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Thor
Anmeldungsdatum: 14.01.2008
Beiträge: 90
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 Thor Verfasst am: 15. Apr 2008 22:47 Titel: Gradient |
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Hi
sitze grad vor dieser Aufgabe und bin ein bischen verwirrt:
Die Fläche H(x,y) entstehe durch die Rotation der Kurve z=h(x) um die Z-Achse. Bestimmen Sie den Gradienten ) dieser Fläche als Funktion von ) in kartesischen und Zylinderkoordinaten und zeigen sie die Äquivalenz der beiden Lösungen.
Ich verstehe die Aufgabe folgendermaßen:
Ich habe eine Funktion h(x)=z die zunächst jedem Punkt x einem "Höhenpunkt" z zuordnet. Nun rotiert sie um die Achse z. Dadurch erhält man eine Art Kegelmantelfläche, dessen Form durch h(x)=z festgelegt ist. Dadurch entsteht die Fläche H(x,y). Sie gibt mir zu jeder X,Y-Koordinate den Höhenwert der Kegelmantelfläche.
Mein Vektor r ist nun zeigt nun auf irgendeine Koordinate in dieser X,Y-Ebene. Er kann kartesisch und mit Zylinderkoordinaten beschrieben werden. Durch H(x,y) wird ihm dann jeweils ein Höhenwert zugeordnet.
Nun meine erste Frage: Wenn dies richtig ist, ist doch H() ,je nachdem von welchem Koordinatensystem ich aus gehe, von x,y oder von r, Winkel abhängig. Ist das richtig? 
Nun meine Lösung fürs kartesiche Koordinatensystem:
=\sqrt{x^2+y^2})
=h(\vec{r})=h(\sqrt{x^2+y^2}))
)=\frac{\partial h(\vec{r})}{\partial x}\vec{e}_x+\frac{\partial h \vec{r}}{\partial y}\vec{e}y)
)=\frac{\partial h(\sqrt{x^2+y^2})}{\partial x}\vec{e}_x + \frac{\partial h(\sqrt{x^2+y^2})}{\partial y}\vec{e}_y)
So nun mein Ansatz für Zylinderkoordinaten:
=r)
)=h(\vec{r})=h(\sqrt{x^2+y^2}))
)=\frac{\partial h(\vec{r})}{\partial r}\vec{e}_r+\frac{ \partial h(\vec{r})}{\partial \phi}\vec{e}_{\phi})
Der zweite Term ist Null, da r nicht von Phi abhängt.
)=\frac{\partial h(\sqrt{x^2+y^2})}{\partial r}\vec{e}_r)
)=\frac{\partial h(\sqrt{x^2+y^2})}{\partial \sqrt{x^2+y^2}}\vec{e}_r)
Ist es soweit OK??
Nun weiß ich aber nicht, wie ich die Äquivalenz zeigen soll |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 16. Apr 2008 12:01 Titel: Re: Gradient |
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| Thor hat Folgendes geschrieben: |
Ich verstehe die Aufgabe folgendermaßen:
Ich habe eine Funktion h(x)=z die zunächst jedem Punkt x einem "Höhenpunkt" z zuordnet. Nun rotiert sie um die Achse z. Dadurch erhält man eine Art Kegelmantelfläche, dessen Form durch h(x)=z festgelegt ist. Dadurch entsteht die Fläche H(x,y). Sie gibt mir zu jeder X,Y-Koordinate den Höhenwert der Kegelmantelfläche.
Mein Vektor r ist nun zeigt nun auf irgendeine Koordinate in dieser X,Y-Ebene. Er kann kartesisch und mit Zylinderkoordinaten beschrieben werden. Durch H(x,y) wird ihm dann jeweils ein Höhenwert zugeordnet.
Nun meine erste Frage: Wenn dies richtig ist, ist doch H() ,je nachdem von welchem Koordinatensystem ich aus gehe, von x,y oder von r, Winkel abhängig. Ist das richtig?
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Einverstanden 
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Kann es sein, dass du in deiner Rechnung mit den kartesischen Koordinaten noch jeweils die innere Ableitung vergessen hast?
Und dass du beim Berechnen des Gradienten in Polarkoordinaten noch einen Vorfaktor vergessen hast, den der Nabla-Operator in Polarkoordinaten hat? |
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Thor
Anmeldungsdatum: 14.01.2008
Beiträge: 90
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| Thor Verfasst am: 16. Apr 2008 12:29 Titel: |
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Du meinst ich muss )\frac{ \partial h(\sqrt{x^2+y^2}}{\partial x}+\frac{ \partial h(\sqrt{x^2+y^2}}{\partial y} ) nun noch nach x und y ableiten soll? kann ich das denn einfach so machen?
=\frac{2x}{\sqrt{x^2+y^2}}\vec{e}_x+\frac{2y}{\sqrt{x^2+y^2}}\vec{e}_y)
So??
Nun zu Nummer zwei:
Was denn für ein Vorfaktor bei Polarkoordinaten? Es sind doch Zylinderkoordinaten? Verstehe dich nicht, tut mir leid |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 16. Apr 2008 17:52 Titel: Re: Gradient |
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* Ich glaube, da hast du beim Ableiten der Wurzeln noch je einen Faktor von 2 im Nenner vergessen.
* Mit Polarkoordinaten meinte ich dasselbe wie Zylinderkoordinaten, denn die beiden Variablen r und phi der Zylinderkoordinaten sind ja gerade die Polarkoordinaten einer zweidimensionalen Darstellung.
