Fourier-Analyse und Synthese

mathepro456 · Gast

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich muss Anfang nächster Woche ein Referat über Fouriersynthese/-analyse halten; dabei habe ich noch ein bis zwei Ungereimtheiten, und bitte Euch hierfür um Hilfe.

Also hier den Teil den ich nicht verstehe, vom Physik-Buch (ich möchte gerne andere Zahlenwerte wie im buch nehmen, muss aber erst die Rehcnung vom Buch verstehen):

Zuerst einmal sollen wir drei Schwingungen (f1= 500 Hz, f2= 1000 Hz, f3 = 1500) annehmen mit der Amplitude (a1 = 0,8 , a2 = 0,2, a3 = 0,5. und die Synthese durchführen = Summe der drei Funktionen = F(t) = a1 sin (1wt) + a2 sin (2wt) + a3 (3wt).

Diese eine Funktion F(t) = Ausgangsfunktion für die folgenden Analyse = Rückübersetzung der Funktion in die einzelnen Schwingungen.

1. "Ein Trick und etwas Mathematik helfen weiter. Der Mittelwert der Produkte sin (wt) sin (wt) ist im Intervall [0; T] gleich 0,5"

wie kann man dies begründen, a) warum muss man diese Variante wählen und b) wieso kommt da 0,5 heraus?
(Ich habe bereits dieses Applet gefunden (http://www.uranmaschine.de/Physik/Themen/Fourier-Analyse_und_-synthese/fourier_veranschaulichung_int_sin_sin_0.html) sinus , jedoch ohne große Erklärung (ist halt der Inegral der Funktion.

weiter im Text:

"Prüfen Sie dies mit einem Tabelenkalkualtionsprogramm nach. Auch an einer graphischen Darstellung erkennt man es"
wie ?
"Bilden wir die Produkte sin (wt) sin (2wt), so ergibt sich als Mittelwert null -bei sin (wt) sin (3wt) ist es ebenso.
Hiefür wäre auch ein Lösungsweg -außer dem Applet interessant, dass ich verstehe, was ich hier rechne.

2. " Bilden wir nun das Produkt aus sin (wt) und F(t), also sin (wt) [(a1 sin (wt) + a2 sin (2 wt) + a3 sin (3 wt)] so bleibt 0,5 a1 als Mittelwert in [0;T]; in unserem Fall erhalten wir 0,5 a1 = 0,4 und somit a1 = 0,8.
Das Doppelte des Mittelwerts des Produkts aus F(t) und der Testfunktion sin (wt) ist ist also die gesuchte Testfunktion"

Hier besteht meine Frage darin, warum den Mittelwert (ich habe bereits mit allen möglichen Integralen (im Intervall von 0, 2 pi) gerechnet = nie dieses Ergebnis = siehe weiter unten). Dann wie kommt man auf diesen Ausdruck, bzw. wie ist er zu erklären und was für Werte müssen in die Formel eingesetzt werden (wenn man diese z.B. a1 ,... als Annahme nicht kennen darf) und letztendlich wie erhält man 0,8 als Wert =a1 ???

weiter im Buch:
Mit der Testfunktion sin (2wt) finden wir nach dem gleichen Verfahren des Mittelwert 0,1 also die Amplitude a2 = 0,2.Mit sin (3wt) ergibt sich a3=0,5

Hätte jemand noch Anwendungsbeispiele, wo die Fouriersynthese/-analyse verwendet wird, die auch erklärt werden ?

Über eine Antwort (auch Teilantwort) möchte ich mich bereits jetzt bei Euch bedanken und für die Mühe, den langen Text durchzulesen.

Viele Grüße

mathepro456

Meine Ideen:
Nun hier meine Ausarbeitung:
Fouriersynthese/ - analyse - Bsp.
die Fourieranalyse anhand eines Beispiels mit Sinus-schwingungen (mit verschiedenen Frequenzen und Amplituden) verständlich zu machen, werden wir zuerst im Fouriersynthese-Verfahren tätig.
Dazu wählen wir drei beliebige Schwingungen aus: z.B.:
? Die erste Schwingung soll 1(000) Hz und eine Amplitudenauslenkung von 1,6 aufweisen. = f(x) = 1,6 sin (x)
? Die zweite Schwingung soll 2(000) Hz und eine Amplitudenauslenkung von 0,4 aufweisen. = g(x) = 0.4 sin (2x)
? Und die dritte Schwingung soll 3 (000) Hz und eine Amplitudenauslenkung von 1 aufweisen. = h(x) = sin (3x)
? >> Nun werden diese der Sinusschwingungen zu der Funktion p(x) / F(t) zusammen summiert (synthesiert) = f(x) + g(x) + h(x) =
1,6 sin (x) + 0.4 sin (2x) + sin (3x) = p(x) /F (t) (gestrichelt)

1. Zeichnung mit Geogebra erstellt - siehe Anhang

Allgemein gilt für die Synthese:
F(t) = a1 * sin (1w*t) + a2 * sin (2w*t) + ... a = Amplitude
w*t = Frequenz f1,f2,? ( da w= 2*f)

Bei verschienen Phasen einer Harmonischen muss noch die Kosinus-Funktion berücksichtigt werden (=Fourierreihe):
F(t) = a1 * sin (1w*t) + a2 * sin (2w*t) + ... + b1 * cos (1w*t) + b2 * cos (2w*t) + ?

Fourieranalyse:
Bei der Fourieranalyse wird nun der Mittelwert der Produkte der jeweiligen Sinusfunktionen mit dem sin (w*t) im Intervall von 0 bis T (in unserem Fall von 0 bis ) überprüft.
1. Funktion überprüfen: grübelnd

sin (wt) * sin (wt) [0,T] = 0,5, dies wäre auch an einer graphischen Darstellung erkennbar.
2. Funktion überprüfen: grübelnd

sin (wt) * sin (2wt) [0,T] = 0
3. Funktion überprüfen: grübelnd

sin (wt) * sin (3wt) [0,T] = 0

Den ersten Wert für die erste Funktion setzten wir nun in die Form
sin (wt) * [a1 * sin(1wt) + a2 * sin(2wt) + a3 * sin (3wt)] ein; so erhalten
0,5 a1 = 0,8 dies müssen wir nun verdoppeln, da wir bisher nur den Mittelwert angenommen haben = a1 = 1,6.
Den zweiten und dritten Wert erhalten wir auf dieselbe Art und Weise:
sin (2/3wt) * [a1 * sin(1wt) + a2 * sin(2wt) + a3 * sin (3wt)]
Man erhält für 0,5 a2 = 0,2 und für 0,5 a3 = 0,5.
Somit ist a2 = 0.4 und a3 = 1.
? Dies entspricht dem ursprünglichen Ausgangswert von a1 bis a3.

2. Zeichnung mit Geogebra erstellt - siehe Anhang