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Peter M.
Gast
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 Peter M. Verfasst am: 15. Mai 2010 16:47 Titel: Welle (Saite) |
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Hallo,
ich versuche gerade noch eine Aufgabe zum Thema Wellen zu lösen. Hier der Text:
Eine Saite der Länge l ist an einem Ende fest eingespannt und wird am anderen Ende zu Schwingungen der Frequenz f und der Amplitude nm angeregt. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen auf der Saite ist c.
Berechnen Sie die Amplitude nB im Schwingungsbauch.
Handelt es sich hier auch um stehende Wellen? Leider komme ich hier auf keinen Ansatz. Muss ich hier auch etwas an Wellen überlagern? Also die Erregung und die Rücklaufende Welle? |
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Peter M.
Gast
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| Peter M. Verfasst am: 31. Mai 2010 13:40 Titel: |
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Hat keiner einen Tipp? |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
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| para Verfasst am: 31. Mai 2010 17:40 Titel: |
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Es läuft wohl auf eine stehende Welle hinaus, und die ergibt sich nur als Überlagerung der hin- und rücklaufenden Welle. Bei stehenden Wellen ist an festen Enden stets ein Knoten, an offenen stets ein Bauch. (siehe z.B. hier [pdf, 280kB])
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Formeln mit LaTeX |
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Peter M.
Gast
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| Peter M. Verfasst am: 31. Mai 2010 17:53 Titel: |
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Das Dokument habe ich mir durchgelesen. Erst einmal eine Frage dazu. Wieso kann sich bei 2 geschlossenen Enden keine Stehende welle bei z.B. lambda ausbilden? Also mit 3 Knoten, und 2 Bäuchen? |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
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| para Verfasst am: 31. Mai 2010 18:23 Titel: |
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Ich muss zugeben, das Dokument voher nicht vollständig gelesen sondern nur wegen der Knoten/Bäuche an festen/losen Enden genannt zu haben.
Die Abbildung SA.2c) die du vermutlich meinst ist aber aus meiner Sicht auch missverständlich (oder falsch). In Formel (SA.2) steht ja noch richtig, dass bei zwei festen Enden die Länge der Saite ein ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge sein muss. Dann passt aber das n in der Formel nicht mit dem n neben der Abbildung zusammen.
Kurzum: natürlich kann sich bei zwei festen Enden auch bei einer Saitenlänge von Lambda eine stehende Welle ausbilden, so wie z.B. hier dargestellt (auch nicht komplett durchgelesen, aber hoffentlich dennoch fehlerfrei. ;-)).
Wenn du dich in das Thema stehende Wellen einarbeiten möchtest, ist aber wahrscheinlich ohnehin die Einführung in einem Lehrbuch ö.ä. sinnvoller als die recht verkürzte Darstellung einer Praktikumsanleitung. :)
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Formeln mit LaTeX |
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Peter M.
Gast
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| Peter M. Verfasst am: 31. Mai 2010 18:43 Titel: |
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Mir geht es erst einmal darum, die AUfgabe zu lösen. Wieso stand den in dem einen Dokument dann, das die nur bei (Lambda/2)*n auftreten können?
Wie sehe denn der Ansatz für die Aufgabe aus? |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
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| para Verfasst am: 31. Mai 2010 20:08 Titel: |
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| Peter M. hat Folgendes geschrieben: | | Wieso stand den in dem einen Dokument dann, das die nur bei (Lambda/2)*n auftreten können? |
Weil bei einer stehenden Welle zwischen zwei festen Enden an jedem Ende ein Knoten sein muss. Und die Knoten sind jeweils Lambda/2 auseinander.
| Peter M. hat Folgendes geschrieben: | | Wie sehe denn der Ansatz für die Aufgabe aus? |
Wie verhält sich denn bei der Aufgabenstellung die Länge l der Seite und die Wellenlänge Lambda der Schwingung? Passt das zufällig so, dass die Anregung an einem Bauch erfolgt?
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Formeln mit LaTeX |
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Peter M.
Gast
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| Peter M. Verfasst am: 12. Jun 2010 08:46 Titel: |
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Also wenn die ANregung im Bauch erfolgen würde, wäre die Lösung ja schon gegeben. Ich habe mir jetzt mal eine Lösung besorgt kann die jemand nachvollziehen:
l=190cm f=50Hz nm=0,65mm c=90m/s
=\eta_B\sin kx=\eta_B \sin 2\pi \frac l {\lambda})
Ermittlung von nB mit Hilfe der Randbedingung( Ort der Anregung):
=\eta_B \sin 2\pi \frac l {\lambda}=\eta_m)
Eigentlich ist die Lösung ganz plausibel. Ist das so zu verstehen, dass sich zum Zeitpunkt t=0 noch gar keine Stehende Welle ausgebildet hat? Aber wenn sie sich ausgebildet hat verändert sich nB dann nicht? |
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Peter M.
Gast
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| Peter M. Verfasst am: 04. Jul 2010 16:52 Titel: |
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Hat sich mal jemand die Lösung angesehen? |
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Chemtrail-Fan
Gast
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| Chemtrail-Fan Verfasst am: 04. Jul 2010 20:52 Titel: |
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Die Amplitude verdoppelt sich doch.Oder? |
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Peter M.
Gast
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| Peter M. Verfasst am: 04. Jul 2010 21:13 Titel: |
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Keine Ahnung deshalb frage ich ja. Mir scheint es so, als gehe es bei der Auf gehe irgendwie nciht um stehende Wellen. Aber hier müsste sich doch ein ausprägen.