Der fehlende Vorfaktor beim Nablaoperator ist das 1/r in
)=\frac{\partial h(\vec{r})}{\partial r}\vec{e}_r+\frac{1}{r} \frac{ \partial h(\vec{r})}{\partial \phi}\vec{e}_{\phi})
Ein Folgefehler ist dir daraus allerdings nicht entstanden, da ja
| Zitat: |
Der zweite Term ist Null, da r nicht von Phi abhängt.
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* Weißt du, durch welche Gleichungen die kartesischen und die Zylinderkoordinaten miteinander zusammenhängen? Kannst du mit diesen Formeln zeigen, dass da beide Male dasselbe herausgekommen ist? |
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Thor
Anmeldungsdatum: 14.01.2008
Beiträge: 90
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| Thor Verfasst am: 16. Apr 2008 20:36 Titel: |
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So nun nochmal:
muss nochmal was korregieren
1)kartesisch
=H(\sqrt{x^2+y^2}))
)=\frac{\partial}{\partial x}H(\sqrt{x^2+y^2})e_x+\frac{\partial}{\partial y}H(\sqrt{x^2+y^2})e_y)
\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}e_x+H'(\vec{r})\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}e_y)
2) zylindrisch
=H(\rho,\phi)=H(\rho)) (Rotationssymetrisch, daher fällt Phi weg)
=H(cos\phi e_x+sin \phi e_y))
)=\frac{\partial}{\partial x}H(cos\phi e_x+sin \phi e_y)+\frac{\partial}{\partial y}H(cos\phi e_x+sin \phi e_y))
So siehts doch besser aus oder? Nur bereitet mir der zweite Teil immer noch Kopfzerbrechen, weiß nicht wie ich die Äquivalenz zeigen soll!!! Hilfe   |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 16. Apr 2008 23:44 Titel: |
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| Thor hat Folgendes geschrieben: |
1)kartesisch
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Ich glaube auch, das sieht nun schon deutlich besser aus (Über die Einheitsvektoren könntest du noch die Vektorpfeile drübermalen)
| Zitat: |
2) zylindrisch
(Rotationssymetrisch, daher fällt Phi weg)
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Ich glaube, was du da rechnest, ist eher schon ein Versuch in die Richtung, die Äquivalenz zu zeigen, als das rein in Zylinderkoordinaten zu rechnen. Denn ich würde vermuten, für die Zylinderkoordinaten kannst du direkt den Ausdruck für den Gradientenoperator in Zylinderkoordinaten nehmen, den du oben schon hattest.
| Zitat: |
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Hier scheinst du mir auf der rechten Seite die Information zur Länge des Vektors verloren zu haben, denn während  ja noch eine Länge ungleich 1 haben kann, ist die Länge des Vektors  immer gleich 1.
Zuletzt bearbeitet von dermarkus am 17. Apr 2008 13:19, insgesamt einmal bearbeitet |
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Thor
Anmeldungsdatum: 14.01.2008
Beiträge: 90
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| Thor Verfasst am: 17. Apr 2008 08:39 Titel: |
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ah ich glaub ich verstehe markus, also muss ich noch das Rho davorsetzen damit ich meine Länge erhalte.
)=\frac{\partial}{\partial x}H(\rho cos\phi +\rho sin\phi)\vec{e}_x+\frac{\partial}{\partial y}H(\rho cos\phi +\rho sin\phi)\vec{e}_y )
und dann kann ich für Rho ja  einsetzen und dann ableiten:
)=\frac{\partial}{\partial x}H(\sqrt{x^2+y^2} cos\phi +\sqrt{x^2+y^2} sin\phi)\vec{e}_x+\frac{\partial}{\partial y}H(\rho cos\phi +\rho sin\phi )\vec{e}_y)
H(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}cos\phi+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}sin\phi)\vec{e}_x+H'(\vec{r})(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}cos\phi+\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}cos\phi)\vec{e}_y)
jetzt hab ich es fast, nur dieses blödes  bekomme ich nicht weg, es ist ja nicht eins
jemand schnell noch nie idee
H(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}(cos\phi+sin\phi))\vec{e}_x+H'(\vec{r})H(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}(cos\phi+sin\phi)\vec{e}_y))) |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 17. Apr 2008 13:28 Titel: Re: Gradient |
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Ich glaube, ein anderer Weg ist viel direkter und einfacher:
Zu zeigen, dass die beiden Sachen äquivalent sind, dürfte dir um so leichter fallen, je klarer du dir die Berechnungen des Gradienten in kartesischen und in Zylinderkoordinaten aufschreibt, und vielleicht auch, je klarer du dabei mit den Vektorzeichen über deinen Variablen umgehst.
Die Berechnung in kartesichen Koordinaten hast du ja bereits so geschafft:
)=\frac{\partial}{\partial x}H(\sqrt{x^2+y^2}) \vec e_x+\frac{\partial}{\partial y}H(\sqrt{x^2+y^2}) \vec e_y=\frac{\partial H}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} \vec e_x+\frac{\partial H}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y}\vec e_y)
\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \vec e_x+H'(r)\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \vec e_y)
Und die Berechnung in Zylinderkoordinaten ist viel einfacher, als du vielleicht gedacht hattest, nämlich einfach nur
)=\frac{\partial H(r)}{\partial r}\vec{e}_r+\frac{1}{r} \underbrace{\frac{ \partial H(r)}{\partial \phi}}_{=0}\vec{e}_{\phi}= \frac{\partial H(r)}{\partial r}\vec{e}_r = H'(r)\cdot \vec e_r)
Kannst du nun die Zusammenhänge zwischen kartesischen Koordinaten und Zylinderkoordinaten verwenden, um zu zeigen, dass diese beiden Ergebnisse gleich sind? Würdest du sagen, dass es Sinn machen könnte, dabei zu verwenden, dass
und
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