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Thor
Anmeldungsdatum: 14.01.2008
Beiträge: 90
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 Thor Verfasst am: 14. Jan 2008 18:13 Titel: Überlagerung harmonischer Schwingungen |
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Hallo,
ich habe beim Verständniss folgender Aufgabe Probleme.
Die Überlagerung gleichfrequenter harmonischer Schwingungen mit zueinander parallelen Schwingungsvektoren ergibt bekanntlich wieder eine harmonische Schwingung gleicher Frequenz.
Zeigen Sie für den speziellen Fall gleicher Einzelamplituden, daß die resultierende Amplitude
abhängig ist von der Phasenverschiebung 
zwischen den beiden Schwingungen und für spezielle Maxima bzw. Minima annimmt !
Beschreiben Sie mathematisch die Überlagerung zweier harmonischer, frequenzbenachbarter (!) Schwingungen zu einer Schwebung !
Ich habe zwei Schwingungen:
=x_{m} cos( \omega t))
=x_{m} cos( \omega t+ \phi ) )
die resultierende Schwingung wäre ja =x_{1}+x_{2})
Das die resultierende Amplitude von der Phasenverschiebung abhängt ist klar. Aber wie drücke ich das matematisch vernünftig aus?? So wie ich es oben gemacht hab, reicht sicher nicht aus. Was mit "zu einer Schwebung" gemeint ist versteh ich auch nicht so ganz. Meint man die resutierende Schwingung der beiden Einzelschwingungen??
Was genau mit parallelen Schwingungsvektroren gemeint ist, ist mir auch nicht ganz klar  |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 14. Jan 2008 18:21 Titel: |
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Dein Ansatz sieht prima aus. Magst du nun noch zum Weiterrechnen Additionstheoreme verwenden, damit du besser siehst, wie genau so eine Summe zweier phasenverschobener Cos-Funktionen schwingt? Und in deiner Gleichung für die Summenfunktion das Verhalten wiedererkennst, das du siehst, wenn du sie mal plottest? |
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Thor
Anmeldungsdatum: 14.01.2008
Beiträge: 90
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| Thor Verfasst am: 14. Jan 2008 22:43 Titel: |
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ok, bin bis hierhin gekommen, seh nur leider nicht weiter
=2x_{m}cos( \omega t + \frac {\phi}{2})cos(\frac{\phi}{2}))
Die Interpretation fällt mir noch etwas schwierig.
Das Maxima der Amplitude entsteht, wenn cos(\frac{\phi}{2}) ) ihren maximalen Wert annimmt. Das Minimum, wenn der gleiche Ausdruck den kleinsten Wert annimmt. Also müsste ich ja nur den Ausdruck ableiten und Null setzten.
=-2x_{m} \omega sin( \omega t+ \frac{ \phi}{2})cos( \frac{\phi}{2}))
cos( \frac{\phi}{2}))
erster Fall: =0 ) klar, Amplitute hat dann min, weil es keine Schwingung gibt.
zweiter Fall: =0 \Leftrightarrow \phi = 180° )
Das musste ein zweites Minimum sein, da x(t) dann Null wird.
dritter Fall: =0 \Leftrightarrow \phi = 2 \omega t )
Das musste ja das Maximum sein. wenn mans in x(t) einsetzt erhält man =2x_{m}cos(2\omega t)cos(\omega t) )
aber dann ist die Amplitute ja wieder von Omega abhängig und es kann ein Min und ein Max existieren.
Muss ich diese Gleichung dann auch nochmal ableiten und Min und Max bestimmen??
Was ist eine Schwebung???? Und was sind parallele Schwingungsvektoren???? |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 15. Jan 2008 22:39 Titel: |
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Ah, so ist die Interpretation in der Tat noch schwierig. Magst du mal in deine Mathe-Formelsammlung oder einfach hier
http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Additionstheoreme
schauen, ob du statt dessen ein anderes Additionstheorem findest, dass dir hier das Leben noch leichter macht? Also eines, dass dir den ) so in sin - und cos- Funktionen oder ihre Produkte zerlegt, dass dann als Argument dieser sin oder cos-Funktionen nur noch entweder das  oder das  drin steht?
Ich glaube, "nicht parallele Schwingungsvektoren" wären zum Beispiel einfach, wenn die eine Schwingung entlang der x-Achse und die andere entlang der y-Achse stattfände. Dann bekommt man bei phasenverschobener Überlagerung ja keine lineare Schwingung mehr, sondern etwas anderes (einen mehr oder weniger verzerrten Kreis oder so). |
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Thor
Anmeldungsdatum: 14.01.2008
Beiträge: 90
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| Thor Verfasst am: 15. Jan 2008 23:38 Titel: |
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also ich hab nochmal was umgeformt, doch bin ich damit auch noch nicht so glücklich, weil es jetzt nicht leichter aussieht als vorher. zumindest hab ich jetzt und  voneinander getrennt.
=-2x_{m}\omega cos(\frac{\phi}{2})(sin(\omega t)cos(\frac{\phi}{2})+sin(\frac{\phi}{2})cos(\omega t)))
dann kann ich aber jetzt sagen:
wenn =0 \Rightarrow \phi =\pi) dann gibts ein Extrema
und wenn cos(\frac{\phi}{2})+sin(\frac{\phi}{2})cos(\omega t))=0) gibt es ein Extrema
hier würd ja dann rauskommen:
=-tan(\frac{\phi}{2}))
jetzt bin ich mir nicht mehr so sicher
=\phi) |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 15. Jan 2008 23:47 Titel: |
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Oh, entschuldige, ich sehe erst jetzt, dass du ja mit
| Thor hat Folgendes geschrieben: | ok, bin bis hierhin gekommen, seh nur leider nicht weiter
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schon alle Umformungen geschafft hast, für die du Additionstheoreme brauchst. Wenn du nun diese Gleichung so schreibst:
=\underbrace{\left( 2x_{m}\cos(\frac{\phi}{2}) \right)}_{\rm Amplitude} \cos( \omega t + \frac {\phi}{2}))
dann siehst du gleich, welcher Teil der Gleichung nun deine Amplitude ist und wie er von der Phasenverschiebung abhängt. 
Kommst du damit schon im ersten Teil weiter? |
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