Ich hatte in den Formeln auch noch 2 Tippfehler:
=\eta_B\sin%20kx=\eta_B%20\sin%202\pi%20\frac%20x%20{\lambda})
=\eta_B%20\sin%202\pi%20\frac%20l%20{\lambda}=\eta_m)
Dazu ist noch ein Bild, wo man eine Welle sieht (eta über x) . Zum Zeitpunkt t=0 |
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Chemtrail-Fan
Gast
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| Chemtrail-Fan Verfasst am: 04. Jul 2010 21:21 Titel: |
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Diese Formel ist mit Sicherheit falsch
Weil der Nenner sehr klein werden kann;dann würde ja die Amplitude der stehenden Welle riesig werden |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 04. Jul 2010 21:21 Titel: |
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Die Gleichung einer stehenden Welle, welche bei x=0 fest eingespannt ist lautet
 = \hat y \sin 2 \pi \frac{x}{\lambda})
Der Rest ist Umformung.
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 04. Jul 2010 21:26 Titel: |
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| Chemtrail-Fan hat Folgendes geschrieben: | Diese Formel ist mit Sicherheit falsch
Weil der Nenner sehr klein werden kann;dann würde ja die Amplitude der stehenden Welle riesig werden |
Wie kommst du denn darauf? Wenn du in einem kleinen Abstand vom Knoten eine Schwingungsamplitude vorgibst, dann hast du selbstverständlich eine sehr große Gesamtamplitude im davon weit entfernten Maximum. Wo ist das Problem? Was soll an der Vorgehensweise falsch sein?
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Peter M.
Gast
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| Peter M. Verfasst am: 04. Jul 2010 21:53 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: | Die Gleichung einer stehenden Welle, welche bei x=0 fest eingespannt ist lautet
Der Rest ist Umformung. |
Ok. Nur wie kommt man darauf, dass ich das einfach so machen kann. Die Umformung etc. ist klar. Aber woher weiß ich, dass ich diese Formel verwenden kann?
In unserer Formelsammlung steht nur was zur allgemeinen Wellengleichung, und deren Lösung:
=\eta_m\cos(\omega t \mp kx+\alpha))
Aber wieso kann ich die mit Alpha=0 für eine Stehene Welle mit Einspannung in x=0 anwenden? |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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| schnudl Verfasst am: 04. Jul 2010 22:18 Titel: |
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Die Überlagerung von beiden Komponenten ist eben eine stehende Welle:
Allgemeiner Fall:
Hin:
 = \hat y_h \sin (\omega t - kx))
Rück:
 = \hat y_r \sin (\omega t + kx))
mit
Wesentlich ist im speziellen Fall (links eingespannt) die Bedingung, dass y(0,t)=0 für alle t. Daraus folgt der Phasensprung
also zusammen
 = \hat y_h \left[ \sin (\omega t - kx) - \sin (\omega t + kx)\right])
was die Form
 = \hat y \cos \omega t \sin kx)
hat (Summensätze)
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Peter M.
Gast
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| Peter M. Verfasst am: 04. Jul 2010 22:54 Titel: |
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Wieso setzt du die hin und Rücklaufende Welle mit Sinus an? Das sollte nur an den Vorzeichen von Kx liegen. Wenn ich Kosinus nehme müsste ich für die hin laufende Welle von rechts + nehmen, oder?
Und von
%20=%20\hat%20y%20\cos%20\omega%20t%20\sin%20kx)
auf %20=%20\hat%20y%20\sin%20%202%20\pi%20\frac{x}{\lambda}) kommst du, da der Kosinus bei t=0 1 ist. Sehe ich das richtig? |
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Peter M.
Gast
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| Peter M. Verfasst am: 04. Jul 2010 23:14 Titel: |
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Ach noch was. Müsste das nicht laut Additionstheorem:
%20=-2%20\hat%20y%20\cos%20\omega%20t%20\sin%20kx)
Oder hast du das Umdefiniert mit:
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 05. Jul 2010 06:35 Titel: |
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Etwas sauberer formuliert (es sollte nur ein Denkanstoß sein):
Allgemeiner Fall:
Hin:
 = \hat y_h \sin (\omega t - kx+\varphi_h))
Rück:
 = \hat y_r \sin (\omega t + kx+\varphi_r))
mit
Allgemeiner gehts nicht mehr.
Wesentlich ist im speziellen Fall (links eingespannt) nun die Bedingung, dass y(0,t)=0 für alle t. Daraus folgt der Phasensprung
also zusammen
 = \hat y_h \left[ \sin (\omega t - kx+\varphi) - \sin (\omega t + kx+\varphi)\right])
...
Vorher habe ich den Phasensprung in die Amplitude gesteckt, wordurch diese negativ wurde. Ist zwar OK, aber nicht ganz sauber formuliert...
Letztlich ist das aber bloß die bekannte Form der "schwingenden Saite", wie sie -zig mal in Lehrbüchern zu finden ist:
 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/03/Schwingende_Saiten.png/469px-Schwingende_Saiten.png
Man hätte es daher auch ohne mathematischen Ansatz hinschreiben können.
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Peter M.
Gast
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| Peter M. Verfasst am: 05. Jul 2010 12:05 Titel: |
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Bis dahin war mir ja alles klar. Das Was mir noch unklar ist ist die Anwendung des Additionstheorems.
Da müsste doch eigentlich: herauskommen oder? |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 05. Jul 2010 18:46 Titel: |
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=-\hat y \cos \omega t \sin k x = \hat y \cos( \omega t - \pi) \cdot \sin k x)
Das Minus wird also als Phasenfaktor absorbiert und spielt für das räumliche Verhalten keine entscheidende Rolle.
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