Fermi-Dirac-Verteilung

munich · Anmeldungsdatum: 04.02.2006 Beiträge: 255

Hey Leute,
ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe:
Man betrachtet die Elektronen in einem Metall als ideales Gas identischer Spin 1/2 Fermionen in einem Potentialtopf. Dafür soll nun die Fermi-Dirac-Verteilung

den Erwartungswert der Besetzungszahl eines 1Elektronenzustands mit Energie

angeben. (

=const. Fermienergie)

Ich soll nun zunächst diese Verteilung für T=0 skizzieren.
Aber irgwendwie gibt das wenig Sinn, T=0 damit ist der Exponent der e-Fkt unendlich, damit ist die e-Fkt unendlich, dann Fällt das +1 nicht mehr ins Gewicht und ich bekomme "

", was dann ja null wäre. Also hätte ich eine Nullverteilung, aber wozu soll ich die zeichnen?

Anschließend soll ich mir einen würfelförmigen Potentialtopf mit Volumen V vorstellen und die Anzahl der Energieeigenzustände im Energieintervall [

] berechnen.
Naja, das ganze ist ja in 3d, also kann ich ja für jede Richtung die Verteilung ansetzen. Also müsste das epsilon hier quasi die summe von epsilon_x, epsilon_y und epsilon_z sein. Oder kann ich das irgendwie leichter in 3d übertragen?

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
munich

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

munich · Anmeldungsdatum: 04.02.2006 Beiträge: 255

Hmm, oh, stimmt. Wenn epsilon < epsilon_F ist geht der Bruch gegen 1. Heißt wenn ich das ganze über epsilon auftrage muss das ganze für epsilon < epsilon_F 1 sein, für epsilon > epsilon_F muss die Verteilung null sein. Bei epsilon = epsilon_F ist das ganze nicht definiert. Da habe ich ja auch die Unstetigkeitsstelle. Liege ich da richtig? Hmm, okay, da hätte ich auch selbst draufkommen können...

Vielleicht kannst du mir bei dem würfelförmigen Potential auch nen Tipp geben?
thx,
munich

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

munich · Anmeldungsdatum: 04.02.2006 Beiträge: 255

okay, ich bekomm da stehende Wellen, wobei die Kantenlänge des Würfels ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge der Teilchen sein muss. Wir haben Elektronen, womit die Wellenlänge folgendermaßen von der Energie abhängt:

Aber wie ich aus dieser Überlegung dann auf die Formel

komme, die wir als Teilergebnis dafür haben seh ich noch ned... Denn das hier ist ja auch noch die Anzahl, der Energieeigenzustände, was ja eigentlich eine ganze Zahl sein müsste, was ich hier jetzt auch nicht sehe...
Hast du noch nen Tipp für mich wie ich anfange zu rechnen?
thx,
munich

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Vor allem nochmal denselben Tipp wie eben schon:

In der Herleitung der Planckschen Hohlraumstrahlung, die du sicher schon mal gesehen hast und in einem einleitenden Kapitel sehr vieler Quantenmechanikbücher findest, ist nicht nur der Anfang, sondern auch die komplette weitere Vorgehensweise sehr ähnlich bzw. komplett analog zu dem, was du in dieser Aufgabe tun sollst.

Es lohnt sich also wirklich, diese Herleitung durchzuarbeiten und nachzuvollziehen, dann wirst du dich mit dieser Aufgabe hier sicher viel leichter tun smile

munich · Anmeldungsdatum: 04.02.2006 Beiträge: 255

Hmmm, weißt du zufällig wo ich eine im Inet finde? In den Büchern, die ich da hab ist die nicht drinnen...

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ui, mit welchen Büchern arbeitest du denn dann? Leihst du dir nicht auch Bücher aus der Unibibliothek aus, um damit zu arbeiten?

In Büchern findest du die Herleitung sicher viel schöner und ausführlicher formuliert, geh also am besten bei nächster Gelegenheit in der Unibib vorbei und hol dir so ein Buch.

Falls du bis dahin auf die Schnelle schon etwas Vorläufiges aus dem Internet anschauen möchtest, dann könntest du zum Beispiel mal

hier
http://www-eep.physik.hu-berlin.de/~lohse/physik_4/kap1.ppt
auf Seite 15 und 17 bis 19

oder hier
http://www.qudev.ethz.ch/phys4/phys4_fs08/phys4_L06_v1.pdf
bis ca. Seite 7 oben

schauen, da findest du schon mal vorläufig und stichwortartig viele der Dinge, die in einem solchen Buchkapitel ausführlich beschrieben sind.