Modell für Defekte in Punktgitter (Verschiebung Vektorfeld)

Iridium · Anmeldungsdatum: 26.12.2008 Beiträge: 10

Hallo,

Mein Problem/Fragestellung ist folgende:

Ich möchte die Auswirkungen einer Defektbildung in einem Punktgitter modellieren.

In Abhängigkeit vom Abstand zur Defektstelle und von den angenommenen gerichteten "Bindungen" sollen sich die Punkte unterschiedlich stark in Richtung auf die Defektstelle und entlang der vorgegebenen "Bindungspfade" verschieben.

Andersrum gesagt läßt sich jedem Punkt ein Verschiebungsvektor zuordnen, alle zusammen bilden dann ein Vektorfeld, daß die Verschiebung beschreibt. Meine Fragen:

Kann man, und wenn ja, wie kann man eine ortsabhängige Matrix angeben, die einen beliebigen vorgegebenen Punkt aus der Ideallage in die relaxierte Lage transformiert (durch Matrix-Vektor Multiplikation)?

Gibt es alternativ eine elegantere Beschreibung?

Das lokale Verschiebungsfeld ist aus einem konkreten Beispiel abgeleitet, soll aber auf größere Punktmengen übertragen werden, weshalb eine allgemeinere Formulierung schön wäre, die nur lokale Informationen (relativer Abstand zur Defektstelle) nutzt.

Mein Traum wäre eine Formulierung, nach der nach einer bestimmten Weise Defekte in ein bekanntes ideales Punktgitter eingefügt werden (manuell/statistisch o.ä.), worauf man für jeden Punkt die zu erwartende Verschiebung berechnet und als Ergebnis angibt.

aVague · Anmeldungsdatum: 04.10.2008 Beiträge: 186

machen Sie bitte ein Beispiel (SKizze) von der Bewegung

Iridium · Anmeldungsdatum: 26.12.2008 Beiträge: 10

Die Skizze zeigt denke ich das wesentliche.

- Ausgangspunkt ist ein hexagonales Punktgitter.
- In dieses wird ein Defekt eingefügt (auf der Verbindungslinie zwischen den roten Punkten).
- Die umgebenden Punkte relaxieren entsprechend der Skizze:
rote Punkte relaxieren um 1/2 der Kantenlänge
blaue Punkte relaxieren um 3/14 der Kantenlänge
grüne Punkte relaxieren nicht
jeweils in Richtung auf den Defekt und entlang der Bindungspfade (gestrichelte Linien)

Dieses lokale Verzerrungsmuster soll mehrfach auf einen viel größeren Auschnitt eines hexagonalen Gitters angewendet werden. Gibt es die Möglichkeit eine ortsabhängige Transformationsmatrix/tensor zu entwickeln, die für jeden Punkt relativ zu einer vorgegebenen Defektposition die entsprechend notwendige Form annimmt?

Iridium · Anmeldungsdatum: 26.12.2008 Beiträge: 10

P.S. Es handelt sich natürlich nicht um ein hexagonales Gitter...sondern um ein Honigwabennetz...

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ach so, dann ist in deiner Aufgabenstellung also bereits komplett vorgegeben, welche Punkte sich um wieviel in welche Richtung verschieben sollen, wenn man einen Defekt einfügt.

Geht es dir dann also einfach nur noch darum, wie man man mathematisch hinschreiben kann, welche Punkte an welchen neuen Ort mit welchen neuen Koordinaten verschoben werden? Und wie man das zum Beispiel einem Computer sagen kann?

Tipp: Da reicht es, die alte und die neue Position der roten und der blauen Punkte in einem passend gewählten Koordinatensystem anzugeben.

Wie würdest du so ein Koordinatensystem wählen? Zum Beispiel mit kartesischen Koordinaten x und y? Oder vielleicht gerne auch, wenn du magst, mit Hilfe von Einheitsvektoren, die direkt das Gitter aufspannen?

Wie lautet zum Beispiel damit die alte Position des blauen Punktes rechts oben von der Fehlstelle, wenn die Position der Fehlstelle als bekannt gegeben ist? Und wie lautet damit seine neue Position?

Iridium · Anmeldungsdatum: 26.12.2008 Beiträge: 10

Genau...im Grunde genommen ist alles schon bekannt.

Ich habe letztendlich auch schon eine Formulierung des Problems mit den Methoden der Vektorrechnung gefunden. Ich benutze in der Tat ein hexagonales Koordinatensystem als Referenz. Die Defektposition (die transformierte Lage des roten Punktes, in der Skizze rechts) ist dann einfach die Hälfte der Summe der beiden Ortsvektoren der roten Punkte links. Entsprechend habe ich für die blauen Punkte zuerst einen Richtungsvektor (Differenzvektor) definiert, diesen dann entsprechend der Verschiebung normiert und zu den jeweiligen Ortsvektoren der nicht transformierten blauen Punkte dazuaddiert. Im Grunde genommen ist also alles klar und ich kann die Koordinaten der transformierten Punkte berechnen.

Das, was ich mich trotzdem frage, ist, ob es nicht eine elegantere Methode gibt. Im Prinzip ist ja jede Transformation von einem idealen Punkt zu seiner relaxierten Entsprechung durch eine Matrixmultiplikation beschreibbar. Ich habe mich jetzt gefragt, ob man nicht eine allgemeingültige Transformationsmatrix angeben kann, d.h. eine mit variablen Koeffizienten, die nur davon abhängen, in welcher Richtung und Distanz sich die Defektstelle befindet.

