment sind laut Dgl beide
Ableitungen nach der Zeit =0 ! [;\ddot{\phi}=0;]
3. Wo befindet sich die Welle jetzt nach einem infinitesimal kleinen
Zeitschritt dt?
[;\phi=\phi_0+\int_{0}^{dt}\dot{\phi}(x,0)dt=\phi_0\\;] bzw.
[;\phi=\phi_0+\int_{0}^{dt}\int_{0}^{dt} \ddot{\phi}(x,0)dtdt=\phi_0\\;]
Sie befindet sich also noch in der Ausgangsposition! Und das wird sich auch bis in alle Ewigkeit nicht ändern, denn dazu müsste sich die Welle zuerst aus ihrer Ausgangsposition bewegen, aber das kann sie nicht, denn die Ableitungen nach der Zeit sind ja 0.
Ich hoffe ich habe mich dieses Mal verständlich ausgedrückt.
Viele Grüße
Hugo

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Mal n beispiel:

x+t^3 = a(x,t)
es ist
da(x,0)²/dt² = 6*(0) = 0
es ist
d(a(x,0)/dt = 3*(0)² = 0
und trotzdem ist
d²(a(x,t)/dt² != Null für t!= 0

gemäß deiner Logik wäre a(x,t) immer Null. Das ist aber falsch

edit: übrigens funktionieren scheinbar die latexnotationen nicht, die du hingeschrieben hast.

Huugo · Anmeldungsdatum: 17.01.2011 Beiträge: 5

ja, da muss man erst das greasemonkeyscript installieren. das haben natürlcih viele nicht. ein bisschen blöd. ich hoffe man kann es trotzdem lesen

MI · Anmeldungsdatum: 03.11.2004 Beiträge: 828 Wohnort: München

Latex funktioniert hier - aber nur mit folgender Einbindung: