Waagrechter Wurf, Kreisbewegung

flashkid · Anmeldungsdatum: 19.05.2010 Beiträge: 14

Hallo.

Ich mach es mal kurz smile

Wie kann man die Gleichung des waagrechten / schiefen Wurfs so umändern, dass sie die Krümmung der Erde mit einbezieht?

Bsp: Eine Kugel wird mit v = 7000 m/s aus einer Höhe von 10m waagrecht abgeschossen.
Die Zeit t, die diese Kugel bräuchte um im freien Fall auf die Erde zu treffen, beträgt demnach 1,4s:

Der Weg, den die Kugel in 1,4s hinter sich lässt, ist also 9800m. In Wirklichkeit würde sie aber viel weiter fliegen (ohne Reibung,Hindernisse usw.), da sich die Erde praktisch unter ihr wegkrümmt, sodass sie fast den gesamten Erdumfang herum fliegen würde.

Kann mir jemand Tipps geben, um die Krümmung mit einzubeziehen?

Liebe Grüße,
flashkid

fuss · Anmeldungsdatum: 25.05.2010 Beiträge: 519

als Näherung könnte man ja schon mal die Wurfparabel mit der Kreisgleichung sqrt(r²-x²) gleichsetzen, wobei die Anfangshöhe der Wurfparabel um r nach oben verschoben sein muss (z.B. Abwurf vom Äquator, Wurfrichtung entlang des Äquators).
Wobei in dem Bereich, wo der Fehler der Näherung gering ist, ist auch der Effekt der Krümmung gering.

Bei genauerer Betrachtung müsste man noch Einflussgrößen wie Coriolisablenkung, veränderliche Gravitationsbeschleunigung mit wachsendem Abstand zum Erdmittelpunkt berücksichtigen und auch die Tatsache, dass die Gravitationsbeschleunigung in Richtung Erdmittelpunkt wirkt, also man nicht mehr stupide nur den Einfluss der Grav.beschl. auf die y-Komponente der Geschwindigkeit betrachten kann (bei festgelegter y-Achse)
Sieht mir nach sehr viel Arbeit und Herumgeplage mit Vektoren aus ^^

flashkid · Anmeldungsdatum: 19.05.2010 Beiträge: 14

Hatte jetzt erhofft, dass das ganze nicht gar so kompliziert ist unglücklich

Die Gravitationsbeschleunigung ist innerhalb der Bahn ja immer gleich groß, die Kugel entfernt sich ja nicht vom Erdmittelpunkt, dieser Effekt kann also weggelassen werden.

Das Koordinatensystem kann man doch einfach mitdrehen, somit würde sich die Kugel weiterhin horizontal nur mit v0x * t bewegen und vertikal mit 0,5*g*t².

Kann jemand näheres zum Thema beitragen?
Kann man zb den Höhenunterschied pro Meter einmal ausrechnen und diesen dann mit einem Faktor mit einschließen?

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Da die Fallbeschleunigung immer zum Erdmittelpunkt gerichtet ist, also senkrecht zur Erdoberfläche, spielt die Erdkrümmung in dieser Aufgabe keine Rolle.

flashkid · Anmeldungsdatum: 19.05.2010 Beiträge: 14

Ich glaube schon, dass sie eine große Rolle spielt.
Ich habe mal ein Bild gezeichnet, dass das Problem evtl ein bisschen besser erklären kann:

http://img713.imageshack.us/img713/871/unbenannt2h.png

Im oberen Teil, wird die runde Erde einfach zu einer Linie aufgerollt, sodass sie nur noch eine Scheibe ist. Wird hier ein Körper mit 3000m/s aus 10m Höhe waagrecht abgeworfen, so fliegt er 1,4s * 3000m/s = 4200m weit.
Nach 5km hat die Erdkrümmung aber schon einen Höhenunterschied von 1,92m ausgemacht (siehe: Wikipedia). Der Körper hat also weitere 0,6s Zeit bis er auf die Erdoberfläche trifft, also kann er weitere 1900m fliegen. Hierbei tritt der Effekt erneut auf, somit wird er viel weiter fliegen, als auf eine Linie.
Dieser Effekt wird unten dargestellt. Da er sich praktisch tangential von der Erde wegbewegt, muss die Erdanziehungskraft ihn erst wieder auf die ursprüngliche Entfernung "zurückziehen". Somit kann der Körper weiter fliegen.

Ich hoffe, dass es nun klar ist, welchen Effekt ich behandeln möchte unglücklich

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

flashkid · Anmeldungsdatum: 19.05.2010 Beiträge: 14

Hab mir das Keplerproblem gerade mal auf Wikipedia durchgelesen. Das sieht mir reichlich kompliziert aus unglücklich

Kann mir jemand Tipps geben, wie man die Ellipsenbahnen berechnet, sowie deren Schnittpunkt mit der Erde?

Edit: @GvC: Die Kugel würde aber viel weiter als 9800m fliegen, da die Erde keine Scheibe ist.
Ansonsten würde mit der 1. kosmischen Geschwindigkeit als v0 nicht der Erdumfang erreicht werden, sondern nur ein kleiner Teil davon.

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Viel weiter ist übertrieben. Ca. 600m weiter ist ok. Du hast natürlich Recht. Mit 7000m/s sind wir bereits in einem Geschwindigkeitsbereich, der die resultierende Radialbeschleunigung merklich beeinflusst. Das hatte ich zunächst nicht bedacht. Das mit der Erdscheibe war mir allerdings schon vorher ein bisschen klar. Aber danke für die Erinnerung an die Kugelgestalt der Erde.

flashkid · Anmeldungsdatum: 19.05.2010 Beiträge: 14

Bitte

Aber bei 7900 m/s (1. kosmische Geschwindigkeit) müsste der komplette Erdumfang zurückgelegt werden können.
Bei "unserer" Rechnung, würde der Körper allerdings nur 1,4s * 7900m/s fliegen, also nur 11060m, anstatt 40000km !
Also nicht nur ca 600m weiter Augenzwinkern

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Au weia, jetzt werd' ich erst richtig warm. Hatte mich verrechnet. Nach meiner Rechnung ist die Kugel nun mehr als 3s unterwegs und fliegt deshalb etwa 22km weit. Die resultierende Radialbeschleunigung dürfte doch g-v²/R sein, oder? (R=Erdradius, fliegende Kugel als Bezugssystem)

Das ergibt für die Erste kosmische Geschwindigkeit dann tatsächlich eine Radialbeschleunigung von Null. Dass es bei 7000m/s nur 22km sind, liegt am Geschwindigkeitsquadrat.

flashkid · Anmeldungsdatum: 19.05.2010 Beiträge: 14

Wie verbinde ich nun die Radialbeschleunigung mit der Wurfgleichung? Beachten muss man jedoch auch, dass es bei höheren Geschwindigkeiten (zwischen 1. und 2. kosmischer Geschwindigkeit) kein Kreis mehr um die Erde entsteht, sondern eine Ellipse, mit dem Erdmittelpunkt als 1 Brennpunkt.

Habe dazu ein interessantes Pdf gefunden (Download), aber steig da überhaupt nicht durch unglücklich

Vielleicht gibt es ja eine relativ einfache Möglichkeit das ganze zu verbinden.
Man könnte auch die 1. kosmische Geschwindigkeit als maximale Geschwindigkeit betrachten, sodass man nicht auf das Ellipsenproblem trifft.

Wie hast du denn die 22km berechnet? Wobei mir 22km immer noch viel zu wenig erscheint.

Habe auch noch ein Programm gefunden, das dieses Problem anschaulich simuliert, allerdings aus einer Höhe von 400km (Website.
Bei dieser Simulation kommen 5152km heraus, machen die 400km Starthöhe hierbei diesen riesen Unterschied aus? Das könnte natürlich sein, da der Körper hier mehr als 285s fällt (mehr, da g kleiner wird in 400km höhe). Hierbei kommt ohne die Krümmung der Erde 1990km heraus, die Krümmung macht hier also einen sehr großen Unterschied aus.