Vermutlich macht es für eine Implementierung in einem kleinen Computerprogramm noch nicht mal einen großen Unterschied, aber vielleicht ist es einfach kürzer und praktischer in der Beschreibung. In jedem Fall würde es mich auch dann interessieren, wenn es eben nur eine äquivalente Problemlösung wäre. Schön wäre auch eine sehr allgemeine, abstrakte Beschreibung (wie gesagt, an sich kenne ich die Details schon).

Auf welche Weise beschreibt man denn allgemein ein solches Problem? Defekte in gitterartigen Anordnungen (z.B. von Atomen) sollten doch gut erforscht sein, und als Chemiker hat man den (möglicherweise unzutreffenden) Eindruck, daß ein Physiker ein solches Problem am ehesten über die Beschreibung als Vektorfeld (Verschiebungsvektoren, Defekte als Quasiteilchen, mechanisches Federmodell, Relaxation einer Anordnung als Antwort auf ein gegebenes Potential oder so ähnlich) behandeln würde.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich finde, deine Methode ist schon recht elegant.

Wenn du magst, könntest du die alten und neuen Positionen der roten und blauen Punkte relativ zur Position des eingefügten Defektes berechnen, dann könntest du einen Programmteil schreiben, der einfach nur noch die Funktion eines "Stempels" hat: Man gibt ihm die Position des Defekts, und er identifiziert und ersetzt die roten und blauen Punkte durch ihre neuen Positionen.

Dabei hätte jeder Punkt im Gitter eine Identifikations-Kennzahl, zum Beispiel durch zwei Indices in so einem zweidimensionalen Gitter. Das wäre also eine Art Matrix. Und jedem Element dieser Matrix, also jedem dieesr Gitteratome, ordnet man einen Wert zu, der aus einem zweidimensionalen Vektor besteht und die Position dieses Gitteratoms angibt (wahlweise absolut bezüglich eines gemeinsamen Ursprungs oder, falls man schon eine Zuordnung der Gitteratome zu ihren ungestörten Gleichgewichtspositionen hat, relativ zu dieser Gleichgewichtsposition).

Dieser "Stempel" sollte vielleicht auch noch vorher eine der Grundannahmen deines Modells überprüfen, bevor man ihn auf eine konkrete Stelle anwendet: In der unmittelbaren Nähe des neuen Defekts soll nicht bereits schon ein alter Defekt mit bereits verschobenen Atomen liegen. Denn dann würden ja die einfachen Modellergebnisse für einen Defekt in einem gleichmäßigen Kristall so nicht mehr zutreffen.

Das Elegante an deiner Aufgabenstellung ist, dass sie die Verhältnisse um einen Defekt in einem realen Kristall bereits auf einfache Annahmen bzw. ein relativ einfaches Modell reduziert hat (nur die roten und blauen Punkte ändern ihre Position, die Positionsänderung aller anderen Punkte wird als klein vernachlässigt; die Wechselwirkungsstärken zwischen den Atomen des konkreten Kristalls wurden bereits in Werte für die Verschiebung der blauen Punkte übersetzt, ...). Je nachdem, mit was für einem konkreten Kristall man es zu tun hat, wird so ein Modell dementsprechend angepasst werden müssen. (Das bleibt dann natürlich nicht immer so einfach wie das Modell, das du bisher verwendet hast.)

Iridium · Anmeldungsdatum: 26.12.2008 Beiträge: 10

@dermarkus

Also, schon mal herzlichen Dank für deine ausführlichen Kommentare.

Es stimmt schon, daß man mit meiner Methode relativ geradlinig zu den gewünschten Koordinaten der relaxierten Punkte kommt. Die Ausgangskoordinaten sind ja durch das Honigwabennetz vollkommen vorgegeben. Allerdings könnte ich mir zumindest theoretisch noch elegantere...sprich allgemeinere/abstraktere...Methoden vorstellen. Aber an sich hast du recht, ich habe alles, was ich brauche, um mir meinen "Stempel" zu erzeugen. Das Problem hat übrigens wirklich auch einen realen Hintergrund in Form einer inkommensurabel modulierten Kristallstruktur bzw. einer ähnlichen Struktur mit diffuser Beugung. Ordnet man das Defektmuster störungsfrei und dichtest möglich an, erhält man die Teilstruktur einer lock-in Phase (das Honigwabennetz ist eines von zwei Netzen in der Struktur), verteilt man die Defekte entsprechend der Modulationsfunktion, dann ändert sich die relative Orientierung der Defekte ortsabhängig und es existieren zudem defektfreie Bereiche. Vielleicht verbirgt sich hinter einer statistischen Fehlordnung die Struktur, die für die diffuse Phase verantwortlich ist...gewissen Indizien dafür hab ich schon. Nun ja, der Rest ist wohl rumprobieren und spielen.

@alle

Wenn trotzdem noch jemand auf einen anderen Gedanken kommt, nur zu, ich bin für jede andere Sichtweise dankbar!

Iridium · Anmeldungsdatum: 26.12.2008 Beiträge: 10

Nur der Vollständigkeit halber. Ich habe inzwischen eine zweite Methode zur Lösung meines Problems gefunden. Und zwar mittels komplexer Zahlen (Eisenstein-Zahlen um genau zu sein) und deren Multiplikation. Im Endeffekt spart man sich nichts, aber ich finde es eine interessante (elegante) Alternative, die geometrischen Eigenschaften komplexer Zahlen auszunutzen. Wenn das mein Mathelehrer wüsste, daß ich mich inzwischen freiwillig mit sowas beschäftige :-).