U-Bahn durch den Mittelpunkt der Erde

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Gast Verfasst am: 08. Dez 2004 18:22 Titel: U-Bahn durch den Mittelpunkt der Erde

Hallo, ich hab da ma ne frage:

Folgende Aufgabe:

Zitat:

Angenommen, in ferner Zukunft existiere eine neue Möglichkeit des Reisens. Ein gerades, durch den Erdmittelpunkt verlaufendes Rohr verbindet jeweils gegenüberliegende Punkte A und B auf der Erdoberfläche. Infolge der Erdanziehung gelangt eine Transportkapsel der Masse m reibungsfrei (Idealfall!) von A nach B. Die Erde wird als homogene Kugel angenommen.

a) Wie lang ist die Reisedauer?
b) Welche Geschwindigkeit hat die Kapsel im Erdmittelpunkt?
c) Welche Geschwindigkeit hätte die Kapsel, wenn sie vom Gipfel eines Berges starten würde?

Tipps:
a) Ausgehend vom Erdmittelpunkt nimmt die Erdbeschleunigung g0 gleichmäßig nach außen hin zu und nimmt beim Erdradius R0=6378km den Wert g0=9,81m/s^2 an. Überlege Dir, welchem schwingenden System der hier beschriebene Sachverhalt entspricht!
b) Die potentielle Energie im Inneren einer homogenen Kugel berechnet sich nach

Epot=G*M*m/(2*R0^3)*(R^2-3R0^2) für R< oder =R0

G:=6,67*10^-11Nm^2/kg
M:=5,974*10^24kg
R0:=6378km

Mein Problem ist, dass alle Formeln, die ich dazu gefunden habe davon ausgehen, dass die Erdbeschleunigung immer konstant ist, was bei dieser Aufgabe ja nicht der Fall ist. Folgende Formel fand ich am interessantesten: Fg=G*m(ubahn)*m(erde)/r^2, jedoch kann ich doch eigentlich die Masse der Bahn vernachlässigen, da beim freien Fall im Vakuum alle Gegenstände mit der gleichen Beschleunigung und somit auch mit der gleichen Geschwindigkeit fallen.
Ich würde mich freuen, wenn sich der eine oder andere mit diesem Problem mal auseinandersetzen und mir ein paar Hinweise zur Lösung geben könnte!

Vielen Dank!

Masada
Gast

Masada Verfasst am: 08. Dez 2004 21:04 Titel: Re: U-Bahn durch den Mittelpunkt der Erde

Gast hat Folgendes geschrieben:

(Tipp: a) Ausgehend vom Erdmittelpunkt nimmt die Erdbeschleunigung g0 gleichmäßig nach außen hin zu und nimmt beim Erdradius R0=6378km den Wert g0=9,81m/s^2 an. Überlege Dir, welchem schwingenden System der hier beschriebene Sachverhalt entspricht!

Das würde ich näherungsweise so lösen:
bei einer Entfernung von s=radius=6378km beträgt g=g_oberfläche=9,81m/s^2.
-> Bei s=x mit 0<x<r beträgt also g=(x/radius)*g_oberfläche.
Wenn Du Dir das als Funktion vorstellst ist das eine Gerade vom Koordinatenursprung mit der oben angegebenen Steigung. Ergo ist die Gesamte Fläche unter der Gerade bis zum Punkt s=Radius die gesamte Beschleunigungsenergie und genau darin liegt leider die Näherung wie die keinesfalls konstant vom Erdmittelpunkt aus zunimmt (verschiedene Dichten der verschiedenen Erdschichten).

Finden tust Du das ganze in der Formelsammlung unter "Federn" bzw. "Elastischer Stoß". Ich will Dir Deine Aufgabe nicht lösen und auch nicht meine alte Schulformelsammlung suchen müssen aber nun solltest Du weiterkommen. Ansonsten mail mir an meinen Nicknamen @ gmx.de.

Gruß
Masada